BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Kebutuhan akan informasi yang cepat, tepat dan akurat sangatlah mutlak,
terutama dalam era globalisasi dalam skala luas maupun era otonomi daerah
dalam lingkup yang lebih sempit. Dalam era otonomi daerah sekarang ini sangat
disyaratkan bagi suatu daerah untuk mampu bersaing dengan daerah yang lain,
sehingga perlu bagi suatu daerah untuk memaksimalkan kelebihan yang
dimilikinya.
Bidang
statistika
kesehatan,
seperti
halnya
bidang-bidang
lainnya
membutuhkan tersedianya informasi yang cepat dan akurat, guna melakukan
pengambilan keputusan dalam menghadapi era globalisasi yang penuh persaingan.
Pengambilan suatu keputusan terkadang membutuhkan ketersediaan informasi
yang mendukung, yang mana informasi tersebut berasal dari data yang diperoleh
dan telah diolah. Untuk itu perlu dilakukan suatu usaha memperoleh data yang
mampu memberikan informasi yang cepat dan akurat. Dalam hal ini diperlukan
suatu penelitian, terhadap obyek yang ingin diambil informasinya, dimana
populasi mengenai informasi yang diinginkan memang terbatas dan ditentukan
batasnya (finite and delimited). Karena apabila permasalahan penggalian
informasi yang berhubungan dengan kumpulan besar unit-unit populasi yang ada,
maka suatu survei sampel dilakukan terhadap suatu populasi dengan melakukan
penarikan sampel unit-unit populasi tersebut. Hal ini dilakukan untuk memperoleh
hasil ketepatan informasi yang diinginkan dengan mengeluarkan biaya yang
relatif rendah, karena jika dibandingkan dengan melakukan suatu pencacahan
lengkap akan memerlukan biaya yang besar dan waktu yang lama. Informasi yang
diperoleh dari hasil suatu survei kadang-kadang mempunyai ketepatan yang
rendah, sehingga perlu ditentukan tingkat ketepatan yang mencukupi. Dapat
1
2
dikatakan suatu survei pada populasi tertentu dilakukan untuk memperoleh
infomasi maksimum per unit biaya.
Setelah diputuskan untuk melakukan suatu survei maka diperlukan suatu
perencanaan
survei
dengan
mempertimbangkan
hal-hal
sebagai
berikut
(Hansen,1953):
1.
Populasi hendaknya digali informasinya. Informasi yang dibutuhkan
pada survei ini berhubungan dengan pemakaian kontrasepsi dalam upaya
KB yang mana peserta dari tiap-tiap kecamatan, kelurahan/desa
merupakan unit-unit elementer dari populasi.
2.
Informasi yang dibutuhkan dari unit-unit populasi. Informasi yang
dibutuhkan berupa data yang terdiri dari angka-angka yang merupakan
nilai sesungguhnya dari populasi dan biasanya merupakan suatu
kumpulan atau rata-rata nilai dari individu-individu anggota populasi.
3.
Ketepatan hasil yang diinginkan. Perkiraan atau estimasi dari suatu
sampel umumnya akan berbeda dari nilai yang sesungguhnya (nilai dari
populasi yang diestimasi) tetapi diharapkan perbedaan yang ditimbulkan
cukup kecil sehingga tujuan yang hendak dicapai dari penelitian tersebut
terpenuhi.
Untuk itu diperlukan suatu metode penarikan sampel (Sampling Method)
yang benar-benar sesuai, yang dengan sampel relatif kecil mampu memberikan
hasil yang mendekati karakteristik dari suatu populasi yang besar. Yang artinya
mampu memberikan ketepatan (precision) yang tinggi terhadap karakteristik suatu
populasi, akan tetapi ketepatan hasil yang diperoleh dari suatu survei sampel tidak
hanya tergantung pada ukuran dari sampel tetapi juga pada hal-hal lain yang
terkait pada rancangan sampel, seperti bagaimana sampel dipilih dan cara
bagaimana hasil survei sampel diestimasi. Rancangan sampel yang efisien dalam
hal ini adalah yang mampu memanfaatkan sumber-sumber informasi statistik dan
pengetahuan lain yang berkenaan dengan populasi secara efektif bersama dengan
teori dan metode sampling.
3
Pada umumya ada banyak alternatif pilihan rancangan sampel serta teknik
penarikan sampel yang dapat diterapkan pada suatu permasalahn survei tertentu.
Dengan memahami serta membandingkan efisiensi dari masing-masing alternatif
rancangan sampel yang akan didapat pilihan rancangan sampel yang tepat. Dalam
memahami dan membandingkan alternatif rancangan yang ada diperlukan kriteria
pemilihan sampel yang sesuai dengan permasalahan yang dihadapi. Kriteria yang
digunakan adalah untuk merancang sampel sehingga akan memberikan hasil
dengan ketepatan yang diperlukan pada biaya yang minimal atau sebaliknya
dengan biaya terbatas diperoleh hasil yang mampu mengestimasi karakteristik
populasi yang diinginkan dengan ketepatan maksimal.
Oleh karena itu dipilih sebuah metode penarikan sampel yang sesuai dengan
kriteria pemilihan rancangan sampel yang tepat, seperti telah disebutkan diatas
bahwa perbedaan rancangan sampel beserta metode estimasinya tanpa ada
perubahan ukuran sampel dapat memberikan hasil dengan ketepatan yang
berbeda. Rancangan atau teknik ini dipilih karena berdasarkan teori memiliki
keunggulan dalam meminimumkan biaya, sebab biaya perunit sampel yang
dikeluarkan akan berkurang dengan dilakukannya penggelompokkan unit-unit
sampel.
Akan tetapi penerapan suatu metode sampling tertentu tidak sepenuhnya
dapat dilakukan sama persis dengan teori yang ada. Keadaan obyek penelitian
akan sangat menentukan pelaksanaan penelitian dilapangan. Metode sampling
yang digunakan dapat berubah untuk menyesuaikan keadaan obyek penelitian.
Penggunaan teknik klaster dua tahap di DIY ini juga dilakukan penyesuaian
dengan keadaan dilapangan, antara lain sub penarikan sampel dimana unit-unitnya
bervariansi dalam ukuran.
Pengelompokan data populasi ini juga masih dirasa akan sangat menyulitkan
dalam pengambilan sampel, sehingga dikembangkan pengambilan sampel kluster
hingga dua tahap. Dengan pengambilan sampel klaster dua tahap ini, maka bias
yang ada tidak terlalu besar dan sampel yang harus diambil juga tidak besar.
4
Dalam hal ini, akan dipaparkan mengenai teknik pengambilan sampel klaster dua
tahap dengan pendekatan estimator HH dan HT . Estimator HH dan HT ini bisa
digunakan untuk berbagai jumlah tahapan dalam pengambilan sampel klaster.
1.2 Perumusan Batasan Masalah
Berdasarkan uraian diatas, kita mengenal berbagai macam metode
pengambilan sampel untuk memperoleh data dan informasi yang akuntable.
Semua metode yang kita kenal memiliki kelebihan dan kekurangan masingmasing. Dalam skripsi ini, pembahasan akan dibatasi pada Perbandingan antara
Estimator Hansen-Hurwitz dan Horvitz-Thompson pada klaster dua tahap pps
dengan pengembalian sampling untuk mengestimasi total dan rata-rata populasi
dari pengambilan sampling
1.3 Tujuan Penelitian
Skripsi ini di susun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana
sains di Program Studi Statistika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Gadjah Mada. Tujuan yang ingin dicapai dari penulisan skripsi
ini adalah :
1.
Mempelajari konsep metode pengambilan sampel klaster dua tahap
sebagai metode survei yang efektif dan efisien untuk karakteristik
populasi yang heterogen.
2.
Menentukan estimator populasi dalam pengambilan sampel klaster dua
tahap menggunakan pendekatan estimator Hurvitz-Thompson dan
Hansen-Hurwitz.
3.
Mengaplikasikan metode pengambilan sampel klaster dua tahap untuk
mengestimasi rata-rata dan jumlah data.
4.
Mengaplikasikan metode sampling pada data real.
5
1.4 Manfaat Penulisan
1.
Menambah keilmuan statistika terutama pada bidang survei sampel.
2.
Mempopulerkan salah satu metode survei sampel dalam statistika untuk
mengefisienkan proses survei.
