STUDI MENGENAl METODE SUPERPOSISI RAGAM EFEKTIF

STUDI MENGENAl METODE SUPERPOSISI RAGAM EFEKTIF
UNTUK STRUKTUR DENGAN REDAMAN NON-KLASIK
Dennie Supriatna, Bambang Suryoatmono,
Dosen Fakultas Teknik Program Studi Teknik Sipil Universitas Katolik Parahyangan
OCTOBER 2011
ABSTRAK
Metode percepatan ragam dan metode truncation augmentation, memperbaiki cara
metode superposisi ragam standar dengan melengkapi bagian ragam yang terpotong.
Kedua metode ini sudab digunakan untuk struktur teredam secara klasik. Untuk
mengaplikasikan kedua metode ini pada sistem dengan redaman non-klasik, sistem ini
harus didekati dengan sistem redaman klasik.Setiap metode merupakan suatu ekspansi
menuju sistem teredam secara non-klasik untuk analsisis yang efisien dan akurat tanpa
memodelkan struktur sebagai sistem teredam secara non-klasik. Pendekatan state space
digunakan untuk ekspansi pada kedua metode.Keabsahan kedua metode diverifikasi secara
analisis dan numerik. Kestabilan metode modal truncation augmentation bergantung pada
beban luar. Sehingga stabiltas metode ini sangat ditentukan oleh pembebanan tersebut.
Sedangkan untuk metode percepatan ragam tidak dideterminasi oleh kondisi kestabilan
tersebut. Pada kondisi stabiI, kedua metode menghasilkan output yang sarna.
Kata kunci : metode percepatan ragam, metode modal truncation augmentation, state space,
redaman non-klasik
1. Pengantar
Dalam dunia engineering sangat
banyak persoalan yang dianalisis dengan
suatu model pendekatan. Hal tersebut
disebabkan sulitnya pemodelan eksak dalam
proses pencarian solusinya. Salah satu
permasalahan adalah dalam analisis
dinamika struktur, khususnya pemodelan
redaman. Pemodelan redaman yang dewasa
ini dilakukan adalah redaman klasik. Sistem
teredam secara klasik tidak memadai untuk
beberapa kasus khusus, maka banyak
penelitian dilakukan untuk mengarahkan
pencarian respons struktur dengan metode
redaman secara non-klasik. Perbedaan antara
sistem teredam secara klasik dan non-klasik
terletak pada asurnsi koefisien redaman.
Pada sistem teredam secara klasik, redaman
diasumsikan dapat didiagonalisasi sehingga
persamaan diferensial dapat di-uncoupled,
sedangkan pada sistem redaman secara nonklasik hal tersebut tidak dilakukan. Dalam
beberapa kasus khusus, sistem redaman
klasik tidak mewakili respon sebenamya.
Beberapa kasus tersebut adalah struktur
dengan dasar terisolasi dan struktur dengan
peralatan redaman khusus. Kasus lain adalah
sistem interaksi tanah struktur.
Pendekatan pada analisis redaman
non-klasik adalah dengan metode percepatan
ragam (mode acceleration method) dan
modal truncation augmentation method.
Kedua metode ini merupakan suatu ekspansi
menuju sistem redaman non-klasik.
Disamping itu kedua metode ini memberikan
hasil yang lebih efisien daripada metode
superposisi ragam standar.
Pemodelan redaman dapat
diklasifikasikan menjadi 2 bagian besar.
Yang pertama adalab pemodelan redaman
proporsional terhadap matriks massa dan
matriks kekakuan. Pemodelan ini dikenal
dengan pemodelan redaman klasik (classical
damping) atau disebut juga proportional
damping. Yang kedua adalah matriks
redaman yang tidak proporsional terhadap
matriks massa dan matriks kekakuan.
Studi Mengenai Metode Superposisi Ragam EfektifUntuk Struktur Dengan Redaman Non-Klasik
(Dennie Supriatna, Bambang Suryoatmono)
Pemodelan ini dikenal dengan pemodelan
redaman klasik (classical damping) atau
disebut juga proportional damping. Yang
kedua adalah matriks redaman yang tidak
proporsional terhadap matriks massa dan
matriks kekakuan. Pemode1an ini dikenal
dengan pemodelan redaman non-klasik
(non-classical damping) atau disebut juga
non-proportional damping. Untuk
pemodelan redaman non-klasik, sifat
ortogonalitasterhadap ragam tidak berlaku.
