Batasan dan Sifat-Sifat LOGARITMA

Batasan dan Sifat-Sifat LOGARITMA
BATASAN
Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan
a sehingga menjadi b.
a
log b = c → ac = b → mencari pangkat
Ket : a = bilangan pokok (a > 0 dan a ≠ 1)
b = numerus
(b > 0)
c = hasil logaritma
Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :
a
log a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n
SIFAT-SIFAT
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
a
log bc = alogb + alogc
log bc = c alog b
a
log b/c = alog b -alog c → Hubungan alog b/c = - a log b/c
a
log b = (clog b)/(clog a) → Hubungan alog b = 1 / blog a
a
log b. blog c = a log c
a alog b = b
a
log b = c → aplog bp = c → Hubungan : aqlog bp = alog bp/q
= p/q alog b
a
Keterangan:
1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya
logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.
[ log 7 maksudnya
10
log 7 ]
2. lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n
Bedakan dengan log xn = n log x
Contoh:
1. Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !
syarat :
numerus > 0
x² -4x - 5 < 0
(x-5)(x+1) < 0
-1 < x < 5
2.
3. Sederhanakan
2 3log 1/9 + 4log 2
log 2. 2log 5 .52log 3
=
2(-2) + 1/2
3
log 2.2log 5. 5²log3
- 3 1/2
log 31/2
=
3
3
4. Jika 9log 8 = n
-3 1/2
1/2
=
= -7
Tentukan nilai dari 4log 3 !
9
log 8 = n
log 2³ = n
3/2 3log 2 = n
3
log 2 = 2n
3
3²
4
log 3 = 2²log 3
= 1/2 ²log 3
= 1/2 ( 1/(³log 2) )
= 1/2 (3 / 2n)
= 3/4n
5. Jika log (a² / b4)
log (a²/b4)
log (a/b²)²
2 log ( a/b²)
log ( a/b² )
log ³√(b²/a)
Tentukan nilai dari log ³√(b²/a) !
=
=
=
=
=
=
=
=
-24
-24
-24
-12
log (b²/a)1/3
1/3 log (b² / a)
-1/3 log (a/b²)
-1/3 (-12) = 4
Persamaan Logaritma
Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun
bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x.
Masalah : Menghilangkan logaritma
a
log f(x) = alog g(x) → f(x) = g(x)
a
log f(x) = b → f(x) =ab
f(x)
log a = b → (f(x))b = a
Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan
pokok > 0 ≠ 1 dan numerus > 0 )
Contoh:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !
xlog 1/100 = -1/8
1.
x-1/8 = 10-2
(x -1/8) -8 = (10-2)-8
x = 10 16
xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6
2.
xlog 34 - 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6
4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6
3 xlog 3 = 6
xlog 3 = 2
x² = 3 → x = √3 (x>0)
xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0
3.
xlog(x+12) - xlog 4³ = -1
xlog ((x+12)/4³) = -1
(x+12)/4³ = 1/x
x² + 12x - 64 = 0
(x + 16)(x - 4) = 0
x = -16 (TM) ; x = 4
²log²x - 2 ²logx - 3 = 0
misal :
²log x = p
p² - 2p - 3 = 0
(p-3)(p+1) = 0
p =3
1
²log x = 3
x = 2³ = 8
1
p = -1
2
²log x = -1
x = 2-1 = ½
2
Pertidaksamaan Logaritma
Bilangan pokok a > 0 ≠ 1
Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a>1
a log f(x) > b → f(x) > ab
a log f(x) < b → f(x) < ab
0<a<1
a log f(x) > b → f(x) < ab
a log f(x) < b → f(x) > ab
(tanda tetap)
(tanda berubah)
syarat f(x) > 0
Contoh:
Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan
1. ²log(x² - 2x) < 3
a = 2 (a>1) → Hilangkan log → Tanda tetap
- 2 < x < 0 atau 2 < x < 4
a. x² - 2x < 2³
x² - 2x -8 < 0
(x-4)(x+2) < 0
-2 < x < 4
b. syarat : x² - 2 > 0
x(x-2) > 0
x < 0 atau x > 2
2.
1/2
log (x² - 3) < 0
a = 1/2 (0 < a < 1) → Hilangkan log → Tanda berubah
x < - 2 atau x > 2
a. (x² - 3) > (1/2)0
x² - 4 > 0
(x -2)(x + 2) < 0
x < -2 atau x > 2
syarat : x² - 3 > 0
(x - √3)(x + √3) > 0
x < √3 atau x > √3