1.5 Tinjauan Pustaka
Penulisan skripsi ini berangkat dari banyak penulisan skripsi dengan
tema pengambilan sampel klaster yang telah dilakukan. Karya tulis tersebut
adalah sebagi berikut :
1.
Nurvianto (2005) dengan judul “Penarikan Sampel Berkelompok Satu
Tahap dengan kelompok Berukuran Tidak Sama”
2.
Adi (2005) dengan judul “Penarikan Sampel Klaster Tiga tahap dalam
Survei Produktivitas Padi di Kabupaten Bantul”
Karya tulis ini lebih membahas mengenai metode pengambilan sampel
dalam dunia pertanian. Metode tiga tahap yang digunakan pun menggunakan
estimator pengambilan sampel sederhana.
Perbedaan skripsi ini dengan karya tulis lainnya yang ditemui pada
tema pengambilan sampel klaster sebelumnya adalah karya tulis ini
membahas pengambilan sampel klaster dua tahap dengan pendekatan
Estimator Hansen-Hurwitz dan Hurwitz-Thompson dengan pps sampling
pengembalian.
Literatur yang digunakan dalam skripsi ini adalah tulisan Mohammad
Salehi M (2002) dengan judul “Comparison beetween Hansen-Hurwitz and
Horvitz-Thompson Estimator for Adaptive Cluster Sampling” dan tulisan
George A.F.Seber (1997) dengan judul “Two Stage Adaptive Cluster
Sampling” sebagai tinjauan pustaka dalam teknik pengambilan sampel klaster
dua tahap.
6
1.6 Metode Penulisan
Metode Penulisan dalam skripsi ini adalah berdasarkan studi literatur yang
didapat dari perpustakaan serta jurnal-jurnal dan buku-buku yang berhubungan
dengan tema skripsi ini. Sumber lainnya juga diperoleh melalui situs-situs
pendukung yang tersedia di internet. Pengerjaan skripsi ini juga ditunjang dengan
beberapa perangkat lunak diantaranya R versi 3.2.2 dan Microsoft Office Excel.
1.7 Sistematika Penulisan
Agar penulisan skripsi ini terarah dan sistematis, maka secara garis besar
skripsi ini disusun dengan sistematika sebagai berikut :
BAB I
PENDAHULUAN
Bab ini membahas Latar Belakang Masalah, Perumusan dan
Batasan Masalah, Tujuan Penulisan, Manfaat Penelitian, Tinjauan
Pustaka, Metode Penulisan dan Sistematika Penulisan.
BAB II
LANDASAN TEORI
Bab ini membahas mengenai konsep-konsep dasar yang berkaitan
dengan skripsi. Diantaranya adalah konsep dasar tentang metode
survei sampel yang berkaitan dengan pembahasan pokok
permasalahan.
BAB III
PEMBAHASAN
Bagian ini menguraikan tentang konsep pengambilan sampel
klaster dua tahap dalam meningkatkan efektifitas dan efisiensi
survei. Di sini juga akan dibahas bagaimana membentuk klaster
data populasi sehingga diperoleh klaster yang homogen. Lebih
jauh akan dibahas mengenai kelebihan estimator Hansen Hurwitz
dan Horvitz-Thompson dengan pps pengembalian.
7
BAB IV
STUDI KASUS
Bab ini menguraikan tentang penerapan metode pengambilan
sampel klaster dua tahap pada data
BAB V
PENUTUP
Bab ini berisi beberapa kesimpulan yang diperoleh dari hasil
pembahasan pada bab-bab sebelumnya dan juga saran-saran atas
permasalahan yang dihadapi.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Populasi dan Sampel
Gambar 2.1 Populasi dan Sampel
2.1.1 Populasi
Definisi 2.1.1 (Walpole, 1995)
Populasi adalah keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita.
Di waktu lampau, istilah “populasi” mengandung pengamatan yang
diperoleh dari penelitian statistik yang berhubungan dengan orang banyak. Di
masa kini, statistikawan menggunakan istilah itu bagi sembarang pengamatan
yang menarik perhatian kita, misalnya sekelompok orang, binatang atau
benda apa saja dimana sifat-sifat yang ada padanya dapat diukur atau diamati.
Banyaknya pengamatan atau anggota suatu populasi disebut ukuran populasi.
Populasi yang tidak pernah diketahui dengan pasti jumlahnya disebut
populasi tak hingga, sedangkan populasi yang jumlahnya diketahui dengan
pasti disebut populasi terhingga.
8
9
Dalam inferensi statistika, kita ingin memperoleh kesimpulan mengenai
populasi, meskipun kita mungkin atau tidak praktis untuk mengamati
keseluruhan individu yang menyusun populasi. Misalnya saja dalam usaha
menentukan umur rata-rata suatu mesin jenis tertentu, adalah tidak mungkin
untuk menguji semua mesin yang ada kalau kita masih ingin menjualnya.
Biaya yang besar lebih sering menjadi faktor penghalang untuk mengamati
semua anggota populasi. Oleh karena itu, kita terpaksa menggantungkan pada
sebagian anggota populasi untu membantu kita menarik kesimpulan
mengenai populasi tersebut.
2.1.2 Sampel
Definisi 2.1.2 (Walpole,1995)
Sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi.
Jika kita menginginkan kesimpulan dari sampel terhadap populasi,
maka kita harus mempunyai sampel yang dapat mewakili populasi. Seringkali
kita tergoda untuk mengambil anggota populasi yang memudahkan kita. Cara
demikian ini dapat membawa pada kesimpulan yang salah mengenai
populasi. Prosedur pengambilan sampel yang menghasilkan kesimpulan yang
konsisten terlalu tinggi atau terlalu rendah mengenai suatu ciri populasi
dikatakan berbias. Untuk menghilangkan bias ini, muncullah berbagai jenis
metode pengambilan sampel dari populasi.
2.2 Variabel Random
Istilah percobaan statistika telah digunakan untuk menjelaskan sembarang
proses/aktivitas yang menghasilkan data/hasil yang dikumpulkan dalam ruang
sampel. Seringkali, kita tidak tertarik pada keterangan rinci tentang titik sampel,
tetapi hanya pada suati keterangan numerik hasi percobaan, sehingga kita
membutuhkan variabel random.
10
2.2.1 Variabel Random
Definisi 2.2.1 (Bain dan Engelhardt,1992)
“Variabel Random X adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang
sampel yang dipetakan ke bilangan riil; ( )
, untuk setiap hasil
yang
mungkin pada S”.
Huruf kapital X, Y, Z digunakan untuk menotasikan suatu variabel
random dan huruf kecilnya x,y,z untuk menyatakan nilai yang mungkin dari
setiap hasil observasi pada ruang sampel.
2.2.2 Variabel Random Diskrit
Definisi 2.2.2 (Bain dan Engelhardt,1992)
Variabel random X disebut variabel random diskrit jika himpunan
semua nilai yang mungkin muncul dari X merupakan himpunan terhitung
(countable)
Fungsi :
(2.1)
( )
dimana
Disebut fungsi kepadatan probabilitas diskrit (discrete pdf)
Fungsi distribusi kumulatif dan variabel random X didefinisikan sebagai :
( )
(2.2)
2.2.3 Variabel Random Kontinu
Definisi 2.2.3 (Bain dan Engelhardt,1992)
Variabel random X disebut variabel random kontinu jika terdapat
fungsi ( ) yang merupakan fungsi kepadatan probabilitas dari X, dimana
fungsi distribusi kumulatifnya dapat ditunjukkan sebagai :
( )
∫
( )
(2.3)
11
2.3 Ekspektasi dan Variansi
2.3.1 Ekspektasi
Definisi 2.3.1 Ekspektasi
Jika X adalah variabel random dengan fungsi kepadatan probabilitas
( ) maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai :
( )
∑
( )
∫
( )
(2.4)
( )
(2.5)
( ) seringkali ditulis dengan notasi
dan ̅ .
2.3.2 Variansi
Definisi 2.3.2 Variansi
Variansi dari variabel random X ditunjukkan oleh :
( )
̅)
(
(
Notasi untuk variansi adalah
(
)
̅
(2.6)
, sehingga didapatkan:
̅
)
(2.7)
2.4 Distribusi Normal
Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre pada
tahun 1733 sebagai pendekatan untuk distribusi dari jumlahan variabel random
binomial. Distribusi normal merupakan distribusi terpenting dalam probabilitas
dan statistika
Definisi 2.9 (Bain dan Engelhardt,1992:118).