Permasalahan lain yang terjadi
adalah pada metode superposisi ragam. Pada
metode superposisi ragam, khususnya untuk
sistem berderajat kebebasan banyak, cukup
sulit untuk mencari semua ragam baik
dengan metode determinan maupun dengan
metode Stodola.Yangbiasa dilakukan adalah
dengan mengambil jumlah ragam
secukupnya dan mengambil faktor
keamanan seperlunya. Hal tersebut tidak
selalu dapat dilakukan, untuk kasus tertentu
kemungkinan ragam yang menentukan
perilaku struktur bisa saja merupakan ragam
yang tinggi (high modes). Karena itu dalam
skripsi ini, akan dibahas metode lain yang
dapat dianggap representatif tanpa harus
memperhitungkan semua ragam. Metode
tersebut adalah metode percepatan ragarn
(mode acceleration method) dan modal
truncation augmentarion method.
1. Dengan Redaman Non-K1asik
Metode analisis dinarnik terbagi
menjadi 2 bagian besar. Bagian pertama
adalah direct integration method, dan bagian
kedua adalahmetode superposisiragarn.
PaOO kasus dimana terdapat redaman
non-klasik, metode superposisi ragam dapat
digunakan yaitu dengan menggandakan
matriks ukuran sistem persamaan diferensial
gerak. Redaman non-klasik berperilaku
berbeda dengan redarnan klasik. Redaman
tidak berbanding lurus dengan massa dan
kekakuan struktur. Sistem dengan redaman
klasik dapat bergetar secara bebas dalarn
sejumlah ragam uncoupled, dengan bentuk
seperti ragarntidak teredam. Persarnaan 3
Secara kontras, sis tern dengan
Jumal Teknik Sipil UBL,Volume 2 Nemer 2, Oktober2011
redaman non-klasik (non-proporsional)
dapat terbentuk dari getaran bebas dengan
sejumlah ragam uncoupled yang mana setiap
titik dapat berdeformasi mengikuti kurva
redarnan secara eksponensial pada frekuensi
yang sarna, namun pada sudut fase yang
berbeda, Karena itu belum tentu pada saat
yang sarna satu nodal mengalami peralihan
maksimum, dan nodal yang lain juga
mengalami peralihan maksimum. Jadi pada
sistern redaman secara non-klasik, setiap
vektor eigen yang terjadi (ragarn)ditentukan
tidak hanya oleh amplitudo, tapi juga oleh
sudutfase.
Dengan demikian, pada analisis
sistem redaman secara non-klasik
perhitungan melibatkan bilangan kompleks
sebab sistem bilangan ini dapat
rnerepresentasikan besaran yang memiliki
perbedaan fase sekaligus amplitudo
(magnitude). Kedua besaran tersebut dapat
digarnbar dengan koordinat vektor pada
diagramArgand.
Koefisien matriks massa, kekakuan
dan redaman dilakukan dengan asumsi :
1. Massa terpusat (lumped mass)
2. Bangunan berupa shear building (lO
lantai)bidang
3. Beban yang bekerja adalah beban
sinusoidal
4. Redaman adalah hasil superposisi dari
internal darnping (diasumsikan redaman
klasik) dan external damping yang
merupakan redarnannon-klasik
Persarnaan yang digunakan dalarn asumsi
proportionaldamping adalah
[e]: aIM]
+8
[K]
1
Koefisien-koefisien pengali massa dan
kekakuan dapat dicari dengan pendekatan :
2
13 : 2(ro24 2 -~41)
(roi - ro;)
3
dirnana :
(Oi~ frckuensi alamisudutke i
~i ~ rasioredamanke-i
Persamaan gerak sistem struktur linear
adalah sebagaiberikut:
[M]. (u(I)} +[C]. {u(l)} +[C]{u(l)} ~ (R.,l.r(l)
4
dengan: [M] ~ matriksmassa
[C] = matriksredaman(n x n)
[K] = matriks kekakuan (nxn)
{Ro) ~ matriks beban ruang
invariant ( n x I)
r(t) ~ matriks beban ruang variant
(dinyatakandalamscalar)
{u(t»)~ vektor perpindahan (n x I)
pada sistern teredam secara non-klasik,
sistem persamaan diferensial
ditransformasikan menjadi persamaan
diferensial ordo I dengan menyatakan
persamaan diferensial gerak dalam
persamaan state space. Persamaan yang barn
untuk sistem teredam seeara non-klasik
adalah:
B.y(t)-A.y(t) = Fo·r(t)
Dirnana: A
[-K0] B=[~ ~]
=
0
M
[1\,]
_[U(t)]
yet) .
