Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1 PROYEKSI

Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
ISSN 1979-8911
PROYEKSI POPULASI PENDUDUK KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN
MODEL PERTUMBUHAN POPULASI VERHULST DENGAN
MEMVARIASIKAN INTERVAL PENGAMBILAN SAMPEL
Diny Zulkarnaen
Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
[email protected]
ABSTRAK
Bandung merupakan kota metropolitan terbesar ketiga setelah Jakarta dan
Surabaya, dengan kepadatan penduduknya sebesar 14.634 Jiwa/km2. Padatnya penduduk
kota Bandung tentu akan semakin banyak menuai berbagai permasalahan yang berkaitan
erat dengan kesejahteraan, antara lain penyediaan sandang, pangan dan papan, lapangan
pekerjaan, masalah ekonomi, lingkungan, pendidikan, kesehatan, dan sebagainya. Maka
dari itu pemerintah kota Bandung perlu melakukan antisipasi dalam menyeimbangkan
kebutuhan masyarakat. Antisipasi jangka panjang dapat dilakukan dengan melakukan
proyeksi jumlah penduduk kota Bandung. Proyeksi penduduk kota Bandung dapat
dilakukan melalui pemodelan secara matematis menggunakan model verhulst.
Sebelumnya Augustus Wali telah melakukan proyeksi populasi penduduk di Negara
Rwanda dengan mengambil sampel jumlah populasi penduduk pada tiga tahun lampau
secara berturut-turut atau interval satu tahun. Cara pengambilan sampel data pada interval
ini penulis anggap kurang tepat, karena data yang diambil tidak merepresentasikan
kondisi keseluruhan pertumbuhan suatu daerah. Maka dari itu dilakukan penelitian lebih
lanjut dengan melakukan variasi interval pengambilan data dengan maksud mencari
aproksimasi yang terbaik yakni dilihat dari galat yang dihasilkan. Galat tersebut diperoleh
menggunakan perhitungan Mean Absolute Percentage Error atau MAPE. Interval yang
memiliki galat terkecil dapat digunakan untuk melakukan proyeksi penduduk kota
Bandung
Kata Kunci : Proyeksi penduduk, Model Verhulst, MAPE
negara miskin yang memiliki rata-rata
1. PENDAHULUAN
Permasalahan penduduk merupakan
laju
pertumbuhan
penduduk
masalah yang cukup serius yang harus
pertahunnya sebesar 2,6 %, padahal laju
dihadapi oleh setiap negara, terutama
pertumbuhan penduduk idealnya berada
bagi negara berkembang maupun negara
pada level dibawah 1%, sedangkan di
yang
negara
negara-negara maju level pertumbuhan
tertinggal. Sebagai contoh negara-negara
penduduk pada umumnya berada di
di Afrika Barat yang merupakan kategori
bawah 1%. Di Indonesia sendiri, yang
dikategorikan
sebagai
128
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
termasuk
dalam
kategori
ISSN 1979-8911
Negara
tingkat pertumbuhan beberapa tahun
pertumbuhan
terakhir. Dengan mengetahui tingkat
penduduknya tidak terlalu tinggi bahkan
pertumbuhan penduduk kota Bandung
cenderung menurun. Namun akan lebih
pada
baik
pemerintah
berkembang,
lagi
apabila
persentase
tahun-tahun
kota
ke
belakang,
dapat
melakukan
pertumbuhannya berada pada level
antisipasi. Akan tetapi antisipasi tersebut
dibawah 1%.
hanya berlaku untuk beberapa tahun
Berdasarkan
sensus
kedepan atau dalam jangka pendek.
penduduk tahun 2012, Bandung yang
Akan lebih baik lagi apabila usaha
juga merupakan ibukota provinsi jawa
maupun antisipasi dilakukan dalam
barat,
jangka
memiliki
hasil
jumlah
penduduk
panjang
dengan
jumlah
melakukan
sebesar 2,46 Juta dengan luas 168,23
proyeksi
penduduk
hingga
km2, artinya kepadatan penduduk di kota
beberapa tahun kedepan, karena masalah
Bandung sebesar 14.634 Jiwa/km2 [3],
ini bukan masalah kecil, melainkan
sedangkan laju pertumbuhan penduduk
berkaitan dengan kesejahteraan seluruh
kota Bandung berdasarkan sensus tahun
penduduk kota Bandung.
2000-2010 sebesar 1,16%. Dengan
Proyeksi penduduk kota Bandung
angka kepadatan dan laju pertumbuhan
dapat dilakukan melalui pemodelan
kota Bandung tersebut bukan tidak
secara
mungkin akan menyebabkan banyak
matematika disini digunakan untuk
sekali permasalahan seperti kemacetan,
memperkirakan
kesenjangan
mengetahui
sosial,
imigrasi
besar-
besaran, dan sebagainya.
matematis.
