Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektor

Materi Kuliah :
Matriks dan Ruang Vektor
Bab VI
TRANSFORMASI LINIER
1. Pengertian Transformasi
Definisi :
Dalam Kalkulus dikenal dengan kata FUNGSI,
yaitu sebuah PEMETAAN yang bersifat khusus.
PEMETAAN disebut juga TRANSFORMASI
karena Domain dan Codomainnya merupakan
Vektor berdimensi n atau Rn, sedangkan
FUNGSI Domainnya merupakan sebuah
bilangan
1. Pengertian Transformasi
TRANSFORMASI dari Rn ke Rn ditulis
T :R R
n
n
Dengan rumus :
T x1 , x2   nilai _ x1 , nilai _ x2 
T x1, x2 , x3   nil _ x1 , nil _ x2 , nil _ x3 
1. Pengertian Transformasi
Contoh :
Diketahui Transformasi T : R 2  R 2 dengan rumus
T x1 , x2   2 x1  x2 , x1  3x2  tentukan hasil
Transformasi dari vektor V 2,3
Hasil Transformasi biasanya disebut PETA
1. Pengertian Transformasi
Jawab :
Diketahui vektor V 2,3 , maka berarti x1  2 dan
x2  3 Transformasinya T x1 , x2   2 x1  x2 , x1  3x2 
Maka :
T x1 , x2   2 x1  x2 , x1  3x2 
T 2,3  22  3, 2  33
T 2,3  4  3,2  9
T 2,3  1,11
merupakan PETA
1. Pengertian Transformasi
Contoh :
Diketahui Transformasi T : R 2  R 2 dengan rumus
T x1 , x2 , x3   x2 ,3x1  2 x3 , x1  x2  3x3  tentukan
Hasil Transformasi dari vektor V 2,2,1
1. Pengertian Transformasi
Jawab :
Diketahui vektor V 2,2,1 , maka berarti x1  2 ,
x2  2 dan x3  1 dengan Transformasinya
T x1 , x2 , x3   x2 ,3x1  2 x3 , x1  x2  3x3 
Maka :
T x1 , x2 , x3   x2 ,3x1  2 x3 , x1  x2  3x3 
T 2,2,1   2,32  21, 2   2  31
1. Pengertian Transformasi
Soal Latihan :
Diketahui sebuah vektor yaitu V  3,1,2 dengan
Rumus Transformasi berikut :
1. T x1 , x2 , x3   x2  x3 , x1  2 x2 , x1  2 x2  x3 
2. T x1 , x2 , x3   x1  2 x2  x3 , x1 ,3x2  x3 
3. T x1 , x2 , x3   2 x3 , x1  x2 , x2  2 x3 
4. T x1 , x2 , x3   2 x2 ,2 x1  x2  3,2 x2  2 x3 
2. Transformasi Vektor Linier
Sebuah Transformasi T disebut Transformasi
Vektor Linier jika memenuhi dua syarat berikut :
1. Untuk setiap vektor misalkan V1 dan V2, maka
akan berlaku :
T[V1] + T[V2] = T[V1 + V2]
2. Untuk setiap vektor misalkan V dan sebuah
bilangan , maka akan berlaku
 T[V] = T[V]
2. Transformasi Vektor Linier
Contoh :
Diketahui Transformasi T : R 2  R 2 dengan rumus
T x1 , x2   2 x1  x2 , x1  3x2  Apakah Transformasi
itu merupakan Transformasi Vektor Linier ?,
Tunjukan
2. Transformasi Vektor Linier
Contoh :
Diketahui Transformasi T : R 2  R 2 dengan rumus
T x1 , x2   x1  x2 , x1  2 x2  Apakah Transformasi
itu merupakan Transformasi Vektor Linier ?,
Tunjukan
2. Transformasi Vektor Linier
Contoh :
Diketahui Transformasi T : R 2  R 2 dengan rumus
T x1 , x2   3x2 ,4 x1  3 Apakah Transformasi itu
merupakan Transformasi Vektor Linier ?,
Tunjukan
2. Transformasi Vektor Linier
Contoh :
Diketahui Transformasi T : R3  R3 dengan rumus
T x1 , x2 , x3   2 x2 , x1  x3 , x1  x2  Apakah
Transformasi itu merupakan Transformasi Vektor
Linier ?, Tunjukan
2. Transformasi Vektor Linier
Contoh :
Diketahui Transformasi T : R3  R3 dengan rumus
T x1 , x2 , x3   x2  1,2 x1  2 x3 ,3x1  x2  Apakah
Transformasi itu merupakan Transformasi Vektor
Linier ?, Tunjukan
3. Matriks Transformasi
Definisi :
Jika Diketahui T : Rn  Rn merupakan Transformasi
vektor Linier , maka [T]e merupakan matriks
Transformasi yaitu Transpose dari matriks
Koefisien. Dan jika diketahui sebuah vektor V,
maka Peta dari vektor V yaitu T[V] dapat
ditentukan dengan Rumus
T[V] = [ T ]e V
3. Matriks Transformasi
Definisi Basis :
Jika Diketahui T : R2  R2 maka Basisnya :
Basis Sumbu X : e1 = 1,0
 T[e1] = T[1,0]
Basis Sumbu Y : e2 = 0,1
 T[e2] = T[0,1]
Misalkan T[x1,x2] = [ax1 + bx2 , cx1 + dx2], maka :
T[e1] = T[1,0] = ae1 + ce2
a c 
T 
T[e2] = T[0,1] = be1 + de2

