Pembagian Suku Banyak - Veny Triyana Andika Sari


VENY TRIYANA ANDIKA SARI, M.Pd.
* Persamaan Kuadrat
Definisi :
Persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0, dengan
a, b, c ∈ R dan a ≠ 0.
Harga x yang memenuhi persamaan tersebut disebut akar
persamaan kuadrat.
ax2 + bx + c = 0
Persaman Kuadrat
y = ax2 + bx + c
Fungsi Kuadrat
ax2 + bx + c
Bentuk Kuadrat
Akar Persamaan Kuadrat dapat dicari sebagai berikut:
1. Persamaan Kuadrat Murni
2. Faktorisasi
3. Melengkapkan Kuadrat
4. Rumus Kuadrat
5. Grafik
* Persamaan Kuadrat Murni
contoh:
1. 𝑥 2 − 4 = 0
maka 𝑥 2 = 4 dan akar-akarnya adalah 𝑥 = 2, −2.
2. 2𝑥 2 − 21 = 0
maka 𝑥 2 = 21/2 dan akar-akarnya adalah
1
𝑥 = ± 21/2 = ± 42
* Faktorisasi
2
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
jika p dan q adalah akar-akar maka 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 dan
𝑝 × 𝑞 = 𝑎𝑐
contoh :
3. 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
(-3)+(-2)= -5
dapat ditulis 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0
(-3)×(-2)=6
sehingga penyelesaiannya adalah
𝑥−3=0
dan
𝑥−2=0
𝑥=3
𝑥=2
* Melengkapkan Kuadrat
contoh:
4. selesaikan 𝑥 2 − 6𝑥 − 2 = 0
langkah 1: ubah bentuk menjadi
𝑥 2 − 6𝑥 = 2
langkah 2: tambahkan kedua sisi dengan
1 𝑏
2 𝑎
2
=9
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 2 + 9
𝑥 − 3 2 = 11
𝑥 − 3 = ± 11
𝑥 = 3 ± 11
catatan: 1. koefisien unsur 𝑥 2 harus 1 dan
2. bilangan yang ditambahkan kepada kedua sisi
adalah kuadrat dari setengah koefisiean 𝑥.
* Rumus Kuadrat
penyelesaian persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
diberikan dengan rumus 𝑥 =
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
dimana 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
disebut diskriminan persamaan kuadrat.
* Grafik
akar-akar nyata atau penyelesaian dari 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
adalah harga-harga 𝑥 yang bersesuaian dengan 𝑦 = 0
pada grafik parabola 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Jadi penyelesaian
adalah titik potong dengan sumbu absis 𝑥. Apabila grafik
tidak memotong sumbu 𝑥 maka akar-akarnya adalah
khayal.
Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
1.
Jumlah dan hasil akar-akar
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
dan 𝑥1 . 𝑥2 =
𝑐
𝑎
2.
Syarat- syarat utuk kedua akar persamaan kuadrat:
a. Real, jika D ≥ 0 maka:
1)
Real berlainan , jika D > 0 maka
•
•
2)
3)
4)
5)
real berlainan tanda: D > 0 dan 𝑥1 . 𝑥2 < 0
real berlawanan: D > 0 dan 𝑥1 + 𝑥2 = 0
Real sama, jika D = 0
Real positif, jika D ≥ 0, 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 0 dan 𝑥1 . 𝑥2 >0
Real negatif, jika D ≥ 0, 𝑥1 + 𝑥2 < 0 dan 𝑥1 . 𝑥2 <0
Real berkebalikan, jika D ≥ 0 dan 𝑥1 . 𝑥2 = 1
b. Imajiner, jika D < 0
c. Jika 𝑥1 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 ≠ 0 maka D >0 dan 𝑥1 . 𝑥2 = 0
d. Rasional, jika 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 serta D merupakan kuadrat
bilangan rasional.