Suatu variabel random X mengikuti distribusi normal dengan mean
variansi
(
, dinotasikan
(
dan
), dengan pdf
)
√
(
(
)
)
(2.8)
12
2.5 Teori Dasar Pengambilan Sampel
2.5.1 Kegunaan metode pengambilan sampel
Berikut adalah keuntungan dari pengambilan sampel sebagai
perbandingan dalam pencacahan lengkap.
a. Mengurangi Biaya
Jika data yang telah diperoleh berasal dari sebagian kecil populasi,
maka pengeluaran atau biaya akan lebih murah daripada melakukan
sensus lengkap. Dengan populasi besar, hasil yang cukup akurat
dapat diperoleh dari sampel yang didapatkan dengan fraksi yang
kecil dari populasi.
b. Kecepatan Lebih Besar
Data dapat dikumpulkan dan diringkas lebih cepat dengan sebuah
sampel daripada dengan perhitungan lengkap. Hal ini merupakan
sebuah pertimbangan yang penting bila membutuhkan informasi
yang lebih cepat.
c. Cakupan Lebih Besar
Survei-survei yang bertumpu pada pengembalian sampel haruslah
lebih besar cakupannya dan fleksibel mengenai jenis informasi yang
dapat diperoleh.
d. Tingat Ketelitian Lebih Besar
Sebuah sampel mungkin memberikan hasil yang lebih teliti daripada
pencacahan lengkap, jika dipakai tenaga-tenaga yang berkualitas
baik dan diberi latihan yang intensif, serta pengawasan terhadap
pekerjaan lapangan diperketat.
2.5.2 Tahap-tahap dalam survei sampel
Tahap dalam pengambilan sampel merupakan metode dalam memilih
sampel dari populasi yang digunakan untuk suatu penelitian atau studi kasus
tertentu. Berikut adalah tahap-tahap dalam sebuah survei
13
a. Memilih populasi
Proses awal adalah menentukan populasi yang menarik untuk dipelajari.
Suatu populasi yang baik adalah yang mencakup rancangan eksplisit
semua elemen yang terlibat, biasanya meliputi beberapa komponen
diantaranya yaitu, elemen, unit sampling, keluasan skop dan waktu.
b. Memilih unit-unit sampling
Unit-unit sampling adalah unit analisa dari sampel yang diambil atau
berasal, karena kompleksitas penelitian dan banyaknya desain sampel,
maka pemilihan unit-unit sampling harus dilakukan dengan seksama.
c. Memilih Kerangka Sampling
Pemilihan kerangka sampling merupakan tahap yang penting karena jika
kerangka sampling dipilih secara memadai tidak mewakili populasi,
maka generalisasi hasil penelitian meragukan. Kerangka sampling dapat
berupa daftar nama populasi seperti buku telepon atau database nama
lainnya.
d. Memilih Desain Sampel
Desain sampel merupakan tipe metode atau pendekatan yang digunakan
untuk memilih unit-unit analisa studi. Desain sampel sebaiknya dipilih
sesuai dengan tujuan penelitian.
e. Memilih Ukuran Sampel
Ukuran sampel tergantung beberapa faktor yang mempengaruhi
diantaranya adalah :
- Homogenitas unit-unit sampel
Secara umum semakin mirip unit-unit sampel. Dalam suatu populasi
semakin kecil sampel yang dibutuhkan untuk memperkirakan
parameter-parameter populasi.
- Kepercayaan
Kepercayaan mengacu pada suatu tingkat dimana peneliti merasa
yakin bahwa yang bersangkutan memperkirakan secara nyata
parameter populasi yang benar. Semakin tinggi tingkat kepercayaan
yang diinginkan, maka semakin besar ukuran sampel yang diperlukan.
14
- Presisi
Presisi mengacu pada ukuran kesalahan standar estimasi. Untuk
mendapatkan presisi yang besar dibutuhkan ukuran sampel yang besar
pula.
- Kekuatan Statistik
Istilah ini mengacu pada adanya kemampuan mendeteksi perbedaan
dalam istilah pengujian hipotesis. Untuk mendapatkan kekuatan yang
tinggi, peneliti memerlukan sampel yang besar
- Prosedur Analisa
Tipe prosedur analisa yang dipilih untuk menganalisa data dapat juga
mempengaruhi seleksi ukuran sampel.
- Biaya, waktu dan Personil
Pemilihan ukuran sampel juga harus mempertimbangkan biaya, waktu
dan personil. Sampel besar akan menuntut biaya besar, waktu banyak
dan personil besar juga.
f. Memilih Rancangan Sampling
Rancangan sampling menentukan prosedur operasional dan metode untuk
mendapatkan sampel yang diinginkan. Jika dirancang dengan baik,
rancangan sampling akan menuntun peneliti dalam memilih sampel yang
digunakan dalam studi, sehingga kesalahan yang akan muncul dapat
ditekan sekecil mungkin
g. Memilih Sampel
Tahap akhir dalam proses ini adalah penentuan sampel untuk digunakan
pada proses penelitian berikutnya, yaitu koleksi data
2.5.3 Bias dan pengaruhnya
Dalam teori survei sampel, estimator bias perlu dipertimbangkan untuk
dua alasan yaitu :
a. Pada beberapa masalah yang sangat umum, khususnya dalam estimasi
rasio, estimator yang disenangi dan cocok didapat ternyata menjadi bias.
15
b. Dalam estimator yang tak bias dalam pengambilan sampel berpeluang,
kesalahan pengukuran dan kesalahan non respons menghasilkan bias
yang jumlahnya dapat dihitung dari data.
Syarat-syarat estimator yang sebaik-baiknya adalah :
1. Estimator Tak Bias
Suatu estimator ( ̂ ) dikatakan tidak bias bagi parameternya ( ) apabila
nilai
estimator
tersebut
sama
dengan
nilai
yang
diduganya
(parameternya). Jadi, penduga tersebut secara tepat dapat mengestimasi
nilai dari parameternya.
2. Estimator Efisien
Suatu estimator dikatakan efisien bagi parameternya
( )
apabila
estimator tersebut memiliki variansi yang kecil. Apabila terdapat lebih
dari satu estimator, estimator yang efisien adalah estimator yang
memiliki variansi terkecil. Dua buah estimator dapat dibandingkan
efisiensinya dengan menggunakan efisiensi relatif (relative efficiency)
3. Estimator Konsisten
Suatu estimator dikatakan konsisten apabila memenuhi syarat berikut :
a. Jika ukuran sampel semakin bertambah maka estimator akan
mendekati parameternya. Jika besarnya sampel menjadi tak
terhingga maka estimatornya konsisten harus dapat memberi suatu
estimator titik yang sempurna terhadap parameternya.
b. Jika ukuran sampel bertambah tak terhingga maka distribusi
sampling estimator akan mengecil menjadi suatu garis tegak lurus
diatas parameter yang sebenarnya dengan probabilitas sama dengan
satu.
Estimator ( ̂ ) adalah suatu estimasi untuk suatu nilai populasi ( ) .
Misalkan nilai ekspektasi dari ̂ adalah
sebagai
, maka bias didefinisikan
. Pengaruh bias terhadap ketelitian suatu estimasi
diabaikan jika biasnya kurang dari sepersepuluh simpangan baku
16
estimasinya. Jika kita mempunyai metode bias dimana
dan B
merupakan nilai absolut dari biasnya, ini dapat dinyatakan bahwa bias
tidak merugikan metode tersebut.
Karena kesulitan dalam menjamin bahwa bias masuk dalam estimasi
tanpa diduga, biasanya lebih menyatakan ketepatan (precision) suatu
estimasi daripada ketelitiannya (accuracy). Ketelitian menunjukkan besar
simpangan dibanding dengan parameter sebenarnya ( ) , sedangkan
ketepatan menunjukkan besar simpangan dari ekspektasi atau nilai angka
harapan yang diperoleh dengan melakukan pengulangan dari prosedur
pengambilan sampel.