Fo =
u(t)
Persamaan tersebut ditransformasi ke
koordinat ragamsbb:
U(t)= [<1>]. q(t)
5
Sarnpai diperoleh persamaan diferensial
yangsudahdiuneoupling yaitu:
8
0
Pada analisis respons ragam, koordinat fisik
dari persamaan 6 ditransformasikan menjadi
koordinat ragam z(t), dengan ['1'] sebagai
vectoreigen.
yet) =[IV ].z(t)
9
Dengan ['1'] didapat dari masalah nilai eigen:
dengan
.p,
vektoreigenke-i
(j), = frekuensi alamisudutke-i
~, ~ rasioredamanpadasistem
~
Untuk meneari respons, metode superposisi
ragam (mode displacement method) sistem
teredarn seearaklasik:
10
dengan
s, = nilai eigen, dapat berupa bilangan
kompleksdan konjugatnya;
'1',= vektoreigen ke-i
Persamaan dinamik dapat ditransformasikan
menjadi2n persamaan uncoupled
m
u(t) = L,cJl,.q,(t)
7
z,(t) - s,.z, (t) =IV T F;,.r(t)
11
"0=1
dengan m-c-c n
Mode displacement method memberikan
respons pendekatan sebab jumlah ragam
yangdigunakan(m) lebihkeeildaripadatotal
ragamsistem.
Jika sistem teredam seeara non-klasik,
persarnaan 4 tidak dapat ditransfonnasi
menjadi n persamaan uncoupled sebab
matriks [C] tidak bisa didiagnalisasi. Untuk
mengapl ikasi mode superposition method
Pada persarnaan di atas, zi (t) dapat terjadi
pada sistem bilangan kompleks. Maka
persamaan respons dapat diperoleh dengan
mengambil2q ragam dari pasangan bilangan
kompleksdan konjugatnya.
r,IV ,'z,(t)
yet) =
i=!
StudiMengenai Metode Superposisi Ragarn EfektifUntuk StrukturDenganRedaman Non-Klasik
(Dennie Supriatna, Bambang Suryoatmono)
12
q merupakanragam yang digunakan,dengan
q-ccn.
Nilai dan vektor eigen dalam penelitian ini
dilakukan dengan cara iterasi, Langkah
iterasiadalahsebagaiberikut :
1:-{
}
I (J"}=-i'+11
-.
(J" -
!
13
dengan :[DJ=[Arl.[B]
{l!>} = {E}+L{a}
l.=a+i.b
14
15
16
Substitusi persamaan 15 dan 16
persamaan13,didapat:
ke
(a + i.b).[{ E} + L{o}J = {D}.[( E} + L{o}]
17
(a.s- b.o)+ (a,o- b.s).i = D.E + iDa
18
I(~ +
~
n'
a
b
I<a' +b')'{E}-2.a'+I{e)+"'{e}=0
25
gaoli r dengan r +1
+b'y+I{&}-2.a'+'I&}+>+'{E}=0
26
!lUIis ul1lll8 2 persamaan di alas deogon tomponen ke-i:
I
ira' + b')'e, -2.a.'+l e,+"'e, =0
27
I(a
I:lidapal:
la' + b' =
I
r+l g. r+3 g. _(t+2
,',
C S/
'I
2a -
l.-
+2 S j
I
I
8/+ 2~
,
-C+!SJ2
r 8 .. r+ 3 g. _c + t &_.c+28
r
s.)'
_r+ 1s) 2
I
I
I
lA, =a +i.b
29
30
31
jnaka nilai eigen adalah:
D' {cr} = b.' {E} + a.' {cr }='+l {cr}
20
!
1
I'
I
"'
r [o} = ~.r {e} _ .!-.r+1 {s}
a
I<ilai rogam yang didapa! dari basil iterasi ini adelah
fundamental. Untuk rogam-ragam lain, sifa!
pI1ogonalitas masing-masing rogam dapa! dimanfnatknn.
