Watak Dinamis Sensor

Watak Dinamis Sensor
Laila Katriani
[email protected]
Definisi
Fungsi Transfer suatu sistem linear didefinisikan
sebagai perbandingan transformasi Laplace
sinyal output terhadap sinyal input dengan
asumsi semua kondisi awal sama dengan nol.
Output
Y (s) Ly(t ) kondisi_ awalnol
G( s) 

U (s) Lu(t ) kondisi_ awalnol
Input
2
Sifat-sifat Fungsi Transfer
• Fungsi transfer suatu sistem merupakan model matematik
yang mengekpresikan persamaan diferensial yang
menghubungkan variabel output terhadap variabel input.
• Fungsi transfer adalah properti dari sistem itu sendiri, tidak
bergantung pada input atau fungsi penggerak.
• Fungsi transfer memiliki besaran yang diperlukan untuk
menghubungkan input dan output. Tetapi tidak memberikan
informasi tentang struktur fisik dari suatu sistem. Fungsi
transfer dapat sama (identik) dari bentuk fisik yang berbeda.
• Jika fungsi transfer sistem diketahui, output atau response
dapat dipelajari dari berbagai input yang diberikan. Fungsi
transfer memberikan deskripsi menyeluruh mengenai
karakteristik dinamik suatu sistem.
3
Fungsi Transfer
•
Persamaan diferensial suatu sistem yang menghubungkan
output dengan input
an y n  an1 y n1  ...  a1 y1  a0 y  bmu m  bm1u m1  ...  b1u1  b0u
 
input,u ( t )
•
output, y (t )
Transformasi Laplace terhadap output dan input persamaan
diatas (Lihat Transformasi Laplace) dengan kondisi awal
sama dengan nol
G( s) 
Fungsi
Transfer
Ly(t ) kondisi_ awalnol
Lu(t ) kondisi_ awalnol
Y (s) bm s m  bm1s m1  ...  b1s  b0
G( s) 
 n
U (s) an s  an1s n1  ...  a1s  a0
4
Persamaan Karakteristik
• Persamaan karakteristik suatu sistem
(linier) didefinisikan sebagai
denumerator polinomial fungsi transfer
sama dengan nol.
Fungsi
Transfer
N ( s)
G( s) 
D( s )
g (s)  D(s)  0
Persamaan
Karakteristik
Note: Stabilitas suatu
sistem linier SISO
(single-input singleoutput) ditentukan
dengan akar
persamaan
karakteristik
5
Zero dan Pole
Suatu Fungsi Transfer
• Fungsi transfer biasanya direpresentasikan dalam
bentuk polinomial pecahan sebagai berikut :
G( s) 
N (s) (s  z1 )(s  z2 )...(s  zm )

D(s) (s  p1 )(s  p2 )...(s  pn )
Solusi N(s)=0 disebut zeros (z), karena
membuat G(s) bernilai nol. Solusi D(s)=0
disebut poles (p), karena membuat G(s)
bernilai tak berhingga
• Perhatikan contoh fungsi transfer berikut:
N (s) s 2  4s  3 (s  1)(s  3)
G( s) 
 2

D(s) s(s  3s  2) s(s  1)(s  2)
Memiliki zero pada s=1, s=3 dan pole pada s=0, s= -1, s= 2
6
Zero dan Pole
dengan MatLab
•
MatLab memiliki fungsi built-in “roots” yang dapat digunakan
untuk mencari zero dan pole suatu fungsi transfer :
c adalah vektor
koefisien numerator
 poles  roots(d )
fungsi transfer dan d
vektor koefisien
Perhatikan fungsi transfer
denumerator fungsi
berikut:N (s) s 2  4s  3 s 2  4s  3
transfer
G( s) 


zeros =
D(s) s(s 2  3s  2) s 3  3s 2  2s
3
Perintah berikut:
1
>>num=[1 -4 3];
poles =
>>den=[1 3 2 0];
0
>>zeros=roots(num)
-2
>>poles=roots(den)
-1
 zeros  roots(c)
•
•
7
Overview
• Persamaan Differensial yang diperoleh dari pemodelan matematik suatu
sistem mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana responsenya
akan bergantung pada masukannya.
• Solusi dari persamaan differensial terdiri dari solusi steady state (didapat
jika semua kondisi awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh dari
kondisi awal).
• Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan differensial.
8
• Transformasi Laplace mengkonversikan
persamaan differensial (dalam domain t)
kedalam persamaan aljabar dalam domain s.
• Memungkinkan memanipulasi persamaan
aljabar dengan aturan sederhana untuk
menghasilkan solusi dalam domain s.
• Solusi dalam domain t dapat diperoleh
dengan melakukan operasi inverse
transformasi Laplace
9
Definisi