Pemodelan
jumlah
angka
penduduk,
pertumbuhan
penduduk, dan mengetahui batasan
Dengan masalah-masalah yang
jumlah penduduk maksimum. Data yang
diungkapkan diatas, maka pemerintah,
digunakan untuk melakukan proyeksi
khususnya pemerintah kota Bandung
adalah jumlah populasi penduduk pada
perlu
memenuhi
tahun-tahun
yang
lampau
untuk
kebutuhan warga negaranya sebagai
memperoleh
solusi
berupa
jumlah
bentuk pemerintah yang bertanggung
penduduk untuk setiap waktu (tahun).
jawab. Tentu saja besarnya usaha yang
Banyaknya
dilakukan pemerintah berdasarkan data
sebanyak
dan informasi (salah satunya) mengenai
berurutan, misalnya data penduduk yang
bersiap-siaga,
data
tiga
tersebut
tahun
tetapi
cukup
secara
129
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
ISSN 1979-8911
digunakan adalah tahun 1990,1991, dan
semakin besar, peningkatan kepadatan
1992. Selanjutnya dilakukan verifikasi
populasi
terhadap solusi model tersebut dengan
kemampuan individu untuk mengambil
mencari
sumberdaya yang mencukupi untuk
galat
yang
terjadi
antara
bisa
mempengaruhi
aproksimasi (solusi) model dengan data
pemeliharaan,
sebenarnya. Galat tersebut diperoleh
reproduksi.
menggunakan
Mean
sumberdaya yang sangat terbatas, dan
atau
ketika populasi menjadi semakin padat,
disingkat MAPE [5]. Apabila galat yang
masing-masing individu hanya akan
dihasilkan
mendapatkan
Absolute
perhitungan
Persentage
cukup
Error
pertumbuhan,
Populasi
hidup
maka
penyebabnya
adalah
sumberdaya yang semakin lama semakin
model matematika yang dibentuk kurang
habis. Jadi dapat dikatakan bahwa pasti
tepat, ataupun ketidaktepatan dalam
terdapat suatu batasan dari jumlah
pengambilan sampel data. Namun jika
individu yang dapat menempati suatu
galat yang dihasilkan kecil, maka model
habitat. Para ahli ekologi mendefinisikan
yang telah dibentuk tersebut sangat tepat
daya
dapat
sebagai ukuran populasi maksimum
digunakan
untuk
melakukan
proyeksi populasi penduduk.
2. MODEL
PERTUMBUHAN
tampung
kecil
dari
besar,
kemungkinan
sebagian
dan
(carrying
dari
capacity)
yang dapat
ditampung oleh suatu
lingkungan
tertentu
tanpa
ada
pertambahan atau penurunan ukuran
VERHULST
populasi selama periode waktu yang
Model ini, yang juga biasa disebut
relatif lama.
sebagai
model
logistic,
merupakan
Kepadatan
dan
keterbatasan
penyempurnaan dari model eksponensial
sumberdaya dapat mempunyai dampak
dan pertama kali diperkenalkan oleh
yang besar pada laju pertumbuhan
Pierre Verhulst pada tahun 1838 [1].
populasi.
Model
mendapatkan
pertumbuhan
eksponensial
Jika
individu
tidak
sumberdaya
yang
mengasumsikan sumberdaya yang tidak
mencukupi untuk bereproduksi, angka
terbatas, dimana model ini merupakan
kelahiran per kapita akan menurun. Jika
kasus yang tidak pernah ditemukan di
mereka tidak memperoleh cukup energi
dunia nyata. Oleh karena setiap populasi
untuk mempertahankan diri mereka
tumbuh dan tumbuh sehingga jumlahnya
sendiri, angka kematian per kapita akan
130
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
ISSN 1979-8911
meningkat. Suatu penurunan dalam
Suatu
model
logistik
angka kelahiran tahunan per kapita atau
dengan
suatu
angka
eksponensial dan menciptakan suatu
kematian tahunan per kapita akan
ekspresi yang mengurangi nilai 𝑎 ketika
mengakibatkan
𝑁 meningkat. Jika ukuran populasi
peningkatan
dalam
laju
pertumbuhan
populasi yang lebih kecil.
untuk populasinya sehingga jumlah
populasi dengan model ini tidak akan
tumbuh secara tak terhingga. Laju
akan ketersediaan makanan, tempat
tinggal, dan sumber hidup lainnya.
tersebut,
jumlah
individu
titik
𝑎
−𝑁
(𝑏 𝑎 =
tambahan
𝑎−𝑏𝑁
𝑏
𝑎
𝑎
pertumbuhan
menunjukkan
populasi
tidak
bahwa
akan
yang
dapat
yang masih tersedia
𝑏
untuk pertumbuhan populasi.
