DIFERENSIAL (fungsi sederhana)

Diferensial
fungsi sederhana
Materi Yang Dipelajari
•
•
•
•
•
Kuosien Diferensi dan Derivatif
Kaidah- Kaidah Diferensiasi
Hakikat Derivatif dan Diferensial
Derivatif dari Derivatif
Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya
- Fungsi menaik dan fungsi menurun
- Titik ekstrim fungsi parabolik
- Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik
Kuosien Diferensi dan Derivatif
• y = f(x) dan terdapat tambahan variabel
bebas x sebesar ∆x
• Maka :
y  f ( x)
y  y  f ( x  x)
y  f ( x  x)  y
y  f ( x  x)  f ( x)
(1)
• ∆ x adalah tambahan x, sedangkan ∆ y
adalah tambahan y akibat adanya
tambahan x. Jadi ∆y timbul karena
adanya ∆x.
• Apabila pada persamaan (1) ruas kiri
dan ruas kanan sama-sama dibagi ∆x,
maka diperoleh
y f ( x  x)  f ( x)

x
x
• Bentuk ∆y/ ∆x inilah yang disebut
sebagai hasil bagi perbedaan atau
kuosien diferensi (difference quotient),
yang mencerminkan tingkat perubahan
rata-rata variabel terikat y terhadap
perubahan variabel bebas x
• Proses penurunan fungsi disebut juga
proses diferensiasi  merupakan
penentuan limit suatu kuosien diferensi
(∆x sangat kecil)
• Hasil proses diferensiasi dinamakan
turunan atau derivatif (derivative).
Jika y = f(x)
Maka kuosien diferensinya :
y f ( x  x)  f ( x)

x
x
lim y
lim f ( x  x)  f ( x)

x  0 x x  0
x
penotasian
• Cara penotasian dari turunan suatu fungsi
dapat dilakukan dengan beberapa macam :
Paling lazim
digunakan
y
dy df ( x)
'
 y  f ' ( x)  y x  f x ( x) 

x  0 x
dx
dx
lim
∆x sangat kecil maka = ∆y / ∆x
Kuosien diferensi ∆y/ ∆x slope / lereng dari
garis kurva y = f(x)
Kaidah-kaidah diferensiasi
1. Diferensiasi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta,
maka dy/dx = 0
contoh : y = 5  dy/dx = 0
2. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = xn, dimana n adalah konstanta,
maka dy/dx = nxn-1
contoh : y=x3dy/dx=3x3-1=3x2
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan
fungsi
Jika y = kv, dimana v = h(x),
 dy/dx = k dv/dx
contoh : y = 5x3  dy/dx = 5(3x2) = 15x2
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan
fungsi
jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :
dy
kdv / dx

dx
v2
5 dy
5(3x 2 )
15x 2
contoh : y  3 ,   3 2   6
x dx
(x )
x
5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi
jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x)
maka dy/dx = du/dx + dv/dx
contoh : y = 4x2 + x3  u = 4x2 du/dx = 8x
 v = x3 dv/dx = 3x2
dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2
6. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)
dy
dv
du
maka 
u v
dx
dx
dx
contoh : y  (4 x 2 )( x 3 )
dy
dv
du
u v
 (4 x 2 )(3x 2 )  ( x 3 )(8 x)  12 x 4  8 x 4  20 x 4
dx
dx
dx
7. Diferensiasi pembagian fungsi
Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)
du
dv
v
u
dy
maka 
 dx 2 dx
dx
v
2
4x
contoh : y  3
x
du
dv
v
u
3
2
2
dy
(
x
)(
8
x
)

(
4
x
)(
3
x
)
dx
dx


2
3 2
dx
v
(x )
8 x 4  12 x 4  4
2



4
x
6
2
x
x
8. Diferensiasi Fungsi komposit
Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain
y=f{g(x)}, maka :
dy dy du


dx du dx
contoh : y  (4 x 3  5) 2  misal : u  4 x 3  5  y  u 2
du
dy
 12 x 2 ,
 2u
dx
du
dy dy du