* Rumus-rumus lain, sebagai berikut:
a. 𝑥1 2 + 𝑥2 2 = 𝑥1 + 𝑥2
b. 𝑥1 − 𝑥2
2
=
2
− 2𝑥1 . 𝑥2
3
− 3𝑥1 . 𝑥2 𝑥1 + 𝑥2
𝑏2 −4𝑎𝑐
𝑎2
c. 𝑥1 3 + 𝑥2 3 = 𝑥1 + 𝑥2
* Fungsi yang berbentuk
𝑥, 𝑦 |𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
dimana 𝑎 ≠ 0 dan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅
* Harga 𝑥 yang menjadikan 𝑦 = 0 disebut harga
nol dari fungsi tersebut.
* Jadi harga nol dari suatu fungsi adalah akarakar persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
*
𝑥, 𝑦 |𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dapat ditulis dalam
bentuk faktor sebagai berikut:
*
↔
↔
↔
𝑥, 𝑦 |𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
−𝑏
𝑐
2
𝑥, 𝑦 |𝑦 = 𝑎𝑥 − 𝑎
𝑥+
𝑎
𝑎
𝑎
𝑥, 𝑦 |𝑦 = 𝑎 𝑥 2 − 𝑥1 + 𝑥2 𝑥 + 𝑥1 . 𝑥2
𝑥, 𝑦 |𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
* Harga Ekstrim Fungsi Kuadrat
untuk a > 0
jika 𝑥 =
−𝑏
𝑎
, maka y mencapai harga ekstrim minimum
jika D > 0, maka
−𝐷
4𝑎
minimum negatif.
jika D = 0, maka
−𝐷
4𝑎
minimum nol.
jika D < 0, maka
−𝐷
4𝑎
minimum positif.
−𝐷
4𝑎
.
untuk a < 0
jika 𝑥 =
−𝑏
𝑎
, maka y mencapai harga ekstrim maksimum
jika D > 0, maka
jika D = 0, maka
jika D < 0, maka
−𝐷
4𝑎
−𝐷
4𝑎
−𝐷
4𝑎
maksimum positif.
maksimum nol.
maksimum negatif.
−𝐷
4𝑎
.
* Grafik fungsi
𝑥, 𝑦 |𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 terhadap sumbu x
sebagai berikut:
a. Jika a > 0 dan D > 0,
maka grafiknya:
b. Jika a > 0 dan D = 0,
maka grafiknya:
c. Jika a > 0 dan D < 0,
maka grafiknya:
d. Jika a < 0 dan D > 0,
maka grafiknya:
e. Jika a < 0 dan D = 0,
maka grafiknya:
f. Jika a < 0 dan D < 0,
maka grafiknya:
*TUGAS 2 (KELOMPOK):
Buku paket “PENGENALAN ALJABAR”
Halaman 97 – 105 no. 1-30
* PENGERTIAN SUKU BANYAK
suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat.
suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan
dengan:
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎0
*
Dengan syarat :
n ∈ bilangan cacah dan 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , ..., 𝑎0 disebut koefisienkoefisien suku banyak, 𝑎0 disebut suku tetap dan 𝑎𝑛 ≠ 0.
* NILAI SUKU BANYAK
Menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dua cara,
yaitu:
1.
2.
Cara Substitusi
Cara Horner
TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR
Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Linear
Teorema Sisa :
1.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh
pembagi linear berbentuk (x – k), maka
sisanya adalah s = f(k).
2.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh
pembagi linear berbentuk (ax + b), maka
sisanya adalah s = f  ba
 
Bukti : f(x) = (x – k).H(x) + s
Jika x = k, maka f(k) = (k – k).H(k) + s
f(k) = 0.H(k) + s
f(k) = 0 + s  Sisa s = f(k) (terbukti)
Contoh soal :
CARA SUBSTITUSI
1. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7)
oleh (x – 2)
Jawab :
S = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7
= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7
= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7
= 48 + 32 – 1 = 79
Jadi sisa suku banyak di atas adalah 79
2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika
dibagi (2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai
a+b!
2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi
(2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b !