Persamaan yang telah dimodifikasi
menggunakan syarat baru adalah :
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑎−𝑏𝑁
= 𝑎𝑁 (
𝑎
)=
𝑎2 𝑁−𝑎𝑏𝑁 2
𝑎
=
𝑎𝑁 − 𝑏𝑁 2
𝑑𝑁
kelahiran dan kematian dianggap sama.
Verhulst
𝑎
(𝑏 − 𝑁)
) memberikan petunjuk
berapa fraksi
kesetimbangan
(equilibrium), pada titik ini jumlah
maka
ditampung oleh lingkungan tersebut, dan
masa tertentu jumlah populasi akan
mendekati
,
𝑏
memberikan petunjuk berapa banyak
populasi dengan model ini akan selalu
terbatas pada suatu nilai tertentu. Pada
𝑎
adalah
pertumbuhan penduduk akan terbatas
asumsi
pertumbuhan
maksimum yang dapat dipertahankan
Model ini memasukkan batas
Dengan
model
diawali
𝑑𝑡
= 𝑎𝑁 −
𝑏𝑁 2
hanya
bergantung pada ukuran populasi tetapi
(1)
juga pada sejauh mana ukuran ini dari
batas atasnya seperti daya tampung. Dia
dengan
memodifikasi
𝑎 : Laju pertumbuhan intrinsik
model
Malthus
(eksponensial) untuk membuat ukuran
populasi sesuai baik untuk populasi
sebelumnya dengan syarat
𝑎−𝑏𝑁
𝑎
, dimana
𝑎 dan 𝑏 disebut koefisien vital dari
𝑏 : Pengaruh dari peningkatan kepadatan
populasi
𝑎
𝑏
: Carrying capacity
𝑁 : Jumlah populasi
populasi [4].
131
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
ISSN 1979-8911
3. SOLUSI EKSPLISIT MODEL
pertumbuhan populasi akan menjadi
lambat.
VERHULST
Untuk 𝑎 > 0 berlaku lim 𝑁 =
Solusi eksplisit persamaan logistik
Verhulst dapat diperoleh jika model
persamaan
tersebut
merupakan
persamaan terpisah. Jadi dari persamaan
(1) dapat dilakukan pemisahan variable
𝑡→∞
,
sehingga disimpulkan bahwa grafik dari
(3)
mempunyai
asimtot
mendatar
𝑎
𝑁(𝑡) = 𝑏 . Grafik solusi untuk kasus
dapat dilihat pada gambar 1.
menjadi
𝑑𝑁
𝑎𝑁−𝑏𝑁 2
Kemudian
= 𝑑𝑡
𝑁(𝑡)
(2)
dilakukan
𝑎
𝑏
pengintegralan
dikedua ruas. Oleh karena cukup sulit
untuk
𝑎
𝑏
diintegralkan,
mak
dari
itu
𝑎
2𝑏
lakukan terlebih dahulu dekomposisi
terhadap persamaan (2)
1
1
𝑁0
1
∫ 𝑎𝑁−𝑏𝑁2 𝑑𝑁 = ∫ 𝑎 (𝑁 +
𝑏
𝑎−𝑏𝑁
𝑡
) 𝑑𝑁
Gambar 1. Grafik pertumbuhan logistik
diperoleh
𝑁(𝑡) =
𝑎
berdasarkan solusi model verhulst
𝑎
𝑏
(3)
1+( 𝑏 −1)𝑒 −𝑎𝑡
𝑁0
Dapat dilihat bahwa kurva logistik
adalah 𝑆-shaped dan mempunyai titik
Jika persamaan (3) dilimitkan 𝑡 → ∞ ,
didapatkan (untuk 𝑎 > 0) :
𝑁𝑚𝑎𝑥 = lim 𝑁 =
𝑡→∞
𝑎
𝑏
dibawah
daya
𝑎
𝑏
< 𝑁0 ,
𝑎 > 0 grafik solusinya ditumjukkan
(4)
pada gambar 2. Sedangkan untuk kasus
Ketika ukuran suatu populasi
berada
𝑎
infleksi ketika 𝑁 = 2𝑏 . Untuk
tampungnya,
pertumbuhan populasi akan berjalan
𝑎 < 0 didapatkan solusi yang tidak
stabil, yaitu tidak mengarah pada titik
kesetimbangan tertentu [3].
cepat menurut model logistik, akan
tetapi ketika 𝑁
mendekati
𝑎
𝑏
,
𝑁0
𝑎
𝑏
𝑁(𝑡)
132
𝑡
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
ISSN 1979-8911
pengambilan data sama. Jika 𝑁0 adalah
populasi pada 𝑡 = 0, maka 𝑁1 pada saat
waktu 𝑡 = 𝑇 dan 𝑁2 pada waktu 𝑡 = 2𝑇
mbar 2. Grafik pertumbuhan Logistik
dengan nilai awal diatas carrying
dimana T bilangan asli.
