STATISTIK 1_konsep probabilitas_materi 9_sesi 11

STATISTIK 1
KONSEP PROBABILITAS
Oleh:
Kelompok VI
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Maria Anggelina Matutina
Atik Asiska
Tifania Roro Aisyah
Marisa
Augustulud Fazrisven
Roissy widi
201466118
201466138
201466007
201466032
201366036
201266031
UNIVERSITAS ESA UNGGUL
JAKARTA
2016
KONSEP PROBABILITAS
1. Pengertian Probabilitas
Dalam kenyataan sehari-hari sering kali kita mendengar adanya pernyataan
“mungkin dan/atau tidak mungkin”, secara spesifik peryataaan tersebut dapat diartikan
sebagai gambaran sebuah pernyataan “kepastian dan/atau ketidakpastian” yang biasa
dikatakan sebagai probabilitas atau kemungkinan. Kaitan dengan kehidupan sehari-hari
sering kali kita dihadapkan dengan asumsi-asumsi probabilitas, seperti kemungkinan
terjadinya lonjakan harga bahan makanan pokok akibat adanya bencana alam, lonjakan
harga minyak akibat adanya perang, dan banyak lagi contoh-contoh prakiraan yang
didasarkan pada konsep probabilitas.
Sejalan dengan adanya ketidakpastian dalam praktik pengambilan keputusan
sehari-hari, teori probabilitas merupakan bagian yang tidak terpisahkan dari proses
pengambilan keputusan. Secara umum, probabilitas dapat diartikan sebagai suatu ukuran
mengenai kemungkinan akan terjadinya suatu peristiwa (event). Adapun besarnya ukuran
dari nilai probabilitas adalah 0 sampai dengan 1.1
2. Konsep-Konsep Probabilitas
2.1 Pandangan Klasik/Intuitif
Di dalam pandangan klasik ini probabilitas/peluang adalah harga angka yang
menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, diantara keseluruhan
peristiwa yang mungkin terjadi.
Contoh:
a. Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H dan T), kalua mata uang tersebut
dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah ½.
b. Sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah
1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6).
Jadi, pendekatan dalam konsep klasik ini adalah matematis atau teoritis sehingga
di dapatkan rumus:
1
𝑿
𝑷(𝑬) = 𝑵
Supangat, Statistika : Dalam Kajian Deskriptif, Inferensi, dan Nonparametrik, (Jakarta : Prenada Media, 2010),
halaman 225.
P = Probabilitas
E = Event (Kejadian)
X = Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)
N = Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi
Contoh:
Didalam suatu pabrik (work shop) ada 30 wanita dan 70 laki-laki. Sehabis makan
siang yang disediakan pabrik akan ditanyakan apakah makanan tadi cukup baik.
Untuk itu akan diundi (diacak) siapa orang yang akan ditanyakan pendapatnya.
Probabilitas akan terambil seorang buruh wanita adalah 30/100 p (0,3).
Pandangan klasik ini walaupun perhitungannya tepat harus mempunyai syaratsyarat tertentu seperti kalau itu dadu maka dadu itu harus seimbang. Jadi, dalam
peristiwa di alam sebenarnya sukar mendapatkan peristiwa yang persis sama dengan
teori klasik di atas.2
2.2 Pandangan Empiris/Probabilitas Relatif
Dalam pandangan ini probabilitas berdasarkan observasi, pengalaman, atau
kejadian(peristiwa) yang telah terjadi.
Contoh:
a. Pelemparan 100 x coin 59 x keluar sisi H, maka dikatakan P(H) = 59%
b. Dari 10.000 hasil suatu produksi, 100 rusak  P(rusak) = 1% = 0,01
c. Distribusi relatif
Upah(Rp 1000)
Jumlah
%
200 – 499
90
30
500 – 749
165
55
750 – 999
45
15
Kalau diambil secara acak satu orang probabilitas untuk terambil seorang yang
mempunyai upah antara 200 – 499 ribu rupiah adalah  p (0,3)
Pandangan klasik :
2
𝑋
𝑃(𝐸) = 𝑙𝑖𝑚 𝑁
Hastono, Statistika Kesehatan, (Jakarta : RajaGrafindo Persada, 2013), halaman 40-42.
