vektor - Latihan matematika di WordPress

V E K T O R
1. Vektor PQ  (2,0,1) dan PR  (1,1,2). Jika PS  12 PQ maka tentukan vektor RS !
Jawab :
PS  12 PQ  12 (2,0,1)  (1,0, 12 )
RS  RP  PS   PR  PS  (1,1,2)  (1,0, 12 )  (0,1, 32 )
2. Diketahui a  3i  2 j, b  i  4 j dan r  7i  8 j . Jika r  k a  mb maka tentukan nilai
k+ m!
Jawab :
r  k a  mb
3k  m  7 
 7 
 3 
  1
   k    m  
  k  2, m  1
 2k  4m  8
  8
  2
4
k  m  2  (1)  1
3. Agar kedua vektor a  ( x,4,7) dan b  (6, y,14) segaris, maka tentukan nilai x – y !
Jawab :
 6   kx 
   
a dan b segaris jika b  k a   y    4k   k  2, x  3 dan y  8
14   7k 
   
Jadi x – y = 3 – 8 = -5
4. Diketahui titik P(5,3) dan Q(-1,-3). Jika R terletak pada garis PQ dengan perbandingan
2 : 1, maka tentukan koordinat R !
Jawab :
R
2q  p

2 1
1
3
 2,6  (5,3)  13 (3,3)  (1,1)
5. Jika vektor a dan b membentuk sudut 60 , a  4 dan b  3 , maka tentukan nilai
a . ( a  b)
Jawab :
a . (a  b)  a . a  a .b  a a cos 0  a b cos 60  4.4.1  4.3. 12  10
6. Titik-titik A(1,3,5), B(4,-1,2) dan C(6,3,4) adalah titik-titik sudut segitiga ABC. Jika AB
wakil dari vektor u dan BC wakil dari vektor v maka tentukan u . v !
Jawab :
u  AB  OB  OA  (4,1,2)  (1,3,5)  (3,4,3)
v  BC  OC  OB  (6,3,4)  (4,1,2)  (2,4,2)
u . v  (3,4,3).( 2,4,2)  6  16  6  16
7. Tentukan besar sudut antara vektor a  2i  j  3k dan b  i  3 j  2k !
Jawab :
cos 
a .b

ab
236
1
     120
2
4 1 9 1 9  4
8. Tentukan vektor yang merupakan proyeksi vektor a  (3,1,-1) pada vektor b  (2,5,1) !
Jawab :


 a .b 
1
 6  5 1 
a b   2 b  
(2,5,1)  (2,5,1)
3
 4  25  1 
b 


9. Diketahui titik-titik P(1,2,3), Q(3,-4,0) dan R(5,4,-1). Tentukan panjang proyeksi vektor
PQ pada PR !
Jawab :
PQ  OQ  OP  (3,4,0)  (1,2,3)  (2,6,3)
PR  OR  OP  (5,4,1)  (1,2,3)  (4,2,4)
PQ PR 
PQ . PR
PR

8  12  12
4

16  4  16 3
  1
a
  4
 
 
 
10. Diketahui u   2 , v   4  dan w   8 . Jika 2u  3v  w , maka tentukan a dan b !
3
b
  3
 
 
 
Jawab :
  2   3a   4 
     
2u  3v   w   4    12     8   a  2 dan b  1
 6   3b   3 
     
11. Diketahui titik A(1,-2,-8) dan B(3,-4,0). Titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga
AP  3PB . Jika p vektor posisi titik P, maka tentukan p !
Jawab :
AP  3PB
OP  OA  3(OB  OP )
 3   x 
 x  1 
   
   
 y     2   3  4    y 
 z    8
 0   z 
   
x4
 x  1   3x  9 

 

 y  2    3 y  12   y  5
 z  8   3z 
z4

 

12. Titik P adalah pusat segienam beraturan ABC.DEF. Jika PA  a dan CD  b maka
nyatakan FD dengan a dan b !
Jawab :
A
B
a
F
P
C
b
E
D
PA  AB  PB  AB  PB  PA  b  a
FD  FE  ED   PA  AB  a  b  a  2a  b
13. Diketahui titik A(3,1,-4), B(3,-4,6) dan C(-1,5,4). Titik P membagi AB sehingga AP : PB =
3 : 2. Tentukan PC !
Jawab :
3b  2a 1
 5 ((9,12,18)  (6,2,8))  (3,2,2)
5
  1  3    4 
     