Jika 𝑁0 adalah populasi pada saat
capacity
= 0 , 𝑁1 pada saat 𝑡 = 1 dan 𝑁2 pada
Dari persamaan (4) dapat diperoleh nilai
saat 𝑡 = 2, maka dari persamaan (3)
𝑡 ∗ yaitu waktu ketika mencapai setengah
dapat diperoleh :
dari titik ekuilibriumnya, yakni dengan
untuk 𝑡 = 1,
cara sebagai berikut :
𝑁(𝑡) =
𝑁1 =
𝑎
𝑏
𝑎
𝑒
=
= 𝑏(𝑏𝑁
𝑎𝑏𝑁0
0 +𝑎𝑒
𝑎
( 𝑏 −1)
𝑁
𝑎
( 𝑏 −1)
𝑁0
1
𝑁1
=
𝑎𝑁0
𝑏
( 𝑏 −1)
𝑁
𝑎
( 𝑏 −1)
𝑁0
−𝑎 −𝑏𝑁 𝑒 −𝑎 )
0
𝑏𝑁0 +𝑎𝑒 −𝑎 −𝑏𝑁0 𝑒 −𝑎
=𝑎+
𝑎
−𝑎𝑡 = 𝑙𝑛 (
1+( 𝑏 −1)𝑒 −𝑎(1)
𝑁0
1+( 𝑏 −1)𝑒 −𝑎𝑡
𝑁0
−𝑎𝑡
𝑎
𝑎
𝑏
𝑒 −𝑎
𝑁0
−
𝑏𝑁0 𝑒 −𝑎
𝑎𝑁0
𝑏
= 𝑎 (1 − 𝑒 −𝑎 ) +
)
𝑏
𝑎
( 𝑏 −1)
𝑁
𝑙𝑛
(
𝑡∗ =
𝑎
( 𝑁𝑏 −1)
0
𝑎
1
𝑁1
−
𝑒 −𝑎
𝑒 −𝑎
𝑁0
(1 − 𝑒 −𝑎 ) =
(5)
𝑁0
)
−𝑎
Untuk 𝑡 = 2, dengan cara yang sama
diperoleh
(4.5)
𝑏
2
(1 − 𝑒 −2𝑎 ) =
1
𝑁2
−
𝑒 −2𝑎
𝑁0
(6)
4. LAJU PERTUMBUHAN DAN
CARRYING CAPACITY
𝑏
Verhulst menjelaskan parameter 𝑎
(laju pertumbuhan) dan
𝑎
𝑏
(carrying
capacity) dapat diperoleh dari jumlah
populasi untuk tiga waktu yang berbeda
akan
tetapi
dalam
rentang
Lakukan pembagian (6) oleh (5) untuk
waktu
mengeliminasi 𝑎 , diperoleh
𝑏
1 𝑒−2𝑎
(1−𝑒 −2𝑎 )= −
𝑎
𝑁2
𝑁0
𝑏
1 𝑒−𝑎
(1−𝑒 −𝑎 )= −
𝑎
𝑁1 𝑁0
1+𝑒
−𝑎
=
1 𝑒−2𝑎
−
𝑁2
𝑁0
1 𝑒−𝑎
−
𝑁1 𝑁0
133
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
𝑒 −𝑎 =
𝑁0 𝑁1 −𝑁1 𝑁2 𝑒 −2𝑎
𝑁0 𝑁2 −𝑁1 𝑁2 𝑒 −𝑎
ISSN 1979-8911
pengambilan sampel ∆𝑡 untuk kemudian
−
dilakukan analisis terhadap model.
