Vektor

Vektor
Vektor Dalam Bidang (R2)
Vektor posisi: vektor yg berpangkal dari O(0,0)
a
Vektor posisi
O
Analisis vektor: suatu pasangan berurutan dari 2
bilangan riel.
Misal: (1,2), (3,-1), (0,5) (x1, y1)
•
Koordinat : A(2,3)
OA=a = (2,3)
A (2,3)
3
a
O
2
Panjang vektor
Vektor a=(x1,y1), Panjang a a
Kesamaan dua vektor
a = (x1, y1), dan b = (x2, y2)
a=b x1=x2, y1=y2
Jumlah dan selisih dua vektor:
i. a + b = (x1 +x2, y1+y2)
ii. -a = (-x1, -y1)
iii. a-b = a + (-b) = (x1 –x2, y1-y2)
x12
y12
a+b
y1+y2
y2
b
y1
-x1
a
-x2
x2
-a
-y1
y1-y2
x1-x2 x1
a-b
-b
-y2
x1+x2
Perkalian vektor dengan skalar
Vektor a=(x1,y1), c = bilangan nyata:
(i) c a = (cx1,cy1),
(ii) c a =c. a
Hukum penjumlahan dan perkalian bilangan
dengan vektor:
a, b, c : vektor-vektor di R2
P, q : bilangan-bilangan nyata
(i) : a + b = b + a
(komutatif)
(ii): a + (b+c) = (a+b)+c
(asosiatif)
(iii): a + 0 = a ( 0 = identitas penjumlahan)
(iv): a + (-a) = 0
(v): (pq)a = p(qa)
(asosiatif)
(vi) p(a + b) = (pa +pb)
(vii) (p+q)a = pa +qa
(viii) 1.a = a
(distributif)
(distributif)
(1= identitas perkalian)
Vektor satuan:
A vektor satuan IaI = 1
Vektor satuan pada arah sumbu x positif: i=(1,0)
Vektor satuan pada arah sumbu y positif: j=(0,1)
Penulisan vektor: b = (x1, y1) = (x1, 0) + (0, y1)
= x1 (1,0) + y1 (0,1)= x1i + y1j
Vektor satuan searah b : U x1 i y1 j
b
b
Perkalian titik (dot) vektor = perkalian skalar
a= (x1 ,y1)= x1i + y1j dan b= (x2 + y2)= x2i + y2j
mk. a•b = (x1i + y1j) • (x2i + y2j)
= x1.x2i.i + x1.y2i.j+ x2.y1i.j+ y1.y2j.j
Catatan: i. i = IiI.IiIcos 0 = 1.1.1=1
j.j = IjI.IjI cos 0 = 1.1.1=1
i.j = IiI.IjI cos 90o = 1.1.0=0
mk: a•b = x1.x2+ y1.y2
Hukum-hukum: (a,b,c, di R2, dan p bil.nyata)
(i) a•b= b•a,
(ii) a•(b•c)= a•b + a•c
(iii) p(a•b) = (pa)•b = a•(pb)
(iv) 0•a =0,
(v) a•a = I aI2
(vi) Jika a ≠0 mk a•a>0
jika a = 0 mk a•a=0
Sudut antara dua vektor
sudut antara a dan b
a
a Cos
a b
a b cos
b