PC  OC  OP   5     2    7 
4  2   2 
     
P
 3 
  5
1
14. Jika a   , b    dan c    maka tentukan panjang vektor d dimana
  2
 0
 4 
d  abc !
Jawab :
 3   1    5  9 
d  a  b  c            
  2  0  4    6
d  81  36  3 13
15. Jika OA  a, OB  b dan OC  c sedangkan CD  b, BE  a dan DP  OE maka
nyatakan p dengan a, b dan c !
Jawab :
p  OP  OC  CD  DP  c  b  OE  c  b  OB  BE  c  b  b  a
 a  2b  c
16. Pada persegi panjang OACB, D adalah titik tengah OA dan P titik potong CD dengan
diagonal AB. Jika a  OA dan b  OB maka nyatakan CP dengan a dan b !
Jawab :
A
C
a
D
O
P
b
B
CP  AP  AC  13 AB  AC  13 (OB  OA)  OB   13 a  23 b
17. Pada segitiga ABC, E adalah titik tengah BC dan M adalah titik berat segitiga tersebut.
Jika u  AB dan v  AC maka nyatakan ME dengan u dan v !
Jawab :
B
M
E
A
v
ME  13 AE 
1
3
C
uv 1
 6 u  16 v
2
18. Pada segitiga ABC diketahui P titik berat segitiga ABC dan Q titik tengah AC. Jika
CA  u maka nyatakan PQ dengan u dan v !
Jawab :
B
v
P
A
u
Q
C
PQ  13 BQ  13 (CQ  CB)  13 ( 12 CA  CB)  16 u  13 v
19. Diketahui segitiga ABC dengan A(4,-1,2), B(-2,3,4) dan C(7,1,3). Tentukan koordinat titik
berat segitiga ABC !
Jawab :
Z
1
3
a  b  c 
1
3
(4,1,2)  (2,3,4)  (7,1,3)  (3,1,3)
20. Titik-titik A(1,3,5), B(4,-1,2) dan C(6,3,4) adalah titik-titik sudut segitiga ABC. Jika AB
wakil dari u dan BC wakil dari v maka tentukan u . v !
Jawab :
u  AB  (4,1,2)  (1,3,5)  (3,4,3)
v  BC  (6,3,4)  (4,1,2)  (2,4,2)
u . v  (3,4,3).( 2,4,2)  6  16  6  16
21. Diketahui persegi panjang OABC dengan
OA  12 dan AB  5. Jika OA  u dan OB  v maka u . v  .....
Jawab :
A
5
u
B
12
v
O
C
u . v  u v cos AOB  12. 52  122 . 12
 144
13
22. Jika vektor a dan b membentuk sudut 60 , a  4 dan b  3 maka a.a  b  ......
Jawab :


a. a  b  a.a  a.b  a a cos 0  a b cos 60  4.4.1  4.3. 12  10
2
 4 
 
 
23. Diketahui a   m  dan b    2  . Tentukan m supaya a  b !
1
  2
 
 
Jawab :
 2  4 
  
a .b  0   m .  2   0  8  2m  2  0  m  3
 1    2
  
24. Jika sudut antara vektor a  i  2 j  p k dan b  i  2 j  p k adalah 60 maka tentukan
nilai p !
Jawab :
a .b  a b cos
1  2  p2  1  2  p2
1  2  p 2 . cos 60
p 2  1  12 ( p 2  3)
p 5
25. Diketahui u  2i  j  2k dan v  4i  10 j  8k. Vektor u  cv akan tegak lurus pada vektor
u jika c = …..
Jawab :
u  cv.u  0
u.u  c.u.v  0  (4  1  4)  c(8  10  16)  0  c 
1
2
 2 
  3
 
 
26. Dua vektor a   3  dan b   m  saling tegak lurus. Tentukan m !
  6
 0 
 
 
Jawab :
a .b  0  6  3  0  0  m  2
27. Diketahui titik-titik A(3,2,4), B(5,1,5) dan C(4,3,6). AB adalah wakil dari u dan AC
wakil dari v . Tentukan kosinus sudut yang dibentuk oleh u dan v !
Jawab :
u  AB  (5,1,5)  (3,2,4)  (2,1,1)
v  AC  (4,3,6)  (3,2,4)  (1,1,2)
cos 
u .v
uv

2 1 2
1

4 11 11 4 2
 2
k 
 
 
28. Diketahui a    1 dan b   0 . Jika sudut antara kedua vektor adalah 30 , maka
1
1
 
 
tentukan k !
Jawab :
2k  0  1
cos 30 
4 11 k2 1
2k  1
1
3
 18k 2  18  4k  2
2
2
6k  6
(k  1)( k  7)  0
k  1 atau k  7
 2
 0 
 
 
29. Diketahui a   3  dan b   4  . Tentukan besar sudut antara a dan b !
 4
  3
 
 
Jawab :
cos 
0  12  12
 0    90
4  9  16 0  16  9
  2
0
 
 
30. Diketahui panjang proyeksi vektor a   8  pada b   p  adalah 8. Tentukan p !
 4 
4
 
 
Jawab :
ab 
a .b
b
8
0  8 p  16
0  p  16
2

p 2  16  p  2  p  3
31. Diketahui a  3i  j  5k dan b  i  2 j  2k . Tentukan proyeksi vektor ortogonal
a pada b !
Jawab :


 a .b 
  3  2  10 
a b   2 b  
(i  2 j  2k )  i  2 j  2k
 1 4  4 
b 


32. Diketahui u  2i  4 j  6k dan v  2i  2 j  4k . Tentukan proyeksi vektor ortogonal
u pada v !
Jawab :


 u .v 
 4  8  24 
u v   2 v  
 2i  2 j  4k  i  j  2k
 4  4  16 
 v 




33. Tentukan proyeksi vektor a  i  2 j  3k pada b  5i  4 j  2k !
Jawab :
 586 
ab  
(5i  4 j  2k )  i  54 j  52 k
 25  16  4 
3
2
 
 
34. Diketahui u    1 dan v   p  . Jika proyeksi skalar ortogonal vektor u pada v sama
1
2
 
 
dengan setengah panjang vektor v , maka tentukan p !
Jawab :
v  4  p2  4 
uv 
u .v
v

1
2
1
2
p2  8
v
v  u .v 
1
2
2
v
6  p  2  12 (4  p 2  4)  p  4 atau p  2
35. Vektor z adalah proyeksi vektor x  ( 3,3,1) pada y  ( 3,2,3) . Tentukan z !
Jawab :


 x. y 
3 3 6 9
  3 6  3
z  xy   2 y  
, , )
( 3 ,2,3)  (
8 8 8
 3 49 
 y 


2
 3 3   6 2  9 2 3
     
z  
 8 8
8
2

