Teori Dasar Himpunan

Teori Dasar Himpunan
Julan HERNADI1
Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah, Ponorogo
December 27, 2012
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
PENGERTIAN DASAR
Denition
Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen
himpunan tersebut. Himpunan merupakan koleksi takterurut objek-objek. Himpunan
yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, dinyatakan dengan
dengan
{ }.
Keanggotaan himpunan ditulis dengan notasi
anggota himpunan
S.
x ∈S
berarti objek
0/
x
atau
Representasi Himpunan
braces ), jika
A := {a, b, c , d } menyajikan himpunan dengan 4 anggota yaitu
a, b, c dan d . Dalam hal ini a ∈ A, b ∈ A, c ∈ A dan d ∈ A.
Menuliskan sebagian anggotanya dan menggunakan notasi ellipses (· · · ) untuk
Menuliskan semua anggotanya di antara dua kurung kurawal (
mungkin. Notasi
menyatakan anggota yang lainnya. Cara ini biasanya digunakan untuk himpunan
yang anggotanya sangat banyak sehingga tidak memungkinkan ditulis satu per
satu. Contoh:
B := {1, 2, · · · , 99}
merupakan himpunan bilangan bulat yang
kurang dari 100.
set builder ).
Menuliskan sifat keanggotaannya atau pembangun himpunan (
Contoh:
Q :=
n
p
q | p , q ∈ Z, q 6= 0
o
menyatakan himpunan bilangan rasional.
Menggunakan diagram Venn, yaitu berupa persegi panjang untuk menyatakan
semesta dan di dalamnya digambarkan lingkaran atau bangun lainnya untuk
menyatakan himpunan yang dimaksud.
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
Lanjutan...
Notasi set builder secara umum ditulis sebagai
B = {x | P (x )}
dimana
P (x )
pernyataan tentang
x,
atau sifat yang dimiliki oleh
x.
Notasi | dibaca di
mana, atau dengan.
Example
Misalkan O himpunan bilangan ganjil maka cukup ditulis
Himpunan bilangan real dapat pula ditulis sebagai
O = {2n − 1|n ∈ Z }.
R ={x | x
bilangan real}.
Berikut ini diberikan beberapa contoh himpunan bilangan dan notasi standar yang
digunakan secara internasional:
1
N ={1, 2, 3, · · · }
2
Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · } himpunan bilangan bulat
n
o
Q := qp | p , q ∈ Z, q 6= 0 himpunan bilangan rasional
3
himpunan bilangan asli
4
R
5
C = {a + bi | a, b ∈ R}
himpunan bilangan real
himpunan bilangan kompleks, di mana
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
√
i = −1.
HIMPUNAN BAGIAN
Denition
Misalkan
1
A
A
dan
B
dua himpunan tertentu.
dikatakan himpunan bagian (
juga merupakan anggota
B,
subset )
dari
B
jika hanya jika setiap anggota
dan dilambangkan dengan
A ⊆ B.
logika denisi ini dapat ditulis sebagai
A ⊆ B ↔ [∀x (x ∈ A → x ∈ B )
TRUE]
Notasi ⊂ kadangkala digunakan juga untuk menyatakan himpunan bagian.
2
dan
3
A
B ⊆ A.
Himpunan
dan
B
dikatakan sama, ditulis
A=B
jika dan hanya jika
A dikatakan himpunan bagian sejati (proper subset )
A 6= B , biasanya ditulis A ( B .
dari
B
Theorem
Untuk sebarang himpunan S, maka berlaku
1
0/ ⊆ S
2
S ⊆ S.
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
jika
A
Dalam bahasa
A⊆B
A⊆B
dan
Bukti Teorema dan kardinalitas himpunan
1
Untuk membuktikan
∀x (x ∈ 0/ → x ∈ S )
0/ ⊆ S
dikarenakan pernyataan
∀x (x ∈ 0/ → x ∈ S )
cukup ditunjukkan bahwa kuantikasi
x ∈ 0/ → x ∈ S selalu TRUE
x ∈ 0/ selalu FALSE (mengapa ???) maka jelas
TRUE. Karena implikasi
TRUE. Terbukti himpunan kosong adalah himpunan bagian
dari himpunan apapun. Perhatikan di sini digunakan metoda pembuktian
kosong (
2
vacous proof ).
Pernyataan
x ∈S →x ∈S
jelas bernilai TRUE. Jadi terbuktilah (2).