b d

Jadi Matriks Koefisienya
3. Matriks Transformasi
Maka Matriks Transformasinya
a b 
[T ]e  

c d 
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Jika Diketahui T : Rn  Rn merupakan Transformasi
vektor Linier, dengan rumus
T x1 , x2   2 x1  x2 , x1  3x2 
Matriks Koefisien :
 2 1
T[e1] = T[1,0] = 2e1 + 1e2
T 


1
3
T[e2] = T[0,1] = –1e1 + 3e2


2  1
matriks Transformasinya [T]e adalah T e  

1
3


3. Matriks Transformasi
Contoh :
Jika Diketahui T : Rn  Rn merupakan Transformasi
vektor Linier, dengan rumus
T x1 , x2   3x1  x2 , x1  2 x2 
maka matriks Koefisienya ?
Matriks Transformasinya [T]e
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Jika Diketahui T : Rn  Rn merupakan Transformasi
vektor Linier, dengan rumus
T x1 , x2   x1  2 x2 , x1 
maka matriks Koefisienya ?
Matriks Transformasinya [T]e
3. Matriks Transformasi
Definisi Basis :
Jika Diketahui T : R3  R3 maka Basisnya :
Basis Sumbu X : e1 = 1,0,0  T[e1] = T[1,0,0]
Basis Sumbu Y : e2 = 0,1,0  T[e2] = T[0,1,0]
Basis Sumbu Z : e3 = 0,0,1  T[e3] = T[0,0,1]
3. Matriks Transformasi
Misalkan
T[x1,x2,x3]=[ax1+bx2+cx3, dx1+ex2+fx3, gx1+hx2+ix3]
maka :
T[e1] = T[1,0,0] = ae1 + de2 + ge3
T[e2] = T[0,1,0] = be1 + ee2 + he3
T[e3] = T[0,0,1] = ce1 + fe2 + ie3
a d g 
Jadi Matriks Koefisienya T  b

 c
e
f

h
i 
3. Matriks Transformasi
Jika ditranspose menjadi Matriks Transformasi
yaitu :
a b

T e  d e
 g h
c

f
i 
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Jika Diketahui T : Rn  Rn merupakan Transformasi
vektor Linier, dengan rumus
T x1 , x2 , x3   x2  x3 , x1  2 x2 , x1  2 x2  x3 
Tentukan Matriks Koefisien dan Matriks
Transformasinya
3. Matriks Transformasi
Diketahui :
T x1 , x2 , x3   x2  x3 , x1  2 x2 , x1  2 x2  x3 
T[e1] = T[1,0,0] = 0e1 + 1e2 + 1e3
T[e2] = T[0,1,0] = 1e1 + 2e2 + 2e3
T[e3] = T[0,0,1] = –1e1 + 0e2 + –1e3
Jadi :
0 1 1
0 1  1




T   1 2 2  maka T e  1 2 0


 1 0  1
1 2  1
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Tentukan Peta dari Vektor V[1, 2, 3] dengan
matriks Transformasi jika diketahui rumus
Transformasi
T x1 , x2 , x3   2 x2 ,2 x1  x2 ,2 x2  2 x3 
3. Matriks Transformasi
Diketahui T x1 , x2 , x3   2 x2 ,2 x1  x2 ,2 x2  2 x3 
0 2 0 


T  2 1 2  
0 0  2
Maka Petanya
0 2 0 


T e  2 1 0 
0 2  2
 0 2 0  1   4 
T V   T e V  2 1 0  2   4 
0 2  2 3  2
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Tentukan Peta dari Vektor V[1, 1, 2] dengan
matriks Transformasi jika diketahui rumus
Transformasi
T x1 , x2 , x3   x1  2 x2  x3 , x1  2 x3 ,2 x1  x3 
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Tentukan Peta dari Vektor V[3, 3, 1] dengan
matriks Transformasi jika diketahui rumus
Transformasi
T x1 , x2 , x3   x2  x3 ,3x1  2 x2  x3 ,2 x1 
Transformasi Vektor Linier
Siip...
Lanjut Slide 7..