Hubungan antara pandangan klasik dan pandangan empiris:
P(E) = X/N dan P(E) = lim X/N akan sama besarnya bila N tak terhingga.3
2.3 Pandangan Subjektif
Di dalam pandangan subjektif probabilitas ditentukan oleh pembuat pernyataan,
misalnya seorang buruh atau karyawan meyakini bahwa kalau ada kesempatan untuk
pendidikan lanjut, yang akan dikirim adalah dirinya (misalnya diyakininya 95% = 0,95).
Kebenaran dari probabilitas subjektif ini sangat tergantung pada orang yang
menentukannya, tetapi walaupun demikian teori probabilitas dapat membantunya.4
3. Unsur-Unsur Probabilitas
3.1 Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan yang elemen-elemennya merupakan hasil yang
mungkin terjadi dari suatu eksperimen. Ruang sampel ditulis dengan lambing S. jika
suatu eksperimen dimana a1, a2, a3, a4, a5,……….an menunjukkan semua hasil yang
terjadi, maka ruang sampel di tuliskan sebagai berikut.
S = (a1, a2, a3, a4, a5,……….an)
3.2 Titik Sampel
Titik sampel adalah semua elemen yang ada di dalam suatu ruang sampel, yaitu
a1, a2, a3, a4, a5,……….an
3.3 Peristiwa/Kejadian/Event
Peristiwa adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel.Peristiwa ditulis
dengan lambing huruf besar A, B, dan seterusnya dan dituliskan peristiwa yang mungkin
muncul dalam hasil. Misalnya hanya a2, a4 sebagai hasil peristiwa, maka yang dituliskan:
A = hasil yang diterima {a2, a4 }
3
Ibid., halaman 42.
Ibid., halaman 43.
4
Contoh penggunaan definisi di atas adalah sebagai berikut.
1) Eksperimen
: pelemparan sebuah dadu
Hasil
: mata dadu yang tampak
Ruang Sampel
: S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Suatu Peristiwa
: A titik ganjil yang nampak {1, 3, 5}
B titik genap yang nampak {2, 4, 6}
2) Eksperimen
: pemilihan seorang mahasiswa FKM, dicatat IPK
Hasil
: bilangan x yang besarnya antara 0 dan 4
Ruang Sampel
: S = (0 ≥ X ≤ 4)
Suatu Peristiwa
: A IPK di atas 3……= {3 < 𝑋 ≤ 4}
3) Eksperimen
: Empat pekerja sama-sama terkena pencemaran (polusi) udara
Hasil
: dicatat apakah jadi sakit S atau tidak sakit T
Ruang Sam𝑝𝑒𝑙
∶ {
𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑆𝑆𝑆𝑇, 𝑆𝑆𝑇𝑆, 𝑆𝑇𝑆𝑆, 𝑇𝑆𝑆𝑆, 𝑆𝑆𝑇𝑇, 𝑆𝑇𝑆𝑇, 𝑆𝑇𝑇𝑆,
}
𝑇𝑆𝑆𝑇, 𝑇𝑆𝑇𝑆, 𝑇𝑇𝑆𝑆, 𝑆𝑇𝑇𝑇, 𝑇𝑆𝑇𝑇, 𝑇𝑇𝑆𝑇, 𝑇𝑇𝑇𝑆, 𝑇𝑇𝑇𝑇
S = 2x2x2x2 = 24 = 16
Suatu Peristiwa
: A Semua pasien sembuh {𝑆𝑆𝑆𝑆}
B ada dua orang yang sembuh {𝑆𝑆𝑇𝑇, 𝑆𝑇𝑆𝑇, 𝑇𝑆𝑆𝑇, 𝑇𝑆𝑇𝑆, 𝑇𝑇𝑆𝑆}
Peristiwa-peristiwa baru dapat dibentuk dari peristiwa-peristiwa yang sudah ada
dengan menggunakan tiga operasi dasar, yaitu union, interaksi, dan komplementasi,
yang timbul dari penggunaan kata-kata “atau”, “dan”, serta “tidak”. Berikut ini
uraiannya lebih lanjut.