2.5.4 Rata-rata kesalahan kuadrat
Untuk membandingkan sebuah estimator bias dengan estimator tak
bias, atau dua estimator dengan jumlah bias yang berbeda, maka suatu kriteria
yang berguna adalah dengan menghitung rata-rata kesalahan kuadrat (Mean
Square Error) pada estimator yang diukur dari nilai populasi yang
diperkirakan. Secara umum,
( )
(̂
)
[( ̂
(̂
)
)
( ̂)
(
)]
(
) (̂
( ̂)
)
(
)
(2.9)
2.6 Pengambilan Sampel Acak Sederhana
Pengambilan sampel acak sederhana (simple random sampling) adalah
sebuah metode untuk memilih n unit dari N sehingga setiap elemen dari NCn
sampel yang berbeda mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih.
17
Pada sampel acak sederhana (simple random sampling) N menyatakan ukuran unit
populasi dan n menyatakan ukuran unit sampel. Dalam praktek, pengambilan
sampel yang berbeda mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih. Dalam
praktek, pengambilan sampel acak sederhana dipilih unit per unit. Unit-unit dalam
populasi diberi nomor dari 1 sampai N. Serangkaian bilangan acak antara 1
sampai N kemudian dipilih, dengan cara menggunakan sebuah tabel bilangan acak
atau dengan cara menggunakan sebuah program komputer yang menghasilkan
tabel bilangan acak. Pada setiap pengambilan proses, proses yang digunakan harus
memberikan kesempatan dipilih yang sama untuk setiap bilangan dalam populasi.
Unit-unit yang terpilih ini sebanyak n yang merupakan sampel.
Untuk membuktikan bahwa seluruh NCn sampel yang berbeda mempunyai
kesempatan yang sama untuk terpilih dengan metode berikut. Dengan
memperhatikan sampel yang berbeda, yaitu himpunanan
unit-unit tertentu.
Pada pengambilan pertama, probabilitas bahwa satu dari n unit-unit tertentu akan
terpilih adalah . Pada pengambilan kedua, probabilitas bahwa satu dari (
unit-unit sisanya yang akan terpilih adalah (
) (
)
), dan seterusnya.
Sehingga probabilitas seluruh n unit-unit tertentu yang terpilih dalam n
pengambilan adalah :
(
(
) (
) (
)
)
(
(
)
)
(2.10)
Karena untuk bilangan yang telah diambil / dipindahkan dari populasinya
untuk seluruh pengambilan berikutnya, metode ini disebut metode pengambilan
sampel acak tanpa pengembalian (without replacement). Pengambilan sampel
acak dengan pengembalian (with replacement) secara keseluruhan dapat
dilakukan pada setiap pengambilan, seluruh anggota
dari populasi memberikan
kesempatan yang sama untuk dipilih, tanpa melihat sudah berapa kali unit-unit
telah dipilih.
18
2.6.1 Penarikan Sampel Acak dengan Pengembalian
Pendekatan yang sama diterapkan bila penarikan sampel dengan
pengembalian. Dalam kejadian ini, unit ke-i dapat muncul 0,1,2,3,...,
dalam sampel. Misalkan
kali
merupakan jumlah unit ke-i muncul dalam
sampel. Maka,
̅
∑
(2.11)
Karena probabilitas bahwa unit ke-i terambil adalah
, variansi
berdistribusi binomial dengan jumlah sukses dari n percobaan dengan
. Karenanya
( )
( )
Secara bersamaan, variansi
( )(
)
(2.12)
mengikuti distribusi multinomial. Untuk ini,
(
)
(2.13)
Dengan menggunakana (2.11),(2.12) dan (2.13), untuk penarikan sampel
dengan pengembalian, kita peroleh,
( ̅)
[∑
(
(
∑
]
̂)
∑(
Akibatnya,
)
(2.14)
( ̅) dalam penarikan sampel tanpa pengembalian adalah
) (
) kali nilainya dalam penarikan sampel dengan
pengembalian. Jika bukan ̅ tetapi rata-rata ̅
dari unit-unit yang
berbeda dalam sampel yang digunakan sebagai perkiraan, dan
seandainya penarikan sampelnya dengan pengembalian, Murthy (1967)
menunjukkan bahwa suku yang penting dalam rata-rata varians dari ̅
adalah (
)
.
19
2.6.2 Sifat-sifat Perkiraan/Estimasi
Ketelitian setiap estimasi yang dibuat berdasarkan sebuah sampel
tergantung pada metode estimasinya yang dihitung dari data sampel dan
rencana pengambilan sampelnya. Sebuah metode estimasi dikatakan tidak
bias (unbiased) jika nilai rata-rata estimasinya yang diambil dari seluruh
sampel yang mungkin berukuran
sama dengan nilai populasi sebenarnya.
Bila metode tersebut menjadi tidak bias tanpa adanya syarat tertentu, hasil ini
harus berlaku untuk setiap nilai populasi terbatas
dan untuk setiap n.
Untuk mengetahui apakah ̅ tidak bias dalam pengambilan sampel acak
sederhana, maka kita menghitung nilai ̅ untuk NCn sampel dan menetukan
rata-ratanya.
Teorema 2.1
Rata rata ̅ adalah estimasi yang tidak bias dari ̅ . Dibuktikan menurut
definisi :
( ̅)
∑ ̅ ( ̅)
∑
̅
∑
(
)
[
(
(
(
̅
]
)
)(
(2.15)
(
)
(
)
)
)
20
Dimana jumlahnya ada sebanyak
NCn
sampel. Untuk menghitung
jumlah ini, kita menentukan berapa banyak nilai-nilai yang muncul dari
sampel
. Karena ada (
) unit sampel lainnya yang tersedia untuk sisa
sampel, dan di sisi lain ada (
yang berisi
) untuk mengisi sampel, jumlah sampel
adalah:
(
N-1Cn-1
(
)
)(
(2.16)
)
Sehingga
(
)
∑(
)
(
) (
)
(
)
(2.17)
Dari persamaan (2.15) memberikan hasil
(
( ̅)
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
)
(2.18)
̅
Kesimpulan yang didapat ̅
̅ adalah estimasi yang tidak bias
dari jumlah populasi Y. Pembuktian dari teorema 2.1 dapat juga diperoleh
sebagai berikut. Karena setiap unit muncul dalam jumlah sampel yang
sama, maka
(
) merupakan perkalian dari (
Pengalinya adalah
, karena ruas kiri mempunyai
)
(2.19)
suku dan ruas
kanan mempunyai N suku.
2.6.3 Variansi Perkiraan/Estimasi
Variansi
dalam sebuah populasi terbatas biasanya ditetapkan sebagai
∑
(
̅)
(2.20)
21
Dengan adanya sedikit perubahan pada notasi yang memakai teori
pengambilan sampel dengan maksud menganalisis variansi, pembagian N
diganti menjadi (
) jika didapatkan variansi tidak diketahui dari suatu
populasi. Dan diperoleh
∑
̅)
(
(2.21)
Keuntungan yang diperoleh adalah hasilnya di dapat dari bentuk yang
lebih sederhana. Sekarang dengan memperhatikan variansi ̅, yang dimaksud
̅ ) yang diperoleh untuk seluruh NCn sampel.
adalah ( ̅
Teorema 2.2
Variansi dari ̅ dari sampel acak sederhana adalah
( ̅)
Di mana
(
̅)
(̅
)
(
)
(2.22)
adalah fraksi pengambilan sampel.
Bukti :
(̅
̅)
̅)
(
̅)
(
(
̅)
(2.23)
Dengan alasan yang sama digunakan dalam (2.19), maka
̅)
(
(
̅)
(
̅ )(
(
̅)
̅)
(
̅)
(
(2.24)
Dan juga bahwa
(
(
(
̅ )(
) (
[
)
̅)
̅ )(
̅)
̅ )(
(
̅)
̅ )(
(
̅)
̅ )(
̅)
]
(2.25)
Pada (2.25) jumlahnya terdiri dari seluruh pasangan unit-unit dalam
sampel dan populasi. Penjumlahan dari kiri terdiri atas (
dikanan terdiri atas
(
)
suku.