Karenaitu nilai ragam dan nilai eigen tersebut dapat dicari
\!engan cera berikut:
I-m
21
b
, {cr } = .!-. ,+1 {cr } _ b. r [s}
n
is=-
I
Ubah posisipersarnaan:
a
24
..b
!
denganr kali maka;
Bagianriil:
b
2:1
~alikan deogon ab, didapat
i
Bagianimajiner:
~.'<1 {E} - ~.'<1 {oj = 0
{E} -
i(~ + !>.}, {E} - ~.'<1 {E} -rJ.-"'{E} = 0
Ib
jika iterasi dengan eara yang sarna sampai
19
22
a
i r dengo r + 1 paela p....amaan 23 dan substitusi ke
ersamaan 18, didapat
\
D' {E} = a.' {E} -b.' {cr }="I {E}
b'l}
e
-.
~iminasi '{a), didapal
Jika suatu vektor eigen {<l>}, maka
permasalahan nilaieigenadalah:
{l!>h = s, .[D). {l!>l.
a
I
(14'); .[B]. (4') = 0
22
33
\
i-
T
1(4'), .[B].(l!»= 0
34
{4>}' = {E}. +i.{al l
35
,:{Ijl}. = {E}I -i. {a}.
36
i
~ubstitusikan persamaan-persamaan tersebut, didapat:
({E h + i. {cr hy.[ B].({E}+ i. {cr})= 0
Y
({E h -i. {cr}1 .[B].({E} + i. {cr})= 0
Jurnal Teknik Sipil UBL, Volume 2 Nomor 2, Oktober 2011
37
r----r----.--II--I
Sesudah disederhanakan, didapat:
Er.B£-CJ,T.BO+(Er .BO+CJr.B£).i=O
38
E{.B£ +CJr.B.CJ +(Er.Bo -ar.B£).i =0
39
Cukup diambil 2 komponen untuk iterasi,
yaitu:
£;.B.£ =0
40
t---t---+-II--I
1----1---+-11--1
t---t---+-II--I
1----1---+-11--1
1----1---+-11--1
Dan
41
cr;.B£ =0
1----1---+-11--1
Semua persamaan disederhanakan seeara
aljabarmenjadi:
t---I---+-11--1
(~' {E},-i.'" {E} ).[B].{E} =0
1----1---+-11--1
~.' {E};.[B].{f}-i.'"
42
1----+--1-11--1
{f};.[B].{f}=0
anggap persamaan pertama dari persamaan
42 sebagai persamaan pertama dan lib tidak
nol., Maka:
'+I{£};.B.{£} =0
43
Dengan demikian, nntuk memastikan apakah
iterasi dari trial vector konvergen, menuju
ragam selanjutnya( ragam yang lebih tinggi),
maka trial vector tersebut harus memenuhi
kondisi ortogonalitas yaitu:
'{e}{.B.{E}=O dan "'{E}{.B.{E}=O
44
Dengan menggunakan dua kondisi tersebut,
dihasilkan dua persamaan yang dapat
diekspresikan sebagai matriks kondensasi,
yaitu:
{D'}.{£} = [e}
Gambar 1 Portal yang ditinjau
45
Dimensi kolom lantai satu 400 mm X
400 mm, sedangkan kolom di atasnya 300
mm X 300 mm. modulus elastisitas
komponen strnktur adalah 200.000 MPa.
Tinggi antar lantai adalah 4 m untuk lantai
dasar dan 3 m untuk lantai di atasnva. Massa
lantai satu adalah 300.000' N .s2/m,
sedangkan massa di atasnya adalah 240.000
N.s2/m. Pada setiap lantai terdapat redaman
luar sebesar 18000 N.s/m.
Berdasarkan data tersebut dapat
diperoleh nilai dan vektor eigen ragam
pertama dan ke dua
dengan cara iterasi
sebagai berikut
Kalikan ulang dengan D, dihasilkan:
{D KD'}.' {c}='+1 {s}
46
3. Studi Kasus
Dalam penelitian ini ditinjau portal seperti
Gambar I.
Studi Mengenai Metode Superposisi Ragam EfektifUntuk Struktur Dengan Redaman Non-Klasik
(Dennie Supriatna, Bambang Suryoatmono)
t!>.