𝑁 𝑁 −𝑁 𝑁 𝑒 −𝑎
(𝑁0 𝑁2 −𝑁1 𝑁2 𝑒 −𝑎 )
0 2
Persamaan (8) dihasilkan dengan
1 2
𝑁 (𝑁 −𝑁 )
𝑒 −𝑎 = 𝑁0 (𝑁2 −𝑁1 )
2
1
rentang waktu pengambilan data dengan
0
Jadi tingkat pertumbuhan populasinya
adalah
𝑁 (𝑁 −𝑁 )
𝑎 = −𝑙𝑛 𝑁0 (𝑁2 −𝑁1)
2
1
waktu pengambilan data ∆𝑡 = 2. Jadi 𝑁0
adalah populasi pada saat = 0 , 𝑁2 pada
(7)
0
∆𝑡 = 1. Berikut ini dilakukan rentang
saat 𝑡 = 2 dan 𝑁4 pada saat 𝑡 = 4. Untuk
𝑡 = 2 dihasilkan bentuk sebagai berikut
Substitusi persamaan 7 ke 5, maka :
𝑏
𝑎
𝑁0 (𝑁2 −𝑁1 )
(1 − 𝑁
1
)=𝑁 −
2 (𝑁1 −𝑁0 )
𝑏 𝑁2 (𝑁1 −𝑁0 )
(
𝑎 𝑁2 (𝑁1 −𝑁0 )
𝑏
𝑎
𝑁0 (𝑁2 −𝑁1 )
𝑁2 (𝑁1 −𝑁0 )
1
𝑁 (𝑁 −𝑁 )
1
𝑎
𝑒 −2𝑎
𝑁0
(9)
Untuk 𝑡 = 4, dengan cara yang sama
𝑁1 𝑁2 (𝑁1 −𝑁0 )
=
𝑁2
−
0
𝑁2 (𝑁1 −𝑁0 )−𝑁1 (𝑁2 −𝑁1 )
𝑏
1
𝑁0
− 𝑁0 (𝑁2 −𝑁1 )) =
2
(1 − 𝑒 −2𝑎 ) =
𝑁2 (𝑁1 −𝑁0 )−𝑁1 (𝑁2 −𝑁1 )
𝑁1 𝑁2 (𝑁1 −𝑁0 )
𝑁2 (𝑁1 −𝑁0 )−𝑁0 (@2 −𝑁1 )
𝑁2 (𝑁1 −𝑁0 )
diperoleh
𝑏
𝑎
=
(1 − 𝑒 −4𝑎 ) =
1
𝑁4
−
𝑒 −4𝑎
𝑁0
𝑁1 2 −𝑁0 𝑁2
(10)
𝑁1 (𝑁0 𝑁1 −2𝑁0 𝑁2 +𝑁1 𝑁2 )
Sehingga
carriying
capacity
dapat
𝑏
dituliskan menjadi
𝒂
𝒃
=
Dengan melakukan pembagian (10) oleh
𝑵𝟏 (𝑵𝟎 𝑵𝟏 −𝟐𝑵𝟎 𝑵𝟐 +𝑵𝟏 𝑵𝟐 )
𝑵𝟏 𝟐 −𝑵𝟎 𝑵𝟐
(9) untuk mengeliminasi 𝑎 , diperoleh
𝑁 (𝑁 −𝑁 )
(8)
𝑒 −2𝑎 = 𝑁0 (𝑁4 −𝑁2 )
4
Berdasarkan penjelasan Verhulst
ini, laju pertumbuhan dan carrying
∆𝑡 = 2 adalah
1
penelitian
ini,
dilakukan
beberapa
perkiraan
laju
𝑁 (𝑁 −𝑁 )
𝑎 = − 2 𝑙𝑛 𝑁0 (𝑁4 −𝑁2 )
4
rentang waktu pengambilan data yang
Dalam
0
Jadi laju pertumbuhan rata-rata untuk
capacity dapat diperkirakan dengan
diinginkan.
2
2
0
(11)
pertumbuhan dan carrying capacity
berdasarkan beberapa interval waktu
134
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
ISSN 1979-8911
𝑁 (𝑁18 −𝑁9 )
𝑒 −9𝑎 = 𝑁0
kemudian substitusi (11) ke (9) diperoleh
18 (𝑁9 −𝑁0 )
carrying capacity sebesar
𝑎
𝑏
=
𝑁2 (𝑁0 𝑁2 −2𝑁0 𝑁4 +𝑁2 𝑁4 )
𝑁2 2 −𝑁0 𝑁4
Jadi laju pertumbuhan rata-rata untuk
∆𝑡 = 9 adalah
𝑎=
Selanjutnya untuk rentang waktu
pengambilan data dengan ∆𝑡 = 5. 𝑁0
adalah populasi pada saat 𝑡 = 0 , 𝑁5
1
𝑁 (𝑁18 −𝑁9 )
− 9 𝑙𝑛 𝑁0
18 (𝑁9 −𝑁0 )
pada saat 𝑡 = 5 dan 𝑁10 pada saat 𝑡 =
10 , dengan cara yang sama diperoleh :
𝑒
−5𝑎
𝑁0 (𝑁10 −𝑁5 )
dengan carrying capacity sebesar
=𝑁
𝑎
10 (𝑁5 −𝑁0 )
𝑏
=
𝑁9 (𝑁0 𝑁9 −2𝑁0 𝑁18 +𝑁9 𝑁18 )
𝑁9 2 −𝑁0 𝑁18
5. STUDI KASUS DAN ANALISIS
Jadi laju pertumbuhan rata-rata untuk
∆𝑡 = 5 adalah
1
𝑁0 (𝑁10 −𝑁5 )
𝑎 = − 5 𝑙𝑛 𝑁
10 (𝑁5 −𝑁0 )
DATA
Tabel 1 memperlihatkan jumlah
penduduk kota Bandung tahun 1991
hingga tahun 2012 [2]. Terlihat bahwa
semakin
dengan carrying capacity sebesar
𝑎
𝑏
=
𝑁5 (𝑁0 𝑁5 −2𝑁0 𝑁10 +𝑁5 𝑁10 )
𝑁5 2 −𝑁0 𝑁10
berjalannya
tahun,
tidak
menjamin bahwa populasi penduduk
kota Bandung mengalami peningkatan,
sebagai contoh ditahun 1993 ketahun
1994 bukan mengalami kenaikan akan
(4.16)
Untuk rentang waktu pengambilan
data dengan ∆𝑡 = 9. 𝑁0 adalah populasi
pada saat 𝑡 = 0 , 𝑁9 pada saat 𝑡 = 9 dan
𝑁18 pada saat 𝑡 = 18 , dengan cara yang
sama diperoleh :
tetapi justru terjadi penurunan populasi.