Denition
Misalkan
S
sebuah himpunan. Bila terdapat tepat
maka himpunan
S
n
anggota berbeda di dalam
dikatakan mempunyai kardinalitas
n.
himpunan adalah banyaknya anggota himpunan tersebut. Kardinalitas
ditulis sebagai
|S |.
innite set )
Himpunan takberhingga (
S
Dengan kata lain, kardinalitas
S
biasanya
adalah himpunan dengan
kardinalitas takberhingga.
Example
S :=himpunan
semua huruf latin, maka
|S | = 26.
Himpunan kosong mempunyai
kardinalitas 0. Himpunan bilangan real, himpunan bilangan bulat positif, himpunan
bilangan rasional merupakan himpunan takberhingga.
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
HIMPUNAN KUASA
Denition
Misalkan
S
P(S )
power set ) dari S adalah himpunan
S biasanya ditulis dengan
sebuah himpunan. Himpunan kuasa (
yang memuat semua himpunan bagian
S
S.
Himpunan kuasa
atau 2 .
Example
S = {a, 1, 2}
maka himpunan bagian
S
adalah sebagai berikut.
0,
/ {a, 1, 2}, {a, 1}, {a, 2}, {1, 2}, {a}, {1}, {2}.
Jadi
P({a, 1, 2}) = {0,
/ {a, 1, 2}, {a, 1}, {a, 2}, {1, 2}, {a}, {1}, {2}}.
Fact
Himpunan 0,
/ S ∈ P(S )
Terdapat indikasi |P(S )| = 2|S | , karena pada contoh ini |S | = 3 dan P(S ) = 8.
Fakta pertama sudah dibuktikan sebelumnya. Fakta kedua belum, masih dalam
bentuk konjektur. Untuk itu perlu dibuktikan teorema berikut.
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
Kardinalitas Himpunan Kuasa
Theorem
Bila S mempunyai kardinalitas n maka P(S ) mempunyai kardinalitas 2n .
Proof.
P (n) : kardinalitas himpunan kuasa dari
n adalah 2n , n = 1, 2, · · · . Untuk P (1):
Misalkan S = {x } maka P(S ) = {0,
/ {x }}. Jadi |P(S )| = 21 = 2. Selanjutnya
dibuktikan langkah induktif berikut: jika P (k ) TRUE maka ditunjukkan P (k + 1)
TRUE. Misalkan S himpunan dengan kardinalitas k . Maka berdasarkan hipotesis
k
0
induksi, |P(S )| = 2 . Tulis P(S ) = {P1 , P2 , · · · , P k }. Misalkan S adalah himpunan
2
dengan kardinalitas k + 1. Tanpa mengurangi umumnya pembuktian, tulis
S 0 = {S , x } = {P1 , P2 , · · · , P2k , x }. Maka himpunan kuasa dari S 0 dapat ditulis sebagai
Menggunakan PIM pada
n,
di mana
himpunan yang mempunyai kardinalitas
berikut




P(S 0 ) = P1 , P2 , · · · , P2k , {P1 , x }, {P2 , x }, · · · , {P2k , x }

{z
}|
{z
}



|




2k elemen
Jadi himpunan dengan kardinalitas
k +1
2k elemen
k + 2k = 2 · 2k = 2k +1
mempunyai 2
Bukti selesai by PIM.
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
elemen.
Kardinalitas Himpunan Kosong
Berdasarkan denisi,
|0|
/ = 0.
Apakah teorema di atas berlaku. Coba diperhatikan
fakta pertama bahwa himpunan kuasa minimal memuat 2 anggota, yaitu himpunan
kosong dan dirinya sendiri. Jadi,
P(0)
/ = {0,
/ 0}
/ = {0},
/
yaitu mempunyai 2
0 (= 1) anggota. Dengan demikian teorema di atas tetap berlaku
untuk himpunan kosong.
Beberapa fakta kritis yang melibatkan himpunan kosong:
0/
dan
{0}
/
adalah dua himpunan berbeda, mengapa??
Indentikasilah apakah pernyataan berikut TRUE
1
2
∈ 0/ , 0/ ∈ {0}, {0} ∈ {0}, 0/ ∈ {0},
/ 0/ ∈ {0,
/ {0}},{
/
0}
/ ∈ {{0}}
/ .
{0} ⊂ 0/ ,0/ ⊂ {0}, {0}
/ ⊂ {0}
/ , {0} ⊂ {0}, {0}
/ ⊂ {0,
/ {0}},
/
{{0}}
/ ⊂ {0,
/ {0}}
/ ,
{{0}}
/ ⊂ {{0,
/ {0}}}
/
.
0
Himpunan yang hanya memiliki 1 anggota biasa juga disebut
S = {0}, B = {x }.
singleton set .
Contoh:
Hati-hati dengan penggunaan notasi anggota ∈ dan notasi
himpunan bagian ⊂.