=
6.369122.10,3
-2.579791.10'3
-1.l4803E -12
2.24171E-ll
0.014676
-5.941491.10'3
5.34113E-12
6.44993E -13
0.022639
- 9.164042.10,3
9.48931E-12
3.10349E -12
0.030072
-0.012172
1.12219E-11
2.76755E -12
0.036801
-0.014895
1.02483E -11
1.97998E -12
0.042667
-0.017269
6.81192E -12
8.90657E -13
0.047534
-0.019238
1.97792E-12
-3.29616E-13
0.051288
-0.020757
-3.28538E-12
-1.45416E -12
0.053841
-0.02179
-7.5332lE -12
- 2.33129E -12
0.055132
-0.022313
+i.
3
-3.365085.10.
-6.631563.10'3
-7.750771.10'3
-0.015281
-0.011955
-0.023573
-0.015879
-0.031312
-0.019431
-0.038318
-0.022529
-0.044427
-0.025098
-0.049494
-0.02708
-0.053403
-0.028427
-0.056061
-0.029109
-0.057405
{t!>}2 =
Kedua vektor eigen tersebut
digunakan dalam proses perhitungan
pencarian respons dengan 2 metode yang
diusulkan yaitu mode acceleration method
dan modal truncation augmentation method.
Keuda metode tersebut akan dibandingkan
dengan mode displacement method .Berikut
adalah ulasan mengenai ketiga metode
tersebut.
4. ModeDisplacementMethod
Untuk menghitung respons suatu
struktur dengan redaman non-klasik, sistem
tersebut ditransformasi menjadi sistem
persamaan diferensial lepas (uncoupled)
seperti hainya analisis sistem redaman klasik.
Respons fisik tidak bisa dinyatakan dengan
bilangan kompleks atau kojugatnya, karena
itu, hasil respons ragam harus ditransformasi
Jumal Teknik Sipil UBL, Volume 2 Nomor 2, Oktober201l
-9.92085E -12
1.38816E -10
+i
-2.79949E-12
-5.82538E-I0
4.61488E -11
3.23947E-I0
4.81996E-11
-7.04lE-12
4.22158E -11
-8.05974E-12
2.9666E-11
-7.21854E-12
1.28938E -11
-4.7158lE-12
-5.72292E-12
-1.26338E -12
- 2.27563E-ll
2.44408E-12
-3.61705E-ll
5.4595E-12
- 4.35087E-11
7.1812lE-12
menjadi respons fisik yang hanya merentang
sistem bilangan riil. Perhitungan respons
tersebut adalah sebagai berikut:
~,(t) - s,.z;(t) ='1' T Fo.r(t)
47
dengan menggunakan transformasi Laplace
(complex domain) perpindahan ragam dapat
dicariyaitn:
~
F(s) =Je-".!(t)dt
48
o
J
~
Z,(s) = eO"~ .z;(t)dt
49
o
Asumsikan bahwaz(O) = 0
(Z(t»= Z(s)
s
50
I. (\jI rPo·r(t)) =R(s)
51
Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam
bentukkoordinatpolar:
52
x = a + i.b = 1~.e'·9
substitusi semua komponen tersebut ke
persamaandiferensial, menghasilkan:
z, (s) }(IjI: .Fo.r( t))
s -Si
f
Komponen ke-m dari respons fisik di atas
adalah:
53
denganmenggunakanteoremaEuler:
denganteoremakonvolusi, didapat:
e,·9 = coss
t
z;(t) = e"u-M)jf;.Fr ·r(,1.).d,1.
54
o
Ym(l) =2
J
t
55
o
Responsfisik:
lq
y(t) = ~)l',.z,(t)
I
~
= LIjI,·Z,+IjI,Zi
;=1
q
=
i2:, 9\(1jI ,Z,)
56
;=1
{IjI}=
I
x '. ]
[ s.x,
Ro]
T
[
[s..x, ] 0 .r(t) =x,.R".r(t)
X,
57
+ i.sinS
iy,JIt:
~I're"'-<lJ.ool(~,(I-d)-Hl: -Hl")"d)~}
r~l-"j
Po
i=I
demikianpula untuk respons ragamkonjugat
kompleks:
;,(t) = e;,(t-oJ)jf ~ P o·r(,1.).d,1.