Jawab :
f(x) = (2x3 + ax2 + bx – 2)
s = 7 jika dibagi (2x – 3)
 s = f  32  = 7
s = f  32  = 2  32  + a  32  + b32  – 2 = 7
3
s  f 32  
27
4
2
 9a4  3b
2  7
2
x4
27 + 9a + 6b = 36
9a + 6b = 9 : 3
3a + 2b = 3 ......(1)
f(x) habis dibagi (x + 2)
 s = f(– 2) = 0
s = f(– 2) = 2(– 2)3+ a(– 2)2+ b(– 2) – 2 = 0
s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0
s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0
4a – 2b = 18 : 2
2a – b = 9….......(2)
Dari persamaan (1) dan (2), kita cari nilai a dan b :
(1)….3a + 2b = 3 x 1 3a + 2b = 3
(2)….2a – b = 9 x 2 4a – 2b = 18 +
7a
= 21
a=3
Untuk menentukan nilai b, substitusikan a = 3 pada
persamaan (1) atau (2)  (2)…. 2 . 3 – b = 9  b = – 3
Jadi a + b = 3 + (– 3) = 0
Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk
Kuadrat yang dapat difaktorkan (x – a)(x – b)
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – a)(x – b)
Jika fungsi suku banyak f(x) dibagi oleh (x–a)(x – b),
selalu dapat dituliskan :
f(x) = p(x) . H(x) + s
f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + s(x)
f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + (px+q)
P adalah koefisien x dan q adalah konstanta
Sehingga didapatkan :
f (a )  f (b)
a . f ( b )  b. f ( a )
p
dan q 
a b
a b
Jadi :
f (a )  f (b)
a . f ( b )  b. f ( a )
s( x ) 
x
a b
a b
Contoh soal :
Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7)
oleh x2 + x – 6 !
Jawab :
F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)
P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)
 a = 2 dan b = - 3
Jawab :
F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)
P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)
 a = 2 dan b = - 3
f(a) = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7
= 48 + 32 – 4 + 10 – 7
= 79
f(b) = f(- 3) = 3.(- 3)4 + 4. (- 3)3 – (- 3)2 + 5. (- 3) – 7
= 243 – 108 – 9 – 15 – 7
= 104
Jadi :
f (a )  f (b)
a . f ( b )  b. f ( a )
s( x ) 
x
a b
a b
Jadi :
f (a )  f (b)
a . f ( b )  b. f ( a )
s( x ) 
x
a b
a b
79  104
2.104  (3).79
s ( x) 
x
2  (3)
2  (3)
 25
208  237

x
5
5
 5x  89
Teorema Faktor
1.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki
faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0.
2.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki
faktor (ax + b) jika dan hanya jika f  b = 0
 a
Contoh soal :
Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari
suku banyak (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) !
Bukti :
f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)
Bukti :
f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)
= (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0
Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x)
Terbukti
• (x + 3) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
maka f(-3) = (2.(-3)4 + 7.(-3)3 – 4.(-3)2 – 27.(-3) – 18)
= (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0
Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah faktor dari f(x)
Terbukti
Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak
Menentukan Faktor Linear dari Suku Banyak
Jika f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an dan
(x – a) merupakan faktor dari f(x), maka nilai
a yang mungkin adalah faktor-faktor bulat
dari an
Contoh soal :
Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)
Jawab :
f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8
Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1
Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin
dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0
Untuk a = -2  f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor
dari f(x)
Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan
dengan cara HORNER sebagai berikut :
2
–5
– 14
8
2
–4
–9
18
4
–8
0
x=–2
+
 f(-2)
Sehingga :
f(x) = (x – k).H(x) + s
2x3 – 5x2 – 14x + 8 = (x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0
2x3 – 5x2 – 14x + 8 = (x + 2).(2x – 1)(x – 4)
Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1)
dan (x – 4)
Pembagian Suku Banyak
Hitunglah 1.256 dibagi 3 dengan cara bersusun !
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – k)
1. Cara bersusun
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7
dibagi (x – 2) !