F s   L f t    f t est dt
0
f t   L1F s 
Transformasi
Laplace F(s) dari
fungsi f(t)
Inverse Transformasi
Laplace
Fungsi f(t) haruslah real dan kontinu
sepanjang interval waktu yang akan
dievaluasi, jika tidak transformasi Laplace
tidak dapat digunakan.
10
Teorema Transformasi
Laplace
• Linieritas
Laf t   aF s 
L f1 t   f 2 t   F1 s   F2 s 
• Integrasi
F s   f 0
L  f t dt 

dt
s
s


• Nilai awal
• Differensiasi
 df t 
L
  sF s   f 0
 dt 
 d 2 f t  2
df 0
L 2   s F s   f 0 
dt
 dt 
lim f t   lim sF s 
t 0
s 
• Nilai akhir
lim f t   lim sF s 
t 
s 0
• Pergeseran waktu
L f t    e s F s 
11
Contoh:
Solusi Persamaan Differensial
Diberikan persamaan differensial sbb:
d 2 yt  dyt 
3
 2 yt   5 f t 
dt 2
dt
Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi
awal y(0)=-1 dan y´(0)=2. Transformasi Laplace
1
menghasilkan:
Fungsi unit
s 2Y s   sy0  y´(0)  3sY s   3 y(0)  2Y (s)  5
s
step dari tabel
transformasi
5
2
s Y s   s  2  3sY s   3  2Y ( s) 
Laplace
s
s(s 2  3s  2)Y (s)   s 2  s  5
Solusi dalam
2

s

s

5
Menggunakan
domain t
Y (s)  2
s(s  3s  2)
teorema
diperoleh
differensiasi
dengan invers
transformasi
transformasi
Laplace
Laplace
12
Invers transformasi Laplace dilakukan dengan
memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi
Y(s) kedalam akar-akarnya:
 s2  s  5
 s2  s  5
Y ( s)  2

s(s  3s  2) s(s  1)(s  2)
Ekpansi dalam pecahan
parsial,
A B
C
 s2  s  5
Y ( s)  


s (s  1) (s  2) s(s  1)(s  2)
Dimana A, B dan C adalah
koefisien
 s2  s  5 5
A  [ sY ( s)]s 0 

( s  1)(s  2) 2
 s2  s  5
B  [(s  1)Y ( s)]s 1 
 5
s( s  2)
 s2  s  5 3
C  [(s  2)Y (s)]s 2 

s(s  1) 2
13
Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi
5
5
3
Y ( s)  

2s (s  1) 2(s  2)
Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel),
persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi
5 t 3  2 t
y(t )   5e  e
2
2
Dengan t ≥ 0
14
Prosedur Solusi persamaan Diferensial
dengan Transformasi Laplace
1. Transformasi persamaan differensial ke dalam
domain s dengan transformasi Laplace
menggunakan tabel transformasi Laplace.
2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah
ditransformasikan untuk mendapatkan
variabel outputnya.
3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap
persamaan aljabar pada langkah 2.
4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan
tabel transformasi Laplace untuk
mendapatkan solusi dalam domain t.
15
Ekspansi Pecahan Parsial:
Review
• Transformasi Laplace dari suatu persamaan
differensial f(t) lazimnya diberikan dalam bentuk:
N ( s)
F ( s) 
D( s )
N(s) adalah numerator
(pembilang) dalam s,
D(s) denumerator
(penyebut) dalam s
• Bentuk ekspansi pecahan parsial dari F(s) bergantung
pada akar-akar persamaan karakteristiknya
(denumerator).
– Kasus 1: Persamaan karakteristik
hanya memiliki
N ( s)
(s) tidak sama
akar real Fdan
(s  s1 )(s  s2 )...(s  sN )
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan
dalam bentuk:
K
K
K
Ki (i=1,…,N) adalah
F (s)  1  2  ...  N
(s  s1 ) (s  s2 )
(s  sN )
konstanta yang
harus dicari
16
Ekspansi Pecahan Parsial:
Review
Konstanta K dicari dengan persamaan berikut:
Ki  [(s  si ) F (s)]s  si
N (si )