60
5. ModeAcceleration Method
Prinsip dasar metode percepatan
ragam adalah, berdasarkan definisi, jumlah
ragam yangdiambil secara akurat merentang
range dari tingkat frekuensi beban,
sedangkan respons akibat beban yang
direpresentasikan dengan ragam yang tidak
digunakan akan menghasilkanrespons quasi
static. Konsekuensinya, respons yang
dihasilkan oleh ragam yang tidak diambill
digunakan tidak memiliki amplifikasi
dinarnik. Dengan kata lain, ragam-ragam
yang digunakan tidak akan menyebabkan
respons kecepatan atau percepatan.
Percepatan dan kecepatan dapat ditentukan
dengan menurunkandari respons dari ragam
yangterambil.
Dalam mengembangkan teori irn,
persamaan (2.10) ditulisulang sebagai:
y(t) =A-I.B.y(t) - £l.F;,(t)
61
n
= L,x:.R;.r(t)
hI
dengan menggunakan persamaan (2.II ),
persamaantersebutmenjadi:
dengandemikianresponsfisik adalah:
y(t)
=A-I.B.fljl ,z, -£IPO(t)
;=1
StudiMengenai MetodeSuperposisi Ragam EfektifUntuk StrukturDengan Redaman Non-Klasik
(Dennie Supriatna, Barnbang Suryoatmono)
62
Respons dari Mode Acceleration method
dapatdinyatakan sebagai:
Yma(I)== Y,(t) +Y....(I)
63
Bagian pertama ( Y, (I) )adalah respons dari
ragam yang digunakan, dengan kata lain
berasal dari analisis dengan mode
displacement method. Sedangkan bagian
kedua adalah peraliban penambah karena
pemenggalanjumlah ragam yang digunakan.
y,_(t) Dihitung dengan mengurangkan
persamaan (2.11) dari persamaan (2.52),
didapatkan:
yang digunakan. Untuk solusi respons, MT
vectors dan frekuensi Rayleigh Ritz
ditambahkan untuk eigen-vector yang
digunakan dalam analisis respons ragam
seolah-olah vektor tersebut adalah vektor
eigen.
MT vector ditentukan mula-mula
dengan menyelesaikan vektor peralihan
A.P==R,
MTvector, P,dapat ditentukan dengan cara:
1P==-.P
68
Dengan a == ~(j;r .B.P)
69
a
64
dengan Rt adalah vektor gaya pemenggalan
yangdidefinisikan sebagai:
R, := F;, -R,
65
67
Untuk analisis respons dengan metode MT,
transfonnasi yangdigunakan:
70
dengan Rsadalah vektor beban ruang:
66
Dengan transformasi ini, dilakukan reduksi
dan persamaan (2.1O)sedemikian sehingga:
pT.BPzp(t)_pT .APzp(t) = pT.R,r(t)
6. Modal Truncation Augmentation
Method
Mode truncation augmentation
method sama seperti mode acceleration
method berusaha untuk mengkoreksi
representasi yang tidak sesuai dan beban
ruang (spatial load) dalam domain ragam
dengan menciptakan "pseudo-eigen" atau
MT vectors untuk menyertakan himpunan
ragam dalam analisis respons. Tenninologi
dari "pseudo-eigen" digunakan sebab MT
vectors ortogonal terhadap matriks
komposisi A dan B tetapi tidak memenuhi
permasalahan nilai eigen. MT vectors
diturunkan dengan pendekatan matematika
Rayleigh Ritz dengan berdasarkan vektor
basis Ritz, dikembangkan dengan vektor
pemenggalan gaya ruang (spatial force
truncation vector), Rt.
MT vectors memiliki sifat ortogonal
terhadap vektor eigen yang diambil sebab
vektor gaya terpenggal (truncation) tidak
mengandung komponen dari eigen-vector
Jumal Teknik Sipil UBL.Volume 2 Nomor 2, Oklober2011
71
persamaan tersebut dapat disederhanakan
lagi menjadi:
72
Dengan sp == P' .A.P
Zp (t) Dihitung dari persamaan (2.61), dan
kemudian Zp (I) ditransforrnasi balik untuk
menghasilkan solusi MT yang
merepresentasikan ragam yang tidak
digunakan.
Dengan demikian didapat:
Y,m, (I) == P.z p (I)
73
ym,(t):= Y,(t)+ Y"",(t)
74
7. Perbandingan Mode Acceleration
Method dan Mode Truncation
Augmentation Method
7.1.
7.1.1.
