DIFERENSIAL (fungsi sederhana)

1
 Limit
menggambarkan seberapa jauh sebuah
fungsi akan berkembang apabila variabel di dalam
fungsi yang bersangkutan terus menerus
berkembang mendekati suatu nilai tertentu.
 Notasi
Lim f(x) = L
x--> a
2
1.
2.
3.
Jika y = f(x) =
xn dan n > 0 maka
Lim x n  a n
xa
Limit dari konstanta adalah konstanta sendiri
Lim k  k
xa
Lim f ( x)  g ( x)  Lim f ( x)  Lim g ( x)
x a
xa
xa
4.
Limit dari perkalian fungsi adalah perkalian dari limit fungsi-fungsinya
5.
Limit dari pembagian fungsi adalah pembagian dari limit fungsi-fungsinya
6.
Limit dari fungsi berpangkat n adalah pangkat n dari limit fungsinya
Limit dari suatu fungsi terakar adalah akar dari limit fungsinya
Dua buah fungsi yang serupa mempunyai limit yang sama jika f(x) =
g(x) untuk semua x kecuali a
7.
8.
Maka
Lim f ( x )  L
xa
juga
Lim g ( x )  L
x a
3
y
= f(x) dan terdapat tambahan variabel
bebas x sebesar  x
 Maka :
y  f ( x)
y  y  f ( x  x)
y  f ( x  x)  y
y  f ( x  x)  f ( x)
(1)
4
∆
x adalah tambahan x, sedangkan ∆ y
adalah tambahan y akibat adanya
tambahan x. Jadi ∆y timbul karena
adanya ∆x.
 Apabila pada persamaan (1) ruas kiri
dan ruas kanan sama-sama dibagi ∆x,
maka diperoleh
y f ( x  x)  f ( x)

x
x
5
 Bentuk
∆y/ ∆x inilah yang disebut
sebagai hasil bagi perbedaan atau
kuosien diferensi (difference quotient),
yang mencerminkan tingkat perubahan
rata-rata variabel terikat y terhadap
perubahan variabel bebas x
 Proses penurunan fungsi disebut juga
proses diferensiasi  merupakan
penentuan limit suatu kuosien diferensi
(∆x sangat kecil)
 Hasil proses diferensiasi dinamakan
turunan atau derivatif (derivative).
6
Jika y = f(x)
Maka kuosien diferensinya :
y f ( x  x)  f ( x)

x
x
lim y
lim f ( x  x)  f ( x)

x  0 x x  0
x
7
 Cara
penotasian dari turunan suatu fungsi
dapat dilakukan dengan beberapa macam :
Paling lazim
digunakan
y
dy df ( x)
'
 y  f ' ( x)  y x  f x ( x) 

x  0 x
dx
dx
lim
∆x sangat kecil maka = ∆y / ∆x
Kuosien diferensi ∆y/ ∆x slope / lereng dari
garis kurva y = f(x)
8
1.
2.
Diferensiasi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta,
maka dy/dx = 0
contoh : y = 5  dy/dx = 0
Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = xn, dimana n adalah konstanta,
maka dy/dx = nxn-1
contoh : y=x3dy/dx=3x3-1=3x2
9
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan
fungsi
Jika y = kv, dimana v = h(x),
 dy/dx = k dv/dx
contoh : y = 5x3  dy/dx = 5(3x2) = 15x2
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan
fungsi
jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :
dy
kdv / dx

dx
v2
5 dy
5(3x 2 )
15x 2
contoh : y  3 ,   3 2   6
x dx
(x )
x
10
5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi
jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x)
maka dy/dx = du/dx + dv/dx
contoh : y = 4x2 + x3  u = 4x2 du/dx = 8x
 v = x3 dv/dx = 3x2
dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2
6. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)
dy
dv
du
maka 
u v
dx
dx
dx
contoh : y  (4 x 2 )( x 3 )
dy
dv
du
u v
 (4 x 2 )(3x 2 )  ( x 3 )(8 x)  12 x 4  8 x 4  20 x 4
dx
dx
dx
11
7. Diferensiasi pembagian fungsi
Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)
du
dv
v
u
dy
maka 
 dx 2 dx
dx
v
4x2
contoh : y  3
x
du
dv
v
u
3
2
2
dy
(
x
)(
8
x
)

(
4
x
)(
3
x
)
dx
dx


2
dx
v
( x3 )2
8 x 4  12 x 4  4
2
 2  4 x
6
x
x
12
Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain
y=f{g(x)}, maka :
dy dy du


dx du dx
contoh : y  (4 x 3  5) 2  misal : u  4 x 3  5  y  u 2
du
dy
 12 x 2 ,
 2u
dx
du
dy dy du


 2u (12 x 2 )  2(4 x 3  5)(12 x 2 )  96 x 5  120 x 2
dx du dx
13
Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1
.(du/dx)
Contoh :
du
y  (4 x  5) ,  misal : u  4 x  5 
 12 x 2
dx
dy
du
n 1
 nu 
 2(4 x 3  5)(12 x 2 )  96 x 5  120 x 2
dx
dx
3
2
3
14
Jika y = alog x, maka
dy
1

dx x ln a
dy
1
1
contoh : y  log 2, 


dx x ln a 2 ln 5
5
15
Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x
Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5
12. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier
Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka :
dy 1 du
 
dx u dx
 x3
contoh : y  ln 

 x2
( x  3)
du
5
misalkan : u 


( x  2)
dx ( x  2) 2
dy 1 du ( x  2)
5
5
 


 2
2
dx u dx ( x  3) ( x  2)
( x  x  6)
16
 Diferensialkan
fungsi-fungsi berikut :
 2x  3
a) y  

3
x

5


3
x4  2x  7
b) y 
7
 3x 
c) y  ln 

1 x 
17