(si  s1 )(si  s2 )...(si  si 1 )(si  si 1 )...(si  sN )
• Kasus 2: Persamaan karakteristik hanya memiliki
akar
kompleks
Jika
persamaan
karakteristik hanya memiliki M pasangan
complex-conjugate, F(s) dapat dituliskan sbb:
F ( s) 
N ( s)
(s 2  2 n s  n2 )1 (s 2  2 n s  n2 ) 2 ...(s 2  2 n s  n2 ) M
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat
dituliskan dalam bentuk:
F ( s) 
A1s  B1
A2 s  B2
AM s  BM


...

(s 2  2 n s  n2 )1 (s 2  2 n s  n2 ) 2
(s 2  2 n s  n2 ) M
Dimana Ai dan Bi konstanta yang dicari dengan menyamakan
pangkat dalam s
17
Ekspansi Pecahan Parsial:
Review
• Kasus 3: Persamaan karakteristik memiliki akar
real, tidak sama dan kompleks
F ( s) 
N ( s)
(s  s1 )(s  s2 )...(s  sN )(s 2  2 n s  n2 )1 (s 2  2 n s  n2 )2 ...(s 2  2 n s  n2 ) M
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat
dituliskan dalam bentuk:
F ( s) 
K
K1
K
 2  ...  N 
(s  s1 ) (s  s2 )
(s  sN )
A1s  B1
A2 s  B2
AM s  BM


...

(s 2  2 n s  n2 )1 (s 2  2 n s  n2 ) 2
(s 2  2 n s  n2 ) M
18
Ekspansi Pecahan Parsial:
dengan software MatLab
•
Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s):
N (s) num bm s m  bm1s m1  ...  b1s  b0

 n
D(s) den an s  an1s n1  ...  a1s  a0
an , bm  0
•
Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator
(penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang
dinyatakan dengan koefisiennya
num  [bm bm1 ... b0 ]
•
•
Perintah ini akan
den  [an an1 ... a0 ]
mencari residu, poles
dan direct term dari
Perintah
ekspansi pecahan
>>[r,p,k]=residue(num
parsial N(s)/D(s)
,den)
Ekspansi pecahan parsialnya adalah
k(s) adalah
N (s) r (1)
r (2)
r ( n)
direct term


 ... 
 k ( s)
D(s) s  p(1) s  p(2)
s  p ( n)
19
Contoh
•
Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi
pecahan parsial dari fungsi transfer berikut:
N ( s)
s 2  2s  3
 3 2
D(s) s  3s  3s  1
Solusi dengan MatLab:
>>num=[1 2 3];
>>den=[1 3 3 1];
>>[r,p,k]=residue(num,den)
Ekspansi pecahan parsialnya:
N ( s)
1
0
2