Karakteristik
dari Modal
Truncation Augmentation Method
untuk Sistem Teredam secara NonKlasik
Untuk keba~yakan struktur, Is,I > ~ , sebab
elemen matnks A adalah properti material
struktur yang mana
adalah frekuensi
beban luar. Lalu zl'(t)dapat ditmsformasi
balikuntuk menghasilkan solusi dari metode
MY untuk peralihan yang mewakili ragam
yang tidak digunakan:
ro
Yin" (I) = e»,(I) = P pI' .R, .sinuo.r)
Kestabilan
sp
Untuk memeriksa kestabi!an dari
metode MT, solusi umum untuk persamaan
diferensial gerak yang dinyatakan dalam
koordinat state space diselesaikan untuk
kondisi awal zp(0i=' 0, dengan pembebanan
harmonikr(t) = sin(m) diberikan pada struktur.
Solusi tersebut adalah:
'1'(1)=
pT,~, (ro.e'"
s~ +00
-sp.sin(ro.I)-ro.COs(roJ)
75
Gaya yang diterapkan diasumsikan
sebagai beban harmonik sebab beban luar
seperti gempa dapat direpresentasikan dalam
kombinasi bebanharmonik.
Persamaan di atas stabi! ketika
memenuhi kondisi:
r
s".A.sp <0
76
Jika kondisi di atas tidak dipenuhi,
maka metode ini akan divergen. Dengan
demikian metode MT dapat diaplikasikan
pada sistem teredam seeara non-klasik
selama syarat kestabilan persamaan
terpenuhi. Kestabilan bergantung pada input
beban (konfigurasi pembebanan), jenis
beban, konfigurasi massa tiap lantai, momen
inersia kolorn, dan besamyaredaman.
7.1.2. Karakteristik Solusi Mode
TruncationAugmeutation Method
Ketika kondisi kestabilan terpenuhi,
suku pertama dari persarnaan tersebut dapat
diabaikan sebab rnengecil secara cepat. Suku
yangketigapundapat diabaikanjika I" I > > m
Terpenuhi. Persarnaan dapat disederhanakan
menjadi:
zp()
t
- pT .R, .SIn
. ()
ooJ
77
78
Sedangkans ; L£'.R, sehinggasolusi metode
MTadalah: a
pI' .R, . (_ )
Y'm' ()
I =--.sm 00.1
79
u'SI'
DenganhubunganR, = A.a.P dans, = P'.A.P
maka
Seeara singkat dapat dikatakan
bahwa metode MY dibatasi oleh kondisi
kestabilan metode tersebut. Ketika nilai
s I' < 0 ,Maka metode MT dikatakan stabil
dan dapat diaplikasikan pada sistem struktur
teredam seeara non-klasik dan hasilnya harus
hampir sarna dengan metode MA. Solusi
metode ini dapat dilihat pada gambar 2
t :'" 0,0.01.. 3
nmz
0,001
ymt(l)
-O.f101
Gambar 2 Solusi modal truncation
augmentation method
sf'
Studi Mengenai Metode Superposisi RagamEfektif Untuk Struktur Dengan RedamanNon-Klasik
(Dennie Supriatna, BambangSuryoatmono)
7.2. Karakteristik
dari Modal
Displacement Method untuk Sistem
Teredam secara Non-Klasik
Metode ini tidak mempunyai
batasan dalam kestabiian solusi sehingga
dapat berlaku untuk berbagai kasus beban.
Solusimetode ini dapat dilihatpada gambar3
0.00'.---,--..,----,------,------,---,
0.00
y~t)
0
-0.00
-0.00,4-0
----'. ,.--
L--
0.5
L-- .L1.5
2
..L.25
--'
t
Gamhar 3 Solusi modal acceleration method
Terlihat dari kedua output tersebut bahwa
metode mode acceleration dan metode modal
truncation augmentation method
menghasilkan respons yang mendekati
meskipun dengan konsep yang berbeda.
Perbedaan akan menjadi tidak signifikan
sangat besar danjauh lebih besar
ketika
dari ill . Namun kedua metode tersebut
melengkapi respons dari mode displacement
method meskipun kedua metode tersebut
masih memiliki kekurangan.
Is,l
Pada kedua output tersebut,
perbedaan menjadi cukup signifikan sebab
tidak sangat besar. Besamya nilai
nilai
parameter ini sangat tergantung pada
karakteristik gedung seperti modulus
elastisitas, dimensi penampang, besamya
redaman luar, serta pembebanan. Khusus
untuk pembebanan, [s,1 dapat berbeda untuk
besar dan
penempatan serta arah
pembebanan yang berbeda. Dalam hal ini
adalah
beban yang mempengaruhi nilai
beban invarian.