 2u (12 x 2 )  2(4 x 3  5)(12 x 2 )  96 x 5  120 x 2
dx du dx
9. Diferensiasi fungsi berpangkat
Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1
.(du/dx)
Contoh :
du
y  (4 x  5) ,  misal : u  4 x  5 
 12 x 2
dx
dy
du
n 1
 nu 
 2(4 x 3  5)(12 x 2 )  96 x 5  120 x 2
dx
dx
3
2
3
10. Diferensiasi fungsi logaritmik
Jika y = alogx, maka
dy
1

dx x ln a
dy
1
1
contoh : y  log 2, 


dx x ln a 2 ln 5
5
11. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik
Jika y=alogu, dimana u=g(x),
maka :
a
log e du

dx
u
dx
 x 3
contoh : y  log 

 x2
( x  3)
du ( x  2)  ( x  3)
5
misalkan : u 



( x  2)
dx
( x  2) 2
( x  2) 2
dy

a
log e du

dx
u
dx
log e
5
5 log e
5 log e




 x  3  ( x  2) 2 ( x  3)( x  2) ( x 2  x  6)


x

2


dy

12. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmikberpangkat
a
n
Jika y = ( logu) , dimana u = g(x) dan n adalah konstanta,
maka :
dy dy a log e du



dx du
u
dx
2 3
contoh : y  (log 5 x )
du
misalkan u  5 x 
 10 x
dx
dy
2 2  log e 
 3(log 5 x )  2 (10 x)
dx
 5x 
30 x(log 5 x 2 ) 2 log e 6
2 2

 (log 5 x ) log e
2
5x
x
2
13. Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier
Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x
Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5
14. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier
Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka :
dy 1 du
 
dx u dx
 x3
contoh : y  ln 

 x2
( x  3)
du
5
misalkan : u 


( x  2)
dx ( x  2) 2
dy 1 du ( x  2)
5
5
 


 2
2
dx u dx ( x  3) ( x  2)
( x  x  6)
15. Diferensiasi fungsi Komposit-LogaritmikNapier-berpangkat
Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n : konstanta
Maka :
dy dy 1 du

 
dx du u dx
contoh : y  (ln 5 x 2 ) 3
du
misalkan u  5 x 
 10 x
dx
dy
6
2 2 1 
 3(ln 5 x )  2 (10 x)  (ln 5 x 2 ) 2
dx
x
 5x 
2
16. Diferensiasi fungsi eksponensial
Jika y = ax, dimana a : konstanta, maka :dy/dx = ax ln a
Contoh : y = 5x,
dy
x
x
 a ln a  5 ln 5
dx
dy
x
Dalam hal y  e , maka
 e juga,
dx
sebab ln e  1
x
17. Diferensasi fungsi komposit - eksponensial
Jika y = au dimana u = g(x), maka :
dy
du
u
 a ln a
dx
dx
Contoh : y  9
3 x2 4
du
misalkan u  3 x  4 
 6x
dx
2
dy
du
u
3 x2 4
3 x 2 4
 a ln a
9
(ln 9)(6 x)  (6 x)9
ln 9
dx
dx
dy
u
u du
Kasus Khusus : dalam hal y  e , maka
e
dx
dx
18. Diferensiasi fungsi kompleks
Jika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x)
Maka :
dy
du
dv
v 1
v
 vu 
 u  ln u 
dx
dx
dx
contoh : y  4 x , misalkan : u  4 x  du / dx  4
x3
v  x 3  dv / dx  3 x 2
dy
du
dv
v 1
v
 vu 
 u  ln u 
dx
dx
dx
 ( x )4 x
3
 16 x
 4x
x 3 1
x3  2
x 3 2
(4)  4 x ln 4 x(3 x 2 )
 12 x
x3
x3  2
ln 4 x
(4  3 ln 4 x)
19. Diferensiasi fungsi balikan
Jika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling
berbalikan (inverse functions)
Maka :
dy
1

dx dy / dx
contoh :
x  5 y  0,5 y
4
dy
dy
1
1
3
 5 2y 


3
dx
dx dy / dx (5  2 y )
20. Diferensiasi Implisit
Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak
mungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan
mendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggap
y sebagai fungsi dari x
contoh :
4 xy2  x 2  2 y  0, tentukan
dy
dy
2
8 xy  4 y  2 x  2  0
dx
dx
dy
8 xy  2  2 x  4 y 2
dx
dy 2 x  4 y 2 x  2 y 2


dx 8 xy  2
4 xy  1
dy
dx