aljabar - Blog Unpad

Matematika: Aljabar (Persamaan
Linear)
11/15/2011
MATA KULIAH
: MATEMATIKA
KODE MATA KULIAH : UNM10.103
SKS
: 2 (1(1-1)
ALJABAR
Oleh
Syawaludin A. Harahap
UNIVERSITAS PADJADJARAN
FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN
JATINANGOR
2011
SUB POKOK BAHASAN
PENGANTAR
PERSAMAAN LINEAR
Syawaludin A. Harahap
1
Matematika: Aljabar (Persamaan
Linear)
11/15/2011
PENGANTAR ALJABAR
Aljabar pertama kali dikembangkan
oleh Mu
Muḥ
ḥammad bin Mūsā al
al-Khawāārizm
Khaw
rizmīī (780780-850),
850), seorang ahli
matematika,, astronomi
matematika
astronomi,, astrologi
astrologi,, dan
geografi yang berasal dari Persia
Persia..
Al jabar merupakan bahasa simbol dan
relasi..
relasi
Hukum--hukum Atau SifatHukum
Sifat-sifat Aljabar
1. Sifat tertutup (Closure
Closure):
):
2.
3.
Untuk setiap a, b ∈ R, jika a + b = c dan a x b = d, maka
(i) c ∈ R dan (ii) d ∈ R.
Sifat Pengelompokan (Asosiatif
Asosiatif):
):
Untuk setiap a, b, c ∈ R berlaku
berlaku:: (i) a+(
a+(b+c
b+c)=(
)=(a+b
a+b)+c,
)+c,
(ii) a x (b x c) = (a x b) x c.
Ada elemen Netral,
Netral, yaitu 0 (nol
(nol)) pada penjumlahan dan 1
(satu)
satu) pada perkalian
perkalian.. Sesuai namanya maka sifat elemen
netral tersebut adalah:
adalah: Untuk setiap a ∈ R maka
maka:: (i
( i) a + 0
= a = 0 + a, dan (ii) 1 x a = a = a x 1
Syawaludin A. Harahap
2
Matematika: Aljabar (Persamaan
Linear)
11/15/2011
4. Elemen Invers
Invers..
5.
6.
Setiap bil
bil.. Real a mempunyai invers penjumlahan (aditif
aditif)) yaitu − a
(negatif a) dan untuk setiap a ∈ R dan a ≠ 0 mempunyai sebuah
invers perkalian 1/a (kebalikan a).
a). Dalam hal ini:
ini: (i) a + (-a) = 0 =
(-a) + a, dan a x 1/a = 1 = 1/a x a asal a ≠ 0
Sifat Komutatif
Untuk setiap a, b ∈ R berlaku
berlaku:: (i) a + b = b + a dan a x b = b x a.
Distributif..
Distributif
Untuk setiap a, b, c ∈ R berlaku a x (b + c)= ab + ac.
ac.
Untuk setiap a ∈ R, berlaku a x 0 = 0.
Untuk setiap a, b, c, d ∈ R berlaku (a + b) x (c + d)=ac + ad + bc
+ bd
bd..
Untuk setiap a, b ∈ R, berlaku
berlaku:: (i) (-a) x b = -(a x b), (ii) (a) x -b =
-(a x b), dan (-a) x (-b) = a x b.
PERSAMAAN LINEAR
Syawaludin A. Harahap
3
Matematika: Aljabar (Persamaan
Linear)
11/15/2011
Persamaan adalah suatu pernyataan matematis
matematis..
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak
memuat eksponensial
eksponensial,, trigonometri (seperti sin, cos
cos,, dll.
dll.),
perkalian,, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri
perkalian
sendiri..
Suatu persamaan disebut persamaan linear dalam suatu variabel
jika pangkat tertinggi dari variabel dalam persamaan tersebut
adalah 1.
Contoh :
Jika seorang petani ikan membeli 1 pasang induk ikan lele (x) dan 2
pasang induk ikan nila (y) maka ia harus membayar Rp.