Hal ini bisa dikarenakan adanya faktor
emigrasi ke kota-kota lainnya, misalkan
emigrasi ke kota Jakarta yang memiliki
magnet yang sangat kuat untuk mencari
pekerjaan.
Tabel 1. Data jumlah penduduk kota Bandung
135
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
Jumlah
180640
2006
9
186891
2007
3
213626
2008
0
186891
2009
3
214219
2010
4
222816
2011
8
223262
2012
4
227097
0
1998
229684
8
232991
8
237419
8
241728
8
239487
3
242495
7
245551
7
Untuk
melihat
dinamika
pertumbuhan populasi penduduk
1806551
1999
kota bandung dapat dilihat pada
gambar 3. Berdasarkan gambar 3
1816345
2000
tersebut dapat dikatakan bahwa
pertumbuhan tidak mengalami trend
1829356
2001
naik ataupun tren turun pada tahun
1991 hingga tahun 2001. Pada tahun
1816385
2002
tersebut dapat dikatakan terjadi
pertumbuhan yang stagnan di kota
1809964
2003
Bandung. Pada tahun 2002 hingga
tahun 2012 dapat dilihat bahwa
1817939
2004
populasi kota Bandung cenderung
mengalami kenaikan dari tahun ke
1782446
2005
tahun. Hal ini dapat dikarenakan
emigrasi yang terjadi tidak terlalu
besar dapat disebabkan lapangan pekerjaan dan kelayakan penghidupan di kota bandung
lebih baik daripada tahun-tahun sebelumnya.
2.5
x 10
6
2.4
2.3
jumlah populasi
Tahun
ISSN 1979-8911
2.2
2.1
2
1.9
1.8
1.7
1990
1995
2000
2005
2010
2015
tahun
Gambar 3. Grafik pertumbuhan penduduk kota Bandung tahun 1991 hingga tahun 2012
Untuk mengetahui apakah tetap
Sebelum
melakukan
proyeksi,
terjadi kenaikan ataupun tidak di tahun-
dilakukan terlebih dahulu aproksimasi.
tahun mendatang selanjutnya dilakukan
Aproksimasi dilakukan terhadap 4 cara
proyeksi
bandung
pengambilan sampel yang berbeda, yaitu
berdasarkan data populasi tahun-tahun
untuk interval pengambilan sampel 1
sebelumnya.
tahun maupun untuk interval 2, 5, dan 9
populasi
kota
tahun. Diantara interval-interval tersebut
136
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
ISSN 1979-8911
di bandingkan hasil aproksimasinya.
Aproksimasi
yang
terbaiklah
yang
digunakan untuk melakukan proyeksi.
Gambar 4. Perbandingan data riil kota bandung dan
Aproksimasi yang terbaik dapat dilihat
hasil pendekatan model verhulst untuk
dari galat MAPE yang dihasilkan.
interval pengambilan sampel satu tahun
Perlu diperhatikan bahwa gambar
4 merupakan hasil perhitungan dengan
5.1 Aproksimasi Interval Sampel
Data Satu Tahun
nilai jumlah populasinya di angka
Pada bagian ini diambil data
eksponensial 108. Apabila dalam angka
populasi penduduk sebanyak tiga buah
eksponensial 106 atau dalam jutaan tentu
dengan interval satu tahun yaitu pada
grafiknya
tahun 1991, 1992, dan tahun 1993. Hasil
Besarnya MAPE pada interval ini adalah
aproksimasinya
13,9772
gambar
4
diperlihatkan
dimana
notasi
pada
1991
hingga
tahun
terlihat
berbeda.
bintang
menyatakan data riil kota bandung dari
tahun
akan
5.2
Aproksimasi Interval Sampel
2012,
Data Dua Tahun
sedangkan garis solid menandakan hasil
Pada bagian ini diambil data
aproksimasinya.
populasi penduduk sebanyak tiga buah
Berdasarkan gambar 4 seolah-olah
dengan interval dua tahun yaitu pada
terlihat hasil prediksi yang cukup
tahun 1991, 1993, dan tahun 1995. Hasil
sempurna
aproksimasinya
kecuali
di
tahun
2005.
diperlihatkan
pada
Dikatakan demikian dikarenakan grafik
gambar 4.4 dimana notasi bintang
hasil prediksi sangat dekat dengan data
menyatakan data riil kota bandung dari
riilnya.
tahun
1991
hingga
tahun
2012,
sedangkan garis solid menandakan hasil
7
x 10
aproksimasinya.