2
D(s) (s  1) (s  1) (s  1)3
r=
1.0000
0.0000
2.0000
p=
-1.0000
-1.0000
-1.0000
k=
[]
20
Tabel:
Transformasi Laplace
Kesalaha
an Dinamis
dalam
Sistem
Pengukur
an
Contoh kesalahan dinamis
Sistem Pengukuran Suhu secara dinamis.
𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒
∆𝑇𝑇 𝑠
∆𝑉 𝑡
∆𝐸 𝑡
−6
4 𝑥 10
103
1 + 10𝑠
1 + 10𝑒.−4
𝑚.𝑠𝑓
𝑇ℎ𝑒𝑟𝑚𝑜𝑐𝑜𝑢𝑝𝑙𝑒
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟
measure
𝑣𝑜𝑙𝑡
∆𝑇𝑀25𝑇
2,5𝑥10−5 𝑠 2 10−2 𝑠 + 1
𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟
Gambar diatas menunjukkan pengukuran lengkap suatu sistem yang
terdiri dari n elemen. Tiap elemen i mempunyai steady-state ideal dan
karakteristik dinamis linear dan dapat ditunjukkan oleh sensitivitas
steady-state Ki dan fungsi transfer Gi(s).
Dari Fungsi Transfer untuk Pengukuran Sistem
∆𝑂 𝑠
∆𝐼 𝑠
= 𝐺 𝑠 = 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 . . . 𝐺𝑖 𝑠 . . . 𝐺𝑛 𝑠
[4.41]
Pertamakitacarifungsitransformasi Laplace ∆𝐼
∆𝐼 𝑡 kemudianmenggunakanTransformasi Lap
∆𝑂 𝑡 = ℒ −1 𝐺 𝑠 ∆𝐼 𝑠
Output ∆𝑂 𝑠 = 𝐺 𝑠 ∆𝐼 𝑠
Sehingga
[4.42]
Dimana : ℒ −1 = invers transformasi Laplace
Rumus kesalahandinamis :
𝐸 𝑡 = ∆𝑂 𝑡 − ∆𝐼 𝑡
𝐸 𝑡 = ℒ −1 𝐺 𝑠 ∆𝐼 𝑠
[4.43]
− ∆𝐼 𝑡 [4.44
MisalnyaPada input 20 ℃ .
Maka∆𝑇𝑇 𝑡 = 20 𝑡 dan ∆𝑇 𝑇 𝑠 = 20
1
𝑠
Denganmenggunakantabel 4.1 danpersamaan [4.30] diperoleh :
Dimanatandanegatifmenunjukkanpembacaan yang sangatrendah.
• Kesalahan dinamis dari sistem fungsi transfer subyek ke
input sinusoidal
• Dari gambar [4.9] diperoleh:
[4.47]
• Deret Fourier Untuk Sinyal Periodik :
• Dengan input sinyal sistem diberikan oleh persamaan :
Dimana In=bn adalah amplitudo nth frekuensi harmonik nω1.
• Dari gambar 4.9 diatas diperoleh sinyal output :
• Kita dapat menggunakan prinsip Superposisi, dimana properti dasar
sistem linear (misal sistem digambarkan oleh persamaan diferensial
linear). Hal ini dapat dituliskan :
• Artinya,jika input total sinyal adalah jumlah dari banyaknya gelombang
sinus maka output total sinyal adalah jumlah dari respon tiap
gelombang sinus.
Bentuk gelombang input dan Komponen Fourier
Perhitungan
Kesalahan
Dinamis Input
Sinyal Periodik
Teknik
Kompens
asi
Dinamis
Dari persamaan [4.55] diperoleh E(t) = 0 untuk sinyal periodik yaitu :
|G( jω1) | = |G( j2ω1) | = . . . = |G( jnω1) | = . . . = |G( jmω1) | = 1
arg G( jω1) = arg G( j2ω1) = . . . = arg G( jnω1) = . . . = arg G( jmω1) = 0
Ket :
G( jω) = frequency response function
arg G( jω1) = ϕ (beda fase)
[4.59]
• Dimana m merupakan tingkat tertinggi harmonik signifikan. Untuk
sinyal acak dengan frekuensi spektrum kontinu berada antara 0 dan
ωMAX , kita memerlukan :
|G(jω)| = 1 dan arg G(jω) = 0 untuk 0 < ω ≤ ω MAX
[4.60]
• Kondisi diatas menunjukkan teori ideal yang akan sulit direalisasikan
dalam praktek. Selain itu, kriteria dalam praktek adalah limit variasi
dalam|G( jω)| untuk frekuensi yang diberikan sinyal.
• Untuk contoh kondisi
0.98 <|G( jω)| < 1.02 untuk 0 < ω ≤ ωMAX
[4.61]
Memastikan kesalahan dinamis dibatasi ≈ ±2 persen untuk sinyal
yang berisi frekuensi diatas ωMAX/2π Hz (Gambar 4.15)
• Kriterialain yang digunakanadalahluasbidang. Luasbidangdarisebuahelemenata
frekuensidimana|G( jω)|> 1/ 2. Jadiluasbidangsistem, denganresponfrekuens
ditunjukkanpadagambar4.15 adalah0 sampaiωBrad/s.