)
suku, dan
22
Kemudian dengan mengkuadratkan (2.23) dan rata-ratakan seluruh
sampel acak sederhana. Dengan menggunakan rumus (2.24) serta (2.25) maka
diperoleh
̅)
(̅
̅)
{(
(
̅)
(
)
̅ )(
(
[
̅)
̅ )(
(
̅)
]}
(2.26)
Kuadrat selengkapnya atas perkalian silangnya, maka didapatkan
(̅
̅)
̅)
) (
{(
̅)
(
̅)
(
(2.27)
̅) }
(
Suku kedua dalam tanda kurung akan hilang dikarenakan jumlah dari
dengan
( ̅)
̅ . Setelah dibagi
(̅
sama
menjadi
̅)
(
)
̅)
∑( ̅
(2.28)
Kesimpulan 1. Kesalahan baku (standard error) ̅ adalah
̅
Kesimpulan Variansi ̂
√
√
√
(2.29)
√
̅ merupakan estimasi jumlah populasi
dengan
variansi adalah
( )
(̂
)
(
)
(2.30)
23
Kesimpulan 3. Kesalahan baku (standard error) dari ̂ adalah
̂
√
√
√
(2.31)
√
2.6.4 Koreksi Populasi terbatas
Untuk sebuah sampel yang berukuran n yang diambil secara acak dari
populasi tidak terbatas, kita mengetahui bahwa variansi dari rata-ratanya
adalah
. Hasil ini akan berubah jika populasi terbatas dengan
menambahkan faktor (
)
√(
) . Faktor (
)
untuk variansi dari
untuk kesalahan baku disebut koreksi populasi terbatas (kpt).
Untuk estimasi variansi proporsi kpt-nya adalah (
) (
).
Teorema 2.3
Jika
adalah sebuah pasangan yang bervariansi ditetapkan pada
unit dalam populasi dan ̅ ̅ adalah rata-rata dari sampel acak sederhana
berukuran n, maka kovariansinya
̅ )( ̅
(̅
̅)
̅ )(
∑(
̅)
(2.32)
Teorema ini dikurangkan ke teorema 2.2 untuk variansinya
adalah ̅
. Rata-rata populasi dari
̅)
(̅
∑
(
̅
̅ dan teorema 2.2 memberikan
̅)
(2.33)
yaitu
(̅
̅)
( ̅
̅)
∑ (̅
̅)
( ̅
̅)
(2.34)
Suku-suku yang dikuadratkan dan disederhanakan pada kedua ruas.
dengan teorema 2.2
(̅
̅)
∑( ̅
̅)
(2.35)
24
Dengan sebuah hubungan yang sama untuk ( ̅
̅ ) . Karenanya dua
suku saling menghilangkan pada ruas kiri dan kanan dari (2.34). Hasil
persamaan (2.32) mengikuti dari hasil sukunya.
2.6.5 Perkiraan/Estimasi Kesalahan Baku dari Sampel
Rumus kesalahan baku dari estimasi rata-rata populasi dan jumlah
populasi dipergunakan untuk tujuan :
a.
Membandingkan ketelitian yang diperoleh dari pengembalian sampel
acak sederhana dengan metode pengambilan sampel lainnya.
b.
Untuk memperkirakan ukuran sampel yang dibutuhkan dalam suatu
survei yang telah direncanakan, dan
c.
Untuk memperkirakan ketelitian sebenarnya yang didapat dalam suatu
survei yang dilaksanakan.
Rumus-rumusnya mencakup
variansi populasi. Dalam praktek hal ini
tidak dapat diketahui, tetapi dapat diperkirakan dari data sampel. Hasil yang
relevan dapat dinyatakan sebagai teorema berikut.
Teorema 2.4
Untuk sebuah sampel acak sederhana
∑
(
̅)
(2.36)
adalah sebuah estimasi yang tak bias dari
∑
(
̅)
(2.37)
Dibuktikan :
∑
(
̅)
adalah sebuah estimasi yang tak bias dari
∑
(
̅)
25
[∑( ̅
∑(
̅)
[∑(
̅)
̅) ]
∑( ̅
̅) ]
(̅
(
( )
̅)
(̅
̅)
)
(
)
(
)
(
)
dapat dituliskan
∑(
̅)
[∑(
̅)
̅)
(̅
(̅
(2.38)
̅) ]
Sekarang merata-ratakan seluruh sampel acak sederhana berukuran n.
Dengan menggunakan alasan yang sama dalam teorema 2.2
̅) ]
[∑( ̅
Dengan definisi
(̅
∑( ̅
̅)
(
. Selanjutnya, dengan teorema 2.2,
̅)
, maka
)
(2.39)
26
( )
(
(
)
)
(
)
(2.40)
Kesimpulan estimasi yang tidak bias dari variansi ̅ dan ̂
( ̅)
̅
( ̂)
̂
(
(
)
̅ adalah
(2.41)
)
(
)
(2.41)
Untuk kesalahan bakunya diperoleh
̅
√
√
,
(2.42)
dan
̂
√
√
(2.43)
2.6.6 Perkiraan/Estimasi Ukuran Sampel
Keputusan dalam menentukan besarnya jumlah sampel sangat penting
dalam perencanaan sampel survei. Jika sampel yang diambil terlalu besar,
maka merupakan pemborosan sumber-sumber dan jika yang diambil terlalu
kecil akan mengurangi manfaat hasilnya.
Ukuran sampel n dalam sampel random sederhana dapat ditentukan
kaitannya dengan batas-batas kesalahan dalam estimasi. Menentukan
besarnya ukuran sampel juga dipertimbangkan besarnya tingkat ketelitian
yang diinginkan peneliti. Dalam meperkirakan total populasi atau rata-rata,
27
biasanya inigin mengontrol kesalahan relatif r dengan tingkat konfidensi
(
) Dengan acak sederhana didapatkan rata-rata ̅, akan mendapatkan
(|
̅
̅
̅
|
(| ̅
)
̅
̅
̅|
̅)
(2.44)
√
√
Penyelesaian untuk n memberikan
( ̅)
[
(2.45)
( ̅) ]
Perlu diperhatikan bahwa karakteristik populasi tempat n tergantung
adalah koefisien variansi
̅ . Sebagai pendekatan pertama diambil
(
Jika
̅
(2.46)
)
cukup besar maka rumus untuk n seperti
(2.47)
2.7 Sampling Klaster
Sampling
klaster
adalah
pengambilan
sampel
dari
populasi
yang
dikelompokkan menjadi sub-sub populasi secara bergerombol (klaster), dari sub
populasi selanjutnya dirinci lagi menjadi sub-populasi yang lebih kecil. Anggota
dari sub populasi terakhir dipilih secara acak sebagai sampel penelitian.
28
Dalam pembentukan klaster seperti ini, maka keadaan didalam klaster relatif
heterogen dan antar klaster relatif homogen. Oleh karena itu, dalam pembentukan
klaster didasarkan pada area atau daerah administratif. Tujuan penggunaan
sampling klaster adalah untuk mengurangi biaya dengan meningkatkan efisensi
penarikan sampel. Selain itu sampling klaster memiliki beberapa keuntungan
diantaranya adalah paling murah biayanya dibandingkan dengan metode lainnya
serta kerangka sampel yang hanya diperlukan untuk klaster-klaster yang dipilih,
bukan untuk semua populasi. Suatu klaster dikatakan baik jika mempunyai
heterogenitas yang tinggi antar anggota dalam satu klaster (within cluster) dan
juga homogenitas yang tinggi antara klaster yang satu dengan klaster yang lainnya
(between cluster).
Sebelum melakukan studi lebih lanjut ada baiknya memperhatikan segi
asumsi yang harus dipenuhi dalam analisis klaster ini yaitu
1.
Data yang representatif, sampel yang diambil benar-benar mewakili populasi
yang ada.
2.
Multikolinearitas, yaitu kemungkinan adanya korelasi antar objek, sebaiknya
tidak ada. Tapi jika ada, besarnya multikolinearitas tersebut tidaklah tinggi.
Proses sampling klaster :
a.
Membuat klaster. Proses ini adalah proses pengelompokkan data yaitu
populasi keseluruhan dibagi ke dalam beberapa kelompok atau klaster
berdasarkan area atau daerah administratif.
b.
Setelah klaster terbentuk maka selanjutnya melakukan interpretasi
terhadap klaster yang telah terbentuk, yang pada intinya adalah memberi
nama spesifik untuk menggambarkan isi klaster.
c.
Melakukan validasi dan profiling klaster. Klaster yang terbentuk
kemudian diuji apakah valid atau tidak, kemudian dilakukan proses
profiling untuk menjelaskan karakteristik tiap klaster berdasarkan profil
tertentu.