8
data riil
pendekatan interval 1 tahun
6
2.5
x 10
6
data riil
pendekatan interval 2 tahun
5
4
2.3
3
jumlah populasi
jumlah populasi
2.4
2
1
2.2
2.1
2
0
1.9
-1
1990
1995
2000
2005
tahun
2010
2015
1.8
1.7
1990
1995
2000
2005
tahun
137
2010
2015
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
ISSN 1979-8911
tahun
1991
hingga
tahun
2012,
sedangkan garis solid menandakan hasil
Gambar 5. Perbandingan data riil kota
aproksimasinya.
bandung dan hasil pendekatan model
Berdasarkan
gambar
6
hasil
verhulst untuk interval pengambilan
aproksimasi cukup baik pada permulaan
sampel dua tahun
tahun hingga tahun 2008. Cukup baik
disini berdasarkan gambar, akan tetapi
hasil
grafik yang diberikan dalam skala 107
aproksimasi menunjukkan keakuratan
bukan 106. Setelah tahun 2008, hasil
yang cukup jika dilihat di permulaan
aproksimasi mengalami kenaikan tajam,
tahun, yakni pada tahun 1991 hingga
dan selanjutnya mengalami penurunan
tahun 1998, sedangkan pada tahun 1999
yang
keatas
menembus
Berdasarkan
justru
gambar
5
memberikan
hasil
sangat
tajam
angka
pula
hingga
minus.
Sangat
aproksimasi yang cukup jauh bahkan
dikhawatirkan
semakin jauh dari data riilnya.
menggunakan interval 5 tahun ini,
Hasil aproksimasinya cenderung
bersifat
stagnan,
atau
tidak
ada
proyeksi
menunjukkan angka negatif pula, yang
tentu hal ini sangat tidak diperkenankan.
pertumbuhan yang cukup signifikan dari
awal hingga akhir aproksimasi. Tentu
2
hal ini akan berakibat besarnya galat
1.5
x 10
7
data riil
pendekatan interval 5 tahun
yang diperoleh. Untuk MAPE itu sendiri
1
jumlah populasi
dihasilkan sebesar 0.1201
hasil
0.5
0
5.3 Aproksimasi Interval Sampel
-0.5
Data Lima Tahun
Pada bagian ini diambil data
populasi penduduk sebanyak tiga buah
dengan interval lima tahun yaitu pada
-1
1990
1995
2000
2005
2010
tahun
Gambar 6. Perbandingan data riil kota
tahun 1991, 1996, dan tahun 2001. Hasil
bandung dan hasil pendekatan model
aproksimasinya
verhulst untuk interval pengambilan
gambar
6
diperlihatkan
dimana
notasi
pada
bintang
sampel lima tahun
menyatakan data riil kota bandung dari
138
2015
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
ISSN 1979-8911
Selisih atau error diawal dapat
sehingga galat MAPE untuk interval 9
dikatakan tidak terlalu besar, tetapi
tahun ini adalah 0,0616. Cukup kecil
untuk tahun 2008 keatas diperoleh error
dibandingkan dengan interval-interval
yang
lainnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan
cukup
signifikan,
sehingga
dihasilkan galat MAPE dari aproksimasi
tabel 2.
interval 5 tahun ini adalah 0.5858
2.6
x 10
6
data riil
pendekatan interval 9 tahun
2.5
5.4 Aproksimasi Interval Sampel
2.4
Data Sembilan Tahun
populasi penduduk sebanyak tiga buah
dengan interval Sembilan tahun yaitu
jumlah populasi
2.3
Pada bagian ini diambil data
2.2
2.1
2
pada tahun 1991, 2000, dan tahun 2009.
1.9
Hasil aproksimasinya diperlihatkan pada
1.8
gambar
7
dimana
notasi
bintang
1.7
1990
1995
2000
2005
2010
tahun
menyatakan data riil kota bandung dari
tahun
1991
hingga
tahun
2012,
sedangkan garis solid menandakan hasil
aproksimasinya.