a) Union peristiwa A dan B adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam
himpunan A maupun B, ditulis A ∪ B
b) Interaksi dua peristiwa A dan B, ditulis A ∩ B adalah himpunan semua elemen
yang ada di dalam A dan juga B
c) Komplemen peristiwa A ditulis Ac, adalah himpunan semua elemen yang tidak di
dalam A
Operasi ini dapat digambarkan dengan diagram Venn berikut.5
A∪B
A
B
A∩B
A∩ 𝐵
Ac
Ac
A
4. Hukum Probabilitas
4.1 Hukum Pertambahan/Hukum Penjumlahan
Dalam hokum pertambahan terdapat dua kondisi yang harus diperhatikan, yaitu
apakah kedua peristiwa tersebut saling meniadakan atau dapat terjadi bersama. Kedua
kondisi ini disebut sebagai peristiwa mutually exclusive ataupun non mutually exclusive.
a. Kejadian mutually exclusive (peristiwa saling terpisah = disjoint)
Dua peristiwa dikatakan mutually exclusive apabila satu peristiwa terjadi akan
meniadakan peristiwa yang lain untuk terjadi, atau dikatakan peristiwa tersebut saling
meniadakan.
Contoh:
5
Ibid., halaman 43-46.
1) Permukaan sebuah koin,
2) Permukaan dadu,
3) Kelahiran anak laki atau perempuan pada seorang ibu dengan kehamilan tunggal.
Untuk suatu kejadian yang mutually exclusive, peristiwa terjadinya A dan B
merupakan gabungan antara peristwa A dan peristiwa B, di mana tidak terdapat irisan
antara peristiwa A dan B (saling asing). Maka, probabilitas untuk kondisi seperti ini
adalah penggabungan kemungkinan probabilitas keduanya.
P(A∪B) = P(A) + P(B)
P(A∩B) = 0
Contoh:
1) Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah
dadu adalah:
P(2 ∪ 5) = P(2) + P(5) = 1/6 + 1/6 = 2/6
2) Ada 5 orang kandidat untuk dikirim ke tempat suatu kejadian luar biasa (KLB)
diare (sebut saja A B C D E) tetapi yang akan dikirim hanya satu orang.
Probabilitas (peluang) D atau E akan dikirim adalah:
P(D ∪ E) = 1/5 + 1/5 = 2/5
b. Peristiwa non mutually exclusive (joint)
Dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama)
Contoh:
1) Penarikan kartu As dan berlian
2) Seorang laki-laki dan dokter
Untuk peristiwa non mutually exclusive, peristiwa terjadinya A dan B merupakan
gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B. akan tetapi, karena ada elemen yang
sama dalam peristiwa A dan B, gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwa
di mana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengan demikian, probabilitas pada
keadaaan dimana terdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan B probabilitas A
atau B adalah probabilitas A ditambah probabilitas B dan kurangi probabilitas elemen
yang sama dalam peristiwa A dan B.
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Contoh:
Pada penarikan satu kartu dari satu set kartu bridge, peluang akan terambil kartu as
atau berlian adalah:
P(as)
= 4/52
P(berlian)
= 13/52
Ada sebuah kartu as dan berlian : P (as ∩ berlian) = 1/52
P (as ∪ berlian) = P(as) + P(berlian) - P (as ∩ berlian) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52
4.2 Hukum Perkalian
4.2.1
Peristiwa Bebas (Independent)
Dua
peristiwa
dikatakan
bebas/independent
apabila
kejadian
atau
ketidakjadian suatu peristiwa tidak memengaruhi peristiwa lain. Ini perlu dibedakan
dengan mutually exclusive, pada independent suatu kejadian tidak akan memengaruhi
kejadian lainnya, sedangkan pada mutually exclusive, dua kejadian tidak dapat
muncul bersamaan.