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
Susunan Terurut dan Produk Kartesian
Denition
n-elemen (a1 , a2 , · · · , an ) adalah koleksi objek-objek yang diurutkan, di
a2 urutan kedua, dan seterusnya. Khusus n = 2 bentuk ini
pasangan terurut, yaitu (a, b ).
Susunan terurut
mana
a1
disebut
urutan pertama,
Berbeda dengan himpunan, di sini urutan menentukan kriteria. Susunan terurut
menggunkan kurang biasa (bracket).
Example
1
Himpunan
{1, 2, 3} = {1, 3, 2}
berdasarkan denisi kesamaan dua himpunan
sebelumnya.
2
(1, 2, 3) 6= (1, 3, 2). Jadi secara umum 2 susunan terurut
(a1 , a2 , · · · , an ) dan (b1 , b2 , · · · , bn ) dikatakan sama jika hanya jika ai = bi
setiap i = 1, · · · , n.
Susunan terurut
untuk
Denition
Misalkan
A
dan
B
A dan B ,
b ∈ B . Jadi
dua buahn himpunan. Produk kartesian dari
adalah himpunan semua terurut
(a, b )
di mana
a∈A
dan
A × B := {(a, b)| a ∈ A, b ∈ B }.
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
ditulis
A×B
Perluasan Produk Kartesian
Denition
Produk kartesian dapat diperumum untuk sebanyak berhingga himpunan, yaitu
A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , · · · , an )| ai ∈ Ai , i = 1, 2, · · · , n}.
Soal-soal yang dipecahkan
Halaman 85 dan 86 Nomor 1 s.d. 30.
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
Operasi Himpunan
1
Gabungan (union) A dan B :
A ∪ B := {x |x ∈ A ∨ x ∈ B } = {x |x ∈ A} ∨ {x |x ∈ B } = p ∨ q
|
2
3
4
5
{z
=p
} |
{z
=q
}
intersection) A dan B :
A ∩ B := {x |x ∈ A ∧ x ∈ B } = {x |x ∈ A} ∧ {x |x ∈ B }. Bila A ∩ B = 0/ maka
A dan B disebut saling asing (disjoint ).
c
Komplemen A: A := {x ∈ Ω|x ∈
/ A}, Ω: semesta.
Selisih A dari B : A \ B := {x |x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
Selisih simetris A dan B : A ⊕ B := {x |x ∈ A} ⊕ {x |x ∈ B }
Irisan (
Latihan mandiri:
1
Ilustrasikan ke-5 operasi himpunan di atas dalam bentuk diagram Venn.
2
Tuliskan sebanyak mungkin hubungan langsung di antara operasi
himpunan tersebut.
Prinsip inklusi-eksklusi:
|A ∪ B | = |A| + |B | − |A ∩ B |
Bila
A dan B saling asing maka berlaku |A ∪ B | = |A| + |B |.
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
Soal Latihan
Diberikan himpunan berikut:
A = {a, b, 1, 2, 3}, B = {a, 2, 4, 5}
1
2
3
4
5
A ∪ B , A ∩ B , A \ B , B \ A, A ⊕ B . Apakah
A\B = B \A ?
Hitunglah |A|, |B |, |A ∪ B |, |A ∩ B |. Apakah berlaku prinsip
Tentukan
inklusi-eksklusi ?
Tentukan himpunan P(A ∩ B ) dan P(A) ∩ P(B )? Apakah
P(A) ∩ P(B ) = P(A ∩ B )?
Apakah berlaku P(A) ∪ P(B ) = P(A ∪ B ) ?
Bila pernyataan 3 dan 4 berlaku, buktikan kebenaran
pernyataan ini secara umum!
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
Identitas Himpunan
Kalau pada logika ada ekuivalensi logis, maka pada himpunan ada identitas
himpunan. Identitas himpunan adalah relasi yang menyatakan kesamaan dua
himpunan.
A ∪ 0/ = A dan A ∩ Ω = A.
A ∪ Ω = Ω dan A ∩ 0/ = 0/ .
Hukum idempoten: A ∪ A = A dan A ∩ A = A.
c c
Hukum komplemen ganda: (A ) = A.
Hukum komutatif: A ∪ B = B ∪ A dan A ∩ B = B ∩ A.
Hukum asosiatif: A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B ) ∪ C dan
A ∩ (B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C .
Hukum distributif: A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) dan
A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ).
c
c
c
c
c
c
Hukum De Morgan: (A ∪ B ) = A ∩ B dan (A ∩ B ) = A ∪ B .