3x3 + 10x2 + 19x
Jawab :
(x – 2)
3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7
3x4 – 6x3
10x3 – x2 + 5x – 7
10x3 – 20x2
19x2 + 5x – 7
19x2 – 38x -
3x3 + 10x2 + 19x + 43  Hasil bagi
(x – 2) 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7
3x4 – 6x3
3 – x2 + 5x – 7
10x
pembagi
10x3 – 20x2
19x2 + 5x – 7
19x2 – 38x 43x – 7
43x – 86 79  sisa
Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43
dan sisanya adalah 79
2. Cara Bagan/Horner/Sintetis :
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x –
7 dibagi (x – 2) !
Jawab :
3
4
-1
5
3
6
10
20
19
38
43
x=2
-7
86
+
79  Sisa
Koefisien Hasil Bagi
Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya
adalah 79
Pembagian Suku Banyak
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax+b)
1. Cara bersusun
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1
dibagi (2x + 4) !
3x3 – 6x2 + 10x
Jawab :
(2x + 4)
6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1
6x4 + 12x3
– 12x3 – 4x2 + 2x – 1
– 12x3 – 24x2
20x2 + 2x – 1
20x2 + 40x -
3x3 – 6x2 + 10x – 19  Hasil bagi
(2x + 4) 6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1
6x4 + 12x3
– 12x3 – 4x2 + 2x – 1
pembagi
– 12x3 – 24x2
20x2 + 2x – 1
20x2 + 40x – 38x – 1
– 38x – 76 75  sisa
Jadi hasil baginya = 3x3 - 6x2 + 10x -19 dan
sisanya adalah 75
6x4 – 4x2 + 2x – 1= (2x + 4)(3x3 - 6x2 + 10x -19) + 75
2. Cara Bagan/Horner/Sintetis :
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1
dibagi (2x + 4) !
Jawab :
6
0
–4
2
6
– 12
– 12
24
20
– 40
– 38
x=–2
6x 3  12x 2  20x  38

H(x) =
a
= 3x3 – 6x2 + 10x – 19
–1
76
+
75  Sisa
6x 3  12x 2  20x  38
2
Jadi hasil baginya : H(x) = 3x3 – 6x2 + 10x – 19 dan
sisanya adalah f(– 2) = 75
Pembagian Suku Banyak
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax2+ bx + c)
1. Cara bersusun
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1
dibagi (2x2 + x – 1) !
2x2 – x – 1  Hasil bagi
Jawab :
(2x2 + x – 1) 4x4 + 0x3 – 5x2 + 3x – 1
4x4 + 2x3 – 2x2
– 2x3 – 3x2 + 3x – 1
pembagi
– 2x3 – x2 + x
– 2x2 + 2x – 1
– 2x2 – x + 1 3x – 2  sisa
2. Cara Bagan/Horner/Sintetis
Contoh soal :
TUGAS 3 (INDIVIDU):
1. Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1
dibagi (2x2 + x – 1) !
*SOAL-SOAL LATIHAN
2.
Suku banyak f(x) dibagi (x  1) sisanya 10 dan jika dibagi
(2x - 3)sisanya 5.Jika suku banyak f(x) dibagi (2x 2  x  3)
sisanya adalah.... .
*SOAL-SOAL LATIHAN
37
3.
Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x  1)sisanya
2
(12x - 23)dan jika dibagi oleh (x - 2)sisanya 1. sisa
pembagian P(x) oleh (x 2  3x  2)adalah.... .
*SOAL-SOAL LATIHAN
38
4.
Suku banyak P(x)  3x 3  4 x 2  6 x  k dibagi (x - 2)
sisa pembagian P(x) oleh x 2  2 x  2 adalah....
*SOAL-SOAL LATIHAN
39
5.
Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x  1) bersisa 8
dan jika dibagi (x - 3) bersisa 4. suku banyak g(x)
jika dibagi (x  1) bersisa - 9 dan jika dibagi (x - 3)
bersisa 15. Jika h(x)  f(x).g(x) maka sisa pembagian
h(x) oleh (x 2  2 x  3) adalah.... .
*SOAL-SOAL LATIHAN
40