Is,l
Is,l
8. Kesimpulan dan Rekomendasi
8.1.
Kesimpulan
Jumal Teknik Sipil UBL, Volume 2 Nomor 2, Oktober 2011
Metode mode acceleration dan
metode modal truncation augmentation
merupakan suatu metode untuk pencarian
respons tanpa perlu menghitung semua
ragam dan nilai eigen. Pemotongan jumiah
nilai eigen yang terlalu besar akan
menyebabkan penyimpangan respons yang
cukup jauh sehingga respons yang
didapatkan tidak mewakili untuk
perhitungan lebih lanjut,
Altematif perhitungan lain adalah
dengan Direct integration method, namun
metode ini cukup efektif ketika durasi
pembebanan relatif pendek. Selain itu
perhitungan metode ini melibatkan analisis
numerikyang tidak praktis.
Perhitungan manual masih
dirasakan cukup diperlukan. Karena itu,
dalam skripsi ini diusulkan metode mode
acceleration dan metode modal truncation
augmentation yang dapat memberikan
respons tanpa kehilangan ketelitian yang
signifikan.
Pada metode modal truncation
augmentation, terjadi determinasi yaitu
hanya untuk kasus tertentu saja metode ini
dapat diaplikasikan. Kasus tersebut adalah
seperti konfigurasi pembebanan, konfigurasi
massa lantai, kekakuan, dan redaman luar.
Hal tersebut direpresentasikan dalam nilai
s,=pT.A.P. Jika nilai s,jauh lebih kecildari nol,
maka respons dengan metode modal
truncation augmentation konvergen menuju
solusi eksak.
8.1.
Rekomendasi
Berdasarkan penelitian, metode
mode acceleration lebih direkomendasikan
sebabpada metode iniberlaku umum, artinya
berlaku untuk berbagai kondisi seperti
konfigurasi
pembebanan, dimensi
penampang, dan modulus elastisitas. Untuk
metode modal truncation augmentation,
solusi stabil hanya untuk kasus tertentu saja,
yaitu jika kasus memenuhi kestabilan
persamaan.
1
9. Daftar Pustaka
[7] Dickens,J.M,Nakagawa, J.M.,andWittbrodt,
M., J.(I997)." A Critique of Mode Acceleration
[I] Cheng, Franklin. Y. (2002). Matrix Analysis of
Structural Dynamics. Marcell Dekker, Inc
and modal truncation augmentation methods for
modal response analysis." Computers and
Structures, 62(6),p. 985-998
[2] Chopra, A. K(1995) Dynamics of Structures.
Englewood Cliffs, NJ:Prentice Hall
[3J Churchill, Ruel V and Brown, James
Ward.( I 990). Complex Variables and
Applications, fifth edition. McGraw-Hail, Inc.
[8J Hahn, Liang-shin(l994). Complex Numbers
and Geometry. The Mathematical Association of
America.
[9) Hurty, W.C and Rubinstein, M. F (1964).
Dynamics ofStructure. Clifton,NJ, Prentice-Hall
[4J Clough R.W. and Penzien, J(1993) Dynamics
ofStructural, secondedition. McGraw-Hail, New
York.
[5J Craig, Roy. R.Jr (1981). StructuralDynamics.
JohnWiley & Sons
[6J Dewobroto, Wiryanto(2004) Aplikasi Sain
dan Teknik dengan Visual Basic 6.0, Edisi ke 2.
Penerbit PT Elex Media Kornputinto Kelompok
Gramedia, Jakarta
[lOJ James, Glyn (1999). Advanced Modem
Engineering Mathematics, second edition.
Prentice Hall,NewYork
[I IJPaz,Mario. (1985). Structural Dynamics 2nd
Edition. Van Nostran, NewYork.
[12J Sang-Won Cho, Hung-Jo Jung and In Won
Lee (June 2005). "Efficient Mode Superposition
Methods for Non-Classically Damped System ",
Steel Structures.
Studi Mengenai Metode Superposisi Ragam Efektif Untuk Struktur Dcngan Redaman Non-Klasik
(Dennie Supriatna, Bambang Suryoatrnono)