• SinyalfrekuensitertinggiωMAX haruskurangdaribesarnyaωB. Karena, bagaimanapu
jω)|dalamωB.Kriterialuasbidanginitidakterlaluberpengaruhdalampengukuranlen
• Luasbidangbiasadigunakandalampenetapanresponamplifier; reduksipada|G( jω
1/ 2adalahsamadenganperubahandesibelN = 20 log(1/ 2) = −3.0 dB. Tingkat p
bidang berada diantara 0 dan 1/τ rad/s.
• Jikasistemgagaluntukbertemudengan limit spesifikasipadakesalahandinamis, m
G(s) tidakmemenuhikondisi [4.61],
makalangkahpertamanyaadalahmengidentifikasielemendalamsistemyang
didominasiolehlingkungandinamis.
• Setelahmengidentifikasipengaruhelemensistem, ternyatametode yang palin
meningkatkanrespondinamisadalahmodel/pola/bentuk yang melekat.
Dalamhalinitingkatpertama sensor suhudenganτ = MC/UA, τ
dapatdiperkecildenganmemperkecilmassa/rasiodaerah M/A.
• Untukcontoh, digunakantermistordalambentukkepingan tipis. Dalamhaliniti
sensor gayadenganωn = k/m ,
ωndapatdiperbesardenganmemperbesark/m.Contohnyadigunakankekakuan
tinggidanmassam yang rendah. Kenaikank,bagaimanapunmenurunkansensi
K = 1/k.
• Dari langkah kedua dan grafik respon frekuensi kita lihat bahwa nilai
perbandingan optimal teredam ξ berkisar 0,7. Nilai ini menjamin
ketetapan waktu minimum untuk tingkat respon dan |G( jω)|
terdekat dari kesatuan respon frekuensi.
• Metode lain adalah kompensasi dinamis loop-terbuka (gambar
4.16). Diberikan sebuah ketidakseimbangan elemen atau sistem
Gu(s), elemen kompensasi Gc(s) memperkenalkan ke dalam sistem,
seperti keseluruhan transfer fungsi G(s) = GU(s)GC(s) memenuhi
kondisi yang diperlukan (untuk contoh persamaan [4.61]).
• Jadi, jika rangkaian mendahului/tertinggal digunakan termokopel
(gambar 4.16), keseluruhan waktu konstan mereduksi τ2 menjadi
|G( jω)| adalah kesatuan akhir terdekat dengan range frekuensi
yang lebih luas. Masalah utama dengan metode ini adalah τ dapat
berubah dengan koefisien transfer panas U, sehingga mengurangi
keefektifan teknik kompensasi.
• Metode lain adalah menggabungkan atau mengganti elemen ke dalam
sistem loop-tertutup dengan high-gain negative feedback. Contohnya
adalah suhu konstan anemometer untuk mengukur kecepatan fluktuasi
fluida. Contoh lain adalah loop-tertutup akselerometer ditunjukkan
dalam bagan dari diagram blok pada gambar 4.17.
• Pemakaian percepatan a dihasilkan dalam gaya inersia ma pada massa
seismik. Keseimbangan ini diperoleh dari gaya magnet yang tetap pada
arus kumparan yang membawa pengaruh arus balik.
• Ketidakseimbangan lain dari gaya dideteksi oleh gaya elastik elemen
yang dihasilkan dari sensor posisi menggunakan potensiometer .
Output dari tegangan potensiometer adalah amplify, memberikan
output arus yang memberi pengaruh arus balik pada kumparan
melewati resistor untuk memberikan output tegangan.
• Analisis keseluruhan transfer fungsi diagram blok ditunjukkan oleh :
• Jika KA mencapai besarnya maka KA KD KF/k >>1 , sehingga fungsi transfer
sistem dapat dituliskan dalam bentuk :
• Kita lihat bahwa frekuensi natural sistem ωns lebih besar dari gaya elastik
elemen itu sendiri. Perbandingan teredam sistem ξs kurang dari ξ, tapi
pembuatan nilai ξs ≈ 0.7 dapat diperoleh. Selanjutnya sensitivitas steadystate sistem hanya bergantung pada m, KF, dan R, yang dapat dibuat
konstan untuk derajat yang tinggi.