Hukum penyerapan: A ∪ (A ∩ B ) = A dan A ∩ (A ∪ B ) = A.
c
c
Hukum komplemen: A ∪ A = Ω dan A ∩ A = 0
/.
1
Hukum identitas:
2
Hukum dominasi:
3
4
5
6
7
8
9
10
Perhatikan penulisan ekuivalensi logis menggunakan ≡, sedangkan pada
identitas himpunan menggunakan =.
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
Pembuktian Hukum De Morgan
(A ∪ B )c = Ac ∩ B c
Cara 1: Menggunakan denisi kesamaan dua himpunan
c
Misalkan x ∈ (A ∪ B ) maka x ∈
/ (A ∪ B ). Diubah ke dalam kalimat logika, ini tidak
x ∈ A ∪ B . Dengan kata lain ¬(x ∈ A ∪ B ), yaitu ekuivalen dengan
¬(x ∈ A ∨ x ∈ B ). Dengan menggunakan aturan De Morgan pada proposisi logika
maka diperoleh ¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B ). Bentuk terakhir ini berarti tidak benar bahwa
x ∈ A dan tidak benar bahwa x ∈ B . Dikembalikan lagi ke denisi himpunan
diperoleh x ∈
/ A∧x ∈
/ B , yaitu x ∈
/ Ac ∩ B c . Ini berarti
benar bahwa
(A ∪ B )c ⊆ Ac ∩ B c .
(*)
c
c
Sebaliknya, misalkan x ∈ A ∩ B . Kita kerjakan dalam kalimat logika, yaitu
¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B ). Menerapkan De Morgan proposisi diperoleh ¬ (x ∈ A ∨ x ∈ B ),
c
yaitu ¬(x ∈ A ∪ B ). Akhirnya diperoleh x ∈ (A ∪ B ) . Ini berarti
Ac ∩ B c ⊆ (A ∪ B )c .
Dengan menggunakan (*) dan (**) maka disimpulkan
Cara 2: Menggunakan sifat keanggotaan
(A ∪ B )c = {x |x ∈
/ A ∪ B}
(**)
(A ∪ B )c = Ac ∩ B c .
= {x |¬(x ∈ A ∪ B )}
= {x |¬(x ∈ A ∨ x ∈ B ) = {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B )}
= {x |(x ∈
/ A) ∧ (x ∈
/ B )} = {x |x ∈ Ac ∧ x ∈ B c } = Ac ∩ B c .
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
Bukti lanjutan...
Cara
3: Menggunakan tabel keanggotaan.
Misalkan
Ω
dalam
adalah
A
himpunan semesta himpunan dan
τA (x )
A ⊂ Ω.
Nilai keanggotaan
x ∈Ω
di
di mana
(
τA (x ) =
1
bila
0
bila
x ∈A
x ∈/ A.
Tabel keanggotaan: tabel yang memuat nilai keanggotaan himpunan.
A
B
Ac
Bc
A∪B
(A ∪ B )c
Ac ∩ B c
A∩B
(A ∩ B )c
Ac ∪ B c
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
Perhatikan 2 kolom dengan warna merah dan 2 kolom warna biru, nilai keanggotaannya sama. Disimpulkan kedua himpunan ini sama.
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan
Generalisasi Irisan dan Gabungan
Misalkan
A1 , A2 , · · · , An
himpunan-himpunan yang diberikan. Maka berlaku denisi
berikut:
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = ∪ni=1 Ai := {x |x ∈ Ak
A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An = ∩ni=1 Ai := {x |x ∈ Ak
untuk suatu
k = 1, 2, · · · , n}.
k = 1, 2, · · · , n}
untuk semua
Bahan diskusi:
1
2
Misalkan
Bila
An
Ai
dan
Tambahan:
Ai = {i , i + 1, i + 2, · · · },
tentukan
= (1 − 1i , 1 + 1i ), tentukan
Bn
bila
n → ∞?
∪10
i =1 A i
An := ∩ni=1 Ai
dan
dan
∩10
i =1 A i .
Bn := ∩ni=1 Bi .
Bagaimana
Representasi himpunan pada komputer
Misalkan semesta
Ω
terdiri dari
n
elemen, katakan
disajikan sebagai string-bit dengan panjang
n,
Ω = {a1 , a2 , · · · , an }. Himpunan A
ai ∈ A dan 0 jika ai ∈/ A.
bernilai 1 jika
Example
Misalkan Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} maka A = {1, 7, 9} disajikan sebagai
A = 1000001010, B = {2, 5, 8, 10} disajikan sebagai B = 0100100101.
Soal-soal yang dipecahkan : Hal 94 - 96.
Julan HERNADI
Teori Dasar Himpunan