BAB III
ESTIMASI KLASTER DUA TAHAP DENGAN ESTIMATOR
HANSEN-HURWITZ DAN HORVITZ-THOMPSON:
PPS SAMPLING DENGAN PENGEMBALIAN
3.1 Deskripsi Pengambilan Sampel Klaster Dua Tahap
Pada penarikan acak sederhana hanya didasarkan pada nomor unit dalam
populasi. Penarikan acak ini menjadi kurang baik jika unit dalam populasi
ukurannya bervariansi. Oleh karena itu digunakan variansi pendukung (auxiliary
variable) sebagai pertimbangan di dalam penarikan sampel agar diperoleh
estimator yang lebih efisien. Variabel pendukung yang digunakan sebagai dasar
penarikan sampel adalah variabel yang memiliki korelasi yang erat dengan
variabel yang diteliti. Variabel pendukung yang dipertimbangkan sebagai dasar
penarikan sampel selanjutnya disebut ukuran(size). Prosedur penarikan sampel
dimana peluang terpilihnya suatu unit sampel sebanding dengan ukuran disebut
sebagai sampling berpeluang sebanding dengan ukuran atau sampling with
probability proportional to size (pps).
Pengambilan sampel klaster adalah pengambilan sampel random sederhana
dimana setiap pengambilan sampel unit terdiri dari klaster atau kelompok. Pada
metode pengambilan sampling klaster satu tahap ini, populasi dikelompokkan
dalam beberapa klaster. Klaster yang ada kemudian dipilih untuk dijadikan
sampel klaster. Selanjutnya, semua elemen dalam klaster yang terpilih akan
diteliti. Pada metode ini memiliki elemen yang terpilih dalam klaster cukup
banyak sehingga kurang efisien karena memakan waktu yang banyak dan
membutuhkan biaya yang lebih banyak. Kemudian metode ini dikembangkan
dengan pengambilan klaster dua tahap.
Dalam metode pengambilan sampling klaster dua tahap ini memiliki dua
tahap pengambilan. Tahap pertama memilih sebuah sampel dari unit-unit
primer(utama) dan tahap kedua memilih sebuah sampel dari subunit dari setiap
29
30
unit primer yang terpilih. Keuntungan dari pengambilan sampling klaster dua
tahap ini adalah bahwa cara ini lebih fleksibel daripada pengambilan sampel satu
tahap. Dalam pengambilan sampel dua tahap ini, peneliti dihadapkan pada
pemilihan klaster yang tepat. Sebagai pedoman, banyaknya klaster dalam sampel
usahakan cukup banyak. Hal ini mengingat bahwa biaya pengukuran karakteristik
elemen sangat mahal. Elemen dalam suatu kelompok secara fisik sebenarnya
mirip dengan antar satu dengan yang lainnya. Oleh karena itu sebisa mungkin
dalam pembentukan klaster harus memperhatikan kehomogenan elemen-elemen
yang akan diteliti dalam klaster tersebut. Suatu populasi yang homogen akan
menghasilkan sampel dengan tingkat kesalahan sampling yang lebih kecil
dibandingkan dengan suatu populasi yang heterogen. Dalam hal ini, ukuran
sampel harus ditentukan terlebih dahulu jika jumlah klaster ditingkatkan maka
jumlah elemen dalam suatu klaster harus dikurangi begitu pula sebaliknya.
Pengambilan sampel klaster dua tahap dan sampel acak berlapis hampir sama.
Dalam sampel acak berlapis, klaster diperlakukan sebagai strata, sedangkan
perbedaannya klaster harus dipilih dari populasi klaster sebagai sampel klaster.
Tidak semua klaster diteliti, tetapi semua klaster dalam sampel acak berlapis
diteliti melalui sampel yang dipilih dari strata. Sehingga sampel yang diambil
tidak terlalu besar dengan tingkat keakuaratan tinggi.
Secara umum pengambilan sampel klaster dua tahap dapat dijelaskan pada
gambar sebagai berikut dengan perbandingan pengambilan sampel klaster satu
tahap.
31
(a) Cluster sampling N=5
(b) Two-Stage sampling N=5 n=3
Gambar 3.1 Ilustrasi Cluster Sampling dan Two-Stage Cluster Sampling
Didalam pemilihan sampel klaster maupun elemen yang tepat dilakukan
secara acak menggunakan tabel bilangan random. Pembagian populasi dalam
klaster juga didasarkan pada kehomogenan antar klaster. Karakteristik antar
klaster adalah homogen dan didalam klaster adalah heterogen
3.2 Estimasi Pengambilan Sampel Klaster Dua Tahap
3.2.1 Estimator rata-rata populasi dan variansi populasi
Pada penarikan sampel klaster dua tahap, rencana penarikan sampelnya
pertama memberikan sebuah metode pemilihan n unit. Kemudian untuk setiap
unit terpilih, diberikan metode untuk memilih sejumlah tertentu subunitsubunit. Dalam mencari rata-rata dan variansi estimasi, rata-ratanya harus
meliputi seluruh sampel yang dapat diturunkan dengan proses dua tahap.
Menurut teorema 2.1 dalam sampel random sederhana, rata-rata ̅
adalah estimasi tak bias dari ̅ sehingga estimator rata-rata dalam populasi
dinotasikan dengan ̂
̅ bila n unit dan
subunit dari masing-masing
unit yang telah diambil dan dipilih dengan pengambilan sampel acak
sederhana, maka ̅ adalah estimator tak bias untuk ̅
Untuk memperkirakan rata-rat dan populasi dalam sampel klaster,
kebanyakan statistik survei menggunakan bobot sampling dari estimator
32
diatas, bobot sampling untuk unit sekunder (subunit) / dan unit primer
(utama) i adalah
nilai bobot ini bisa kita peroleh dengan menghitung
probabilitas inklusi untuk sampel klaster.
= P (unit sekunder j terpilih di unit primer i)
= P(unit sekunder i terpilih )
P (unit sekunder j terpilih| unit primer i)
=
sehingga
(3.1)
Jadi estimator untuk ̂ dan ̅ dapat dihitung dengan
∑
∑
∑
∑
Sehingga ̅ diestimasi dengan
∑
̅
̅
∑
(3.2)
̅
Dan ̿ diestimasi dengan
∑
̅
̿
∑
̅
∑
∑
(3.3)
Untuk variansi dari rata-rata populasi pada pengambilan sampel klaster
dua tahap dapat dijabarkan sebagai berikut (Cochran, 1991)
( ̿)
[
Karena
( ̿)]
( ̿)
[ ( ̿)]
̅
∑
, suku pertama pada ruas kanan adalah variansi
dari rata-rata per subunit untuk sebuah sampel acak sederhana berukuran n
unit. Oleh karena itu, dengan teorema 2.2
[
( ̿)]
̅
33
Selanjutnya, dengan
̅
∑
̿
dan pengambilan sampel acak
sederhana digunakan pada tahap kedua,
( ̿)
∑(
)
Seluruh sampel pada tahap pertama juga dirata-ratakan sehingga diperoleh
[ ( ̿)]
∑(
̅
)
Kemudian variansi dari rata-rata populasi dinyatakan dalam
( ̿)
(
)
̅
̅
∑(
)
Oleh karena variansi populasi tidak diketahui dan variansi dari populasi
adalah merupakan estimator tak bias untuk variansi populasi
[ ( )
karena
]. Estimator variansi dari rata-rata populasi dapat dinyatakan
dalam bentuk berikut
( ̿)
(
)
̅
̅
∑(
)
3.2.2 Estimator Total Populasi
Memperkirakan total populasi diperlukan dalam pengambilan klaster
dua tahap ini karena kita tidak mengamati setiap unit sekunder dalam sampel
unit primer. Dengan mengguakan bobot sampling pada (3.1) total populasi
dalam klaster i dapat diestimasi dengan
̂
∑
̅
∑
∑
∑
∑
Sedangkan variansi dari total populasi adalah
(3.5)
34
( )
( ̿)
∑
∑
(
( ̂)
Dimana
(
)
)
(3.6)
( ̿)
(
)
(
)
∑
∑
(
(
)
)
adalah variansi populasi di klaster unit primer dan
adalah
variansi populasi antar elemen di dalam klaster i. Oleh karena variansi dari
total populasi tidak dapat dihitung maka perlu di estimasi menggunakan data
sampel. Sehingga variansi dari total populasi dapat dinyatakan dalam
̂ ( ̂)
(
)
∑(
(3.7)
)
Dengan standar deviasi dari total populasi sebesar
̂
√ ( )
3.3 Pendekatan Hansen Hurwitz
Hansen-Hurwitz (HH) memperkenalkan notasi ukuran klaster sampling yang
tak seimbang/tak sama dengan estimasi probabilitas proporsi (pps) untuk
mengestimasi nilai , jumlahan dari Y-variate yang melewati/melampaui populasi
tak hingga dari elemen
. Akan dijelaskan prosedur atau metode untuk penarikan
klaster sampling dengan menggunakan pps dan dengan pengembalian. Pertama,
klaster menandai interval yang berurutan dengan panjang yang sama dengan
ukuran klaster (jumlah elemen populasi dalam sebuah klaster). Kedua, sasaran
sampel dari elemen populasi yang telah diberi nomor berurutan diambil
menggunakan pengambilan sampel acak sederhana dengan pengembalian. Ketiga,
35
klaster tersebut yang memberikan jarak (range) yang besar, dipilih lagi dengan
pengembalian.