Sebagai contoh, sebuah koin dilambungkan dua kali, maka peluang keluarnya
H pada lemparan pertama dan pada pelemparan kedua saling bebas.
P(A∩B) = P(A) x P(B)
Contoh soal:
Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya
adalah: P(5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36
Sebuah dadu dan sebuah koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil
lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:
1
P(H) = 2
P(3) = 1/6
1
P(H ∩ 3) = 2 x 1/6 = 1/12
4.2.2
Peristiwa Tidak Bebas (Conditional Probability = Peristiwa Bersyarat)
Dua peristiwa dikatakan bersyarat apabila kejadian atau ketidakjadian suatu
peristiwa akan terpengaruh terhadap peristiwa lainnya. Misalnya, dua buah kartu di
Tarik dari set kartu bridge dan tarikan kedua tanpa memasukkan kembali kartu
pertama. Maka, probabilitas kartu kedua sudah tergantung pada kartu pertama yang
ditarik.
Symbol untuk peristiwa bersyarat adalah P (B│A)……. Probabilitas B pada
kondisi A.
Probabilita bersyarat tidak terdapat pada peristiwa
P(A) = P (A│B)
P(B) = P (B│A)
P(A∩B) = P(A) x P (B│A)
Contoh soal:
Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik
keduanya kartu as adalah sebagai berikut.6
Peluang as I adalah 4/52 P(as I) = 4/52
Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51  P (as II│as I) = 3/51
P(as I∩ as II) = P(as I) x P (as II│as I)
= 4/52 x 3/51 = 1/221
5. Permutasi
Permutasi ialah peluang yang terjadi pada sejumlah individu yang disusun dengan
memeperhatikan bentuk susunan atau urutan..7
6
Ibid., halaman 47-52.
Budiarto, Biostatistika Untuk Kedokteran dan Kesehatan Masyarakat, ( Jakarta: Kedokteran EGC, 2001), halaman
102.
7
𝒏!
𝒏 𝑷 𝒓 = (𝒏−𝒓)!
P = jumlah permutasi (urutannya dipentingkan)
n = banyaknya objek
r = jumlah anggota pasangan
! = Faktorial (3! = 3x2x1), 0! = 1, 1! = 1
Contoh:
Ada tiga cara yang efektif untuk pengobatan pasien Ca (kanker) yakni bedah (B), radiasi
(penyinaran = P), dan kemoterapi (obat = O). ada berapa carakah yang dapat diobati
seseorang yang menderita Ca kalua kepada masing-masing pasien hanya dua macam
terapi yang bias diberikan.
Penyelesaian:
Untuk pengobatan ini urutan diperlukan karena seseorang yang mendapat terapi bedah
dan penyinaran (B, P), akan berbeda dengan yang mendapat penyinaran lebih dahulu baru
dibedah (P, B).
3P2=
3!
=
(3−2)!
3×2×1
1
=6
Jadi, jumlah cara yang dapat dilaksanakan adalah : (BP, BO, PB, PO, OB, OP)8
6. Kombinasi
Kombinasi merupakan kumpulan individu tanpa memperhatikan susunan dan
urutannya.9
𝒏𝑪𝒓=
𝒏!
𝒓!(𝒏−𝒓)!
C = jumlah kombinasi (yang urutannya tidak penting)
8
9
Hastono, op.cit., halaman 56-57.
Budiarto, op.cit., halaman 112.
n = banyaknya objek
r = jumlah anggota pasangan
Contoh :
Tiga orang pasien digigit ular dan dibawa ke puskesmas.Di puskesmas hanya tersedia 2
dosis antiracun ular.Berapa kemungkinan pasangan yang diberikan 2 dosis tersebut
(pasiennya A, B, C)?
Penyelesaian :
2 orang yang berpasangan di sini, misalnya A dan B sama saja dengan B dan A. jadi,
disini urutannya tidak ada artinya. Maka dalam hal ini pasangan yang terjadi adalah:
3C2=
3!
2!(3−2)!
=
3×2×1
Mereka adalah : (AB, AC, BC)10
10
Hastono, op.cit., halaman 57.
=3
2×1×1