Rp. 5000
5000,,
sedangkan jika membeli 3 pasang induk ikan lele dan 1 pasang
induk ikan nila maka ia harus membayar Rp 10000
10000.. Representasi
dari masalah tersebut dalam bentuk SPL adalah
adalah::
x + 2y = 5000
3x + y = 10000
Garis lurus pada bidang x1 dan x2 dapat dinyatakan
sebagai persamaan a1x1 + a2x2 + b = 0
Bentuk umum persamaan linear:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a12 x2 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + … +a
+amn xn = bm
Syawaludin A. Harahap
4
Matematika: Aljabar (Persamaan
Linear)
11/15/2011
Penyelesaian Persamaan linear:
1. Eliminasi dengan cara substitusi
Contoh:
Contoh:
Sistem persamaan
persamaan:: 3x – 6y = 10……………(1)
10……………(1)
9x +15y = -14……………
14……………(2)
(2)
Selesaikan (1) untuk mencari x:
x = 10/3 + 2y
Substitusikan kedalam (2): 9(10/3+2y)+15y = -14
30 + 18y + 15y = -14
33y = -44
y= - 4/3
Substitusikan nilai y ke dalam (2):
(2): x = 10/3+ 2(2(-4/3)
x = 2/3
2.
Eliminasi dengan cara penambahan
Contoh::
Contoh
sistem persamaan
persamaan:: 2x – 3y =10…………………..(1)
=10…………………..(1)
3x – 4y = 8…………………...(2)
8…………………...(2)
Kalikan (1) dengan -3 dan kalikan (2) dengan 2:
-6x + 9y = -30
6x – 8y = 16
+
Tambahkan::
Tambahkan
y = -14
Substitusikan nilai y ke dalam (1):
(1):
2x + 42 = 10
x = -16
Syawaludin A. Harahap
5
Matematika: Aljabar (Persamaan
Linear)
11/15/2011
y = ax + b
?
LATIHAN -1
Tentukan nilai x dari persamaan berikut:
A. 2
4
C. 6
D. 8
E. 10
B.
Syawaludin A. Harahap
6
Matematika: Aljabar (Persamaan
Linear)
11/15/2011
Pembahasan
Kalikan dengan 10:
6x – 4 = 40 – 5x
11x = 44
X=4
Jadi jawabannya adalah B
LATIHAN -2
Jika suatu sistem persamaan linear:
ax + by = 6…………………..(1)
2ax + 3by = 2………………..(2)
Mempunyai penyelesaian x = 2 dan y = -1, maka a2 + b2 =
…………
A.200
B.174
C.265
D.164
E.110
Syawaludin A. Harahap
7
Matematika: Aljabar (Persamaan
Linear)
11/15/2011
Pembahasan
Substitusikan nilai x=2 dan y=-1 ke dalam persamaan (1) dan (2):
a. 2 - b.1 = 6
2. a. 2 - 3.b.1 = 2
eliminasi a
2. a - b = 6 |x 4| 8.a - 4. b = 24
4. a - 3b = 2 |x 2| 8.a - 6.b = 4 2b = 20
b = 10
substitusikan nilai b = 10
2.a - b = 6
2a – 10 = 6
2a = 16
a=8
Sehingga a2 + b2 = 82 + 102 = 164
Jawabannya adalah D
LATIHAN -3
Tujuh tahun lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur
Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah
sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur
ayah sekarang adalah…
A.39 tahun
B.43 tahun
C.49 tahun
D.54 tahun
E.78 tahun
Syawaludin A. Harahap
8
Matematika: Aljabar (Persamaan
Linear)
11/15/2011
Pembahasan
misal umur ayah = x
umur Budi = y
x – 7 = 6 (y-7) ⇒ x – 7 = 6y - 42
2( x+ 4) = 5 (y+4)+9 ⇒ 2x +8 = 5y+20 +9
kondisi 7 tahun yang lalu antara
umur
ayah dan Budi (masing-masing
umur
dikurang 7 tahun)
x – 7 = 6y - 42 ⇒ x – 6y = -35 ……….(1)
2x +8 = 5y+20 +9 ⇒ 2x – 5y = 21…...(2)
pers (1) dan (2) eliminasi x
x – 6y = -35 x2 ⇒ 2x – 12y = -70
2x – 5y = 21 x1 ⇒ 2x – 5y = 21 - 7y = -91
kondisi 4 tahun yang akan
datang, umur ayah dan Budi
masing-masing ditambah
4 tahun
y = 13
masukkan nilai y ke (1)
x – 6y = -35 ⇒ x – 78 = -35
x = 78 -35
= 43
Jawabannya adalah B
Syawaludin A. Harahap
9