Dalam bahasan ini penulis akan membatasi pada pembahasan metode
pengambilan sampling dengan menggunakan penggembalian serta menghitung
estimator Hansen-Hurwitz dan Hurvitz-Thompson dari .
3.3.1 Metode Pemilihan Hansen-Hurwitz (HH)
Metode pemilihan Hansen-Hurwitz (HH) untuk sampling klaster
berukuran tak sama dengan pps dan dengan pengembalian pada dasarnya
memiliki 3 langkah, yaitu :
Langkah pertama :
Unit sekunder (elemen) M populasi (j=1,2,...,M) ditandai dengan bilangan
bulat secara berurutan dengan jarak yang sama dengan ukuran klaster
Langkah Kedua :
Ukuran tetap target sampel dari elemen m populasi digambarkan dengan
sebuah populasi seragam/sama yang memutar dari bilangan bulat 1 sampai M
melalui pengambilan sampel acak sederhana dengan pengembalian
Langkah Ketiga :
Klaster yang didalamnya memberikan range (jarak) jumlah acak dari target
sampel yang hilang/gugur ditarik atau diambilkan dengan pengembalian.
3.3.2 Estimator Hansen-Hurwitz
Berdasarkan pada sampel berukuran n klaster dari unit populasi yang
dipilih dengan pps dan pengembalian dari elemen populasi dan klaster yang
dikelan luas dengan unbiased HH estimator dari Y, begitu juga dikenal
dengan pps estimator yaitu
(3.8)
36
∑
∑
(
)
∑
∑̅
Keterangan
n = ukuran klaster sampel
m = ukuran sampel elemen populasi
= pengukuran untuk unit ke i
= probabilitas bahwa nilai ke i ada dalam sampel
Untuk nilai ∑
Jika sebuah sampel berukuran n unit primer dan
diambil dengan probabilitas proporsional terhadap
unit sekunder
dengan metode
pengambilan klaster dua tahap.
Modifikasi estimator Hansen-Hurwitz untuk total populasi adalah:
∑
∑
(3.9)
Untuk
={
Mean variansi dari estimator Hansen-Hurwitz adalah sebagai berikut :
[
]
* ∑
+
*∑
[∑ ̅ ]
[ (̅ )
(̅ )
( ̅ )]
+
37
(̅
̅
̅
̅
̅)
̅
̅
Oleh karena itu dapat dibuktikan bahwa ̂
adalah estimator tak
bias untuk Y pada pengambilan sampel klaster dua tahap.
Variansi dari Y untuk estimator Hansen-Hurwitz adalah
[
]
∑ ̅]
[
(∑ ̅ )
∑[ ( ̅ )]
(̅ )
∑
Dimana
̅
(̅
̅)
(
)
∑( ̅
̅)
38
3.4 Pendekatan Estimator Horvitz-Thompson
Estimator Horvitz-Thompson adalah estimator yang umumnya digunakan
untuk menghitung total populasi yang dapat digunakan untuk banyak jenis metode
pengambilan sampel. Estimator ini dapat digunakan untuk pengambilan sampel
dengan pengembalian maupun tanpa pengembalian. Estimator Horvitz-Thompson
untuk total populasi (Cochran, 1991)
̂
Dimana
∑
adalah pengukuran untuk unit ke-
= Probabilitas bahwa unit ke- ada dalam sampel
Untuk nilai ∑
Sebuah sampel penduga berukuran n unit primer dan
unit sekunder diilih
tanpa pengembalian dengan metode pengambilan klaster dua tahap. Modifikasi
estimator Horvitz-Thompson untuk total populasi adalah
̂
∑
̂
∑
̂
{
Untuk
Berikut
(
)
( )
(
Jika
Untuk
, maka
, nilai
(
)
(
( )
(
)
)
)
(
[ (
)]
(
)
( ) (
)
)
39
(̂ )
[∑
̂
]
̂
{ [∑
[∑
̂
[∑
]
|
]
]}
∑
Oleh karena itu, dapat dibuktikan bahwa ̂
untuk
adalah estimator tak bias
pada pengambilan sampel klaster dua tahap. Sedangkan variansi dari
estimator tak bias total populasi Horvitz-Thompson adalah
(̂ )
(Unit primer) +
̂
[ (∑
[∑
]
|
)]
(̂ )
[∑
∑ ( )
∑
(Unit sekunder)
∑∑
(
)
∑
∑ ∑(
[ (∑
̂
|
)]
]
(
)
(̂ )
∑
)
∑∑
∑
∑
(̂ )
Dengan estimator variansinya dinyatakan seperti dibawah ini :
̂( ̂ )
∑(
)
̂
∑∑
̂ ̂
∑
̂( ̂ )
(̂ )
40
Untuk perhitungan estimator rata-rata populasi menggunakan estimator
Horvitz-Thompson, maka estimator total populasi di atas cukup dibagi dengan
jumlah populasi. Sehingga rata-rata populasi dapat diestimasi dengan
̂
̂
populasi
( ̂
. Sedangkan untuk perhitungan variansi, berarti variansi dari total
dibagi
dengan
total
populasi
dikuadratkan
atau
(̂ )
)
Perhitungan ini hampir sama dengan perhitungan untuk estimator pada
pengambilan klaster dua tahap dengan metode pengambilan sampel random
sederhana.
Jika unit primer terpilih dengan probabilitas sama, maka
(
)
dan (
)
Kemudian kita dapat menerapkan rumus (diatas) dengan
( ̂)
∑
∑∑
∑(
)( )
(
) [∑
(
)
(
)
∑∑[
( ) ]( )
∑∑
(
) [(
(
)[ ∑
)∑
]
∑∑
]
∑
]
41
(
)
(
(
) [∑(
) ]
)
Menggunakan teori pengambilan sampel sederhana pada (3.6), diperoleh
(̂ )
∑(
)
Sehingga
( ̂)
∑
∑
(̂ )
(
Jadi, ( ̂ )
)
( ̂)
( ̂)
(
(
Jadi
)
)
∑
(
)
∑(
)
estimator tak bias untuk
total
populasi
menggunkan
pengambilan sampel sederhana merupakan kasus khusus dari estimator
Horvitz-Thompson dengan probabilitas sama unit primer
sekunder
dan unit
. Oleh karena itu kita akan memperoleh rumus (3.5) jika nilai
pada estimator Horvitz-Thompson diganti dengan probabilitas
terpilihnya unit primer dan sekunder dalam populasi. Dengan cara yang
sama, estimator dari variansi populasi untuk penggambilan sampel klaster
42
dua tahap juga dapat diperoleh meggunakan estimator Horvitz-Thompson.
Metode Horvitz-Thompson ini dapat digunakan untuk pengambilan
sampel klaster dalam banyak tahap bergantung pada probabilitas unit yang
terpilih dalam sampel.
Beberapa kasus khusus lainnya dengan menggunakan estimator
Horvitz-Thompson seperti pada pengambilan sampel random sederhana
dengan
̂
. Diperoleh
∑
∑
∑
̅
̂
Hasil serupa juga akan diperoleh untuk pengambilan berstrata
dengan
̂
jika unit i ada dalam strata h.