Gambar 7. Perbandingan data riil kota
Dari gambar 7 terlihat bahwa dari
bandung dan hasil pendekatan model
awal tahun hingga di akhir, aproksimasi
verhulst untuk interval pengambilan
menunjukkan hasil yang tidak cukup
sampel Sembilan tahun.
dekat dan juga tidak cukup jauh dari data
riilnya. Grafik tersebut dapat dikatan
halus
(smooth)
karena
tidak
Berdasarkan tabel 2 interval satu
ada
tahun memiliki MAPE yang sangat
kenaikan ataupun penurunan secara tiba-
besar. Tentu saja pada interval ini tidak
tiba dengan perbedaan yang cukup
dapat
signifikan. Terlebih lagi tidak ada hasil
melakukan proyeksi terhadap populasi
aproksimasi yang menunjukkan angka
penduduk kota Bandung. Terlebih lagi
negative.
terdapat aproksimasi bernilai negatif,
Untuk galatnya, cukup stabil, tidak
dijadikan
rujukan
untuk
sama halnya pada interval 5 tahun yang
ada nilai galat yang sangat besar
139
2015
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
ISSN 1979-8911
dapat memungkinkan proyeksi yang
terjadi juga akan bernilai negatif.
Jadi yang dapat dijadikan sebagai
rujukan
untuk
melakukan
Hasil proyeksi penduduk kota
Banudng diperlihatkan pada gambar 8.
Pada gambar tersebut terlihat jelas pada
proyeksi
tahun 2080 laju pertumbuhan populasi
adalah interval pengambilan data sampel
mulai mengalami penurunan, artinya
setiap 9 tahun sekali, dikarenakan
penambahan
diantara interval yang lainnya, interval 9
bertambah, tetapi pertambahan tersebut
tahun ini memiliki MAPE yang terkecil,
semakin
dan setiap aproksimasinya tidak ada
berjalan.
yang bernilai negatif
kecil
populasi
untuk
meskipun
waktu
yang
Semakin besar waktu berjalan,
penduduk kota bandung akan mencapai
Tabel 2. Perbandingan MAPE tiap-tiap
batasan maksimumnya yakni sebesar
interval pengambilan data sampel
3.142.800 jiwa seperti yang terdapat
pada lampiran dimana pada tahun 2130
Interval
MAPE
populasi penduduk kota Bandung takan
1 tahun
13,9772
mencapai 3.140.722, hampir mendekati
2 tahun
0,1201
batasan maksimumnya.
5 tahun
0,5858
9 tahun
0,0616
3.2
x 10
6
3
6. PROYEKSI PENDUDUK KOTA
BANDUNG
Seperti
yang
telah
disimpulkan
jumlah populasi
2.8
2.6
2.4
2.2
bahwa interval Sembilan tahun memiliki
2
MAPE terkecil, maka dari itu interval ini
dapat dijadikan sebagai rujukan untuk
1.8
1990
2000
2010
2020
2030 2040
tahun
2050
2060
2070
melakukan proyeksi penduduk kota
Bandung
berikut
pula
pertumbuhan
populasi
maksimum
(Carrying
penduduk kota Bandung.
dan
rata-rata
Gambar 8. Proyeksi populasi penduduk
batasan
kota bandung hingga tahun 2080.
Capaity)
Dengan
hasil
proyeksi
tidak
terlepas dari pertumbuhan populasi rata-
140
2080
Edisi Juli 2014 Volume VIII No. 1
ISSN 1979-8911
rata per tahunnya. Untuk interval 9 tahun
pertumbuhan populasi penduduk kota
ini diperoleh rata-rata pertumbuhan
Bandung sebesar 0.0501 atau sebesar
populasi penduduk kota bandung tiap
5,01%
tahunnya sebesar 0,0501 atau sebesar
5,01 persen dari total penduduk kota
DAFTAR PUSTAKA
Bandung.
[1] Bacaer, Nicolas. A Short History of
Mathematical Population Dynamics
7. KESIMPULAN
Dari hasil penelitian yang telah
dipaparkan, maka dapat disimpulkan
bahwa
masing-masing
interval
memberikan aproksimasi yang berbedabeda, dimana interval Sembilan tahun
. Springer-Verlag London Limited
2011.
[2] Katalog BPS, Daerah Dalam Angka,
Tahun 1991-2012. Badan Pusat
Statistik Kota Bandung
memberikan pendekatan yang terbaik
sehingga
dijadikan
memproyeksikan
rujukan
untuk
penduduk
kota
Bandung. Proyeksi
hingga
tahun
yang dilakukan
2080
memberikan
[3] Katalog BPS 1102001.32 Jawa
Barat Dalam Angka 2013 penerbit
BPS Provinsi Jawa Barat, 2013
[4] Wali, Augustus. Dkk. Mathematical
kesimpulan semakin bertambah tahun,
Modeling of Rwanda’s Population
semakin
Growth. Applied Mathematical
kecil
pertambahan
penduduknya,
hal
ini
berkurangnya
sumberdaya
disebabkan
maupun
Science, Vol.5, 2011, no.53, 26172628.
ruang tempat tinggalnya, hingga di tahun
2130 populasi
mencapai
3.140.722
mendekati batasan maksimumnya yakni
sebesar 3.142.800 dimana hasil proyeksi
tersebut
dipengaruhi
oleh
[5] Zheng, Songfeng, Methods of
Evaluating Estimator. Lecture notes
Missouri State University
rata-rata
141