∑
∑
∑
̅
̂
Begitu juga untuk semua jenis metode pengambilan sampel lainnya,
nilai estimator Horvitz-Thompson untuk total populasi akan bergantung
pada probabilitas terpilihnya sampel.
3.5 Fungsi Biaya
Dalam menerapkan rancangan pengambilan sampel klaster dua tahap, selain
mempertimbangkan faktor-faktor teknis statistik yang meliputi presisi dan tingkat
kepercayaan, juga harus mempertimbangkan faktor biaya. Dalam hal ini anggaran
terbatas, kita perlu mempertimbangkan biaya dari penelitian yang diusulkan.
Menggunakan metode pengambilan sampel tanpa pengembalian, fungsi biaya
menurut Cochran (1991) adalah
∑
43
Dengan
= fungsi biaya, tidak termasuk overhead cost
Biaya pendaftaran (listing) per sub unit dalam sebuah unit yang dipilih
Biaya per sub unit dan pengawasannya.
Fungsi biaya diatas mengabaikan biaya perjalanan antara unit. Istilah
dimasukkan karena pengambilan sampel biasanya harus mendaftar elemen-elemen
dalam setiap unit terpilih dan memeriksa jumlahnya agar diambil sebuah
subsampel.
BAB IV
STUDI KASUS
Penulis memberikan sebuah studi kasus pengambilan sampel klaster dua
tahap dengan perbandingan metode estimasi Hansen-Hurwitz dan HorvitzThompson dengan populasi pengguna alat kontrasepsi (IUD, MOP, MOW,
Kondom, Susuk, Suntik, dan Pil) yang digunakan dalam upaya program Keluarga
Berencana di Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta.
Metode pertama yang
dilakukan adalah menentukan populasi, kemudian tahapan selanjutnya adalah
pengambilan sampel dengan menggelompokkannya berdasarkan klaster yang
terbagi berdasarkan wilayah administratif supaya terjaga kehomogenitasannya
antar klaster.
Dengan studi kasus tersebut, ingin diketahui jumlah pengguna alat
kontrasepsi yang mengikuti KB dalam sebuah daerah. Berkaitan dengan tema
besar penulisan, penulis ingin mengestimasikan jumlah peserta KB di DIY.
Manfaat dari studi kasus ini adalah memperdalam metode pengambilan sampel
dengan metode Hansen-Hurwitz dan Hurvitz-Thompson.
4.1 Pengumpulan Data
Untuk studi kasus pada skripsi ini, penulis menggunakan data Pengguna Alat
Kontrasepsi pada peserta KB tahun 2013 pada kecamatan dan desa terpilih yang
bersumber pada “Kecamatan dalam Angka tahun 2014” di tiap Kabupaten. Data
yang dipergunakan terdiri dari kecamatan, desa (data terlampir).
Tabel 4.1 Kecamatan di tiap Kabupaten
No
Kabupaten
1
Yogyakarta
44
No
Kecamatan
1
Danurejan
2 Gedong Tengen
3 Gondokusuman
4
Gondomanan
5
Jetis
45
2
Bantul
3
Gunungkidul
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Kotagede
Kraton
Mantrijeron
Mergangsan
Ngampilan
Pakualaman
Tegalrejo
Umbulharjo
Wirobrajan
Dlingo
Imogiri
Srandakan
Bantul
Pajangan
Jetis
Banguntapan
Piyungan
Pundong
Pleret
Sedayu
Kasihan
Pandak
Bambanglipuro
Sanden
Sewon
Kretek
Wonosari
Nglipar
Playen
Patuk
Paliyan
Panggang
Tepus
Semanu
Karangmojo
Ponjong
Rongkop
Semin
Ngawen
46
4
Sleman
5
Kulon Progo
14
15
16
17
18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Gedangsari
Saptosari
Girisubo
Tanjungsari
Purwosari
Gamping
Godean
Moyudan
Minggir
Seyegan
Mlati
Depok
Berbah
Prambanan
Kalasan
Ngemplak
Ngaglik
Sleman
Tempel
Turi
Pakem
Cangkringan
Wates
Temon
Sentolo
Samigaluh
Pengasih
Panjatan
Nanggulan
Lendah
Kokap
Kalibawang
Girimulyo
Galur
47
4.2 Pengambilan Sampel
4.2.1 Sampel Unit primer
Dalam penelitian survei ini, populasi terbagi ke dalam 78 kecamatan
yang ada di Daerah Istimewa Yogyakarta. Pada tiap kecamatan memiliki
sejumlah kelurahan atau desa. Dari 78 kecamatan tersebut, kemudan dibentuk
menjadi 5 klaster unit primer (N) yang berdasarkan pada daerah
administratifnya yaitu kabupaten. Faktor tersebut digunakan untuk menjaga
kehomogenan variabel variabel yang terdapat pada antar klaster serta
keheterogenan di dalam klaster.
Tabel 4.2 Populasi Terkluster
Klaster
1
2
3
4
5
Kabupaten
Yogyakarta
Bantul
Gunungkidul
Sleman
Kulonprogo
Total Kecamatan
14
17
18
17
12
Setelah pembentukan klaster, maka langkah selanjutnya untuk
pengambilan klaster dua tahap adalah dengan melakukan pengambilan klaster
secara acak atau secara random dengan menggunakan software R versi 3.2.2 .
Selanjutnya 5 unit klaster (N) yang telah terbentuk diambil sampel 3 klaster
unit primer untuk diteliti. Kemudian dipilih 3 (n) klaster unit primer secara
random dengan kesalahan standar sebesar 95%.
4.2.2 Sampel Unit Sekunder
Untuk pengambilan sampel unit sekunder, juga dilakukan dengan
pengambilan sampel menggunakan data jumlah kecamatan yang ada pada
setiap klaster unit primer yang terpilih kemudian dilakukan pengambilan acak
kecamatan tersebut dan meneliti jumlah kelurahan/desa dari kecamatan yang
terpilih pada tiap klaster yang terbentuk.
48
Tabel 4.3 Sampel Unit Sekunder
No
1
2
4
Kabupaten
No
1
2
3
4
5
6
7
Yogyakarta
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Bantul
12
13
14
15
16
17
1
2
3
Sleman
4
5
6
7
Kecamatan
Danurejan
Gedong Tengen
Gondokusuman
Gondomanan
Jetis
Kotagede
Kraton
Mantrijeron
Mergangsan
Ngampilan
Pakualaman
Tegalrejo
Umbulharjo
Wirobrajan
Dlingo
Imogiri
Srandakan
Bantul
Pajangan
Jetis
Banguntapan
Piyungan
Pundong
Pleret
Sedayu
Kasihan
Pandak
Bambanglipuro
Sanden
Sewon
Kretek
Gamping
Godean
Moyudan
Minggir
Seyegan
Mlati
Depok
49
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Berbah
Prambanan
Kalasan
Ngemplak
Ngaglik
Sleman
Tempel
Turi
Pakem
Cangkringan
Hasil pengacakan pada cluster 1, 2 dan 3 pada observasi pertama adalah
sebagai berikut :
Cluster 1 : Kota Yogyakarta
Cluster 2 : Kabupaten Bantul
Cluster 3 : Kabupaten Sleman
Dengan menggunakan R 3.2.2 untuk pengacakan sampel, pada
observasi pertama dan klaster pertama yaitu kota Yogyakarta ini
didapatkan sampel dengan nomor 8,7,6,3,4,13,11,10,14. Kemudian pada
klaster dua Kabupaten Bantul didapatkan sampel dengan nomor
4,8,14,9,16,11,15,3,5,1. Dan pada klaster tiga Kabupaten Sleman
diperoleh nomor sampel 14,7,15,6,2,11,17,3,4.12.
50
Tabel 4.4 Sampel Unit yang Terpilih
Klaster
Total
Sampel
Kecamatan Kecamatan
1 (Yogyakarta)
14
9
2 (Bantul)
17
10
3 (Sleman)
17
10
Sampel Unit yang terpilih
Observasi
sampel
ke1
3,4,6,7,8,10,11,13,14
2
14,6,2,8,5,11,4,13,
3
9,13,8,1,12,10,11,14,7
4
11,7,5,2,14,3,12,6,9
5
1,5,10,9,6,13,11,4,12
6
12,5,4,13,2,7,8,19,3
.
.
.
.
.
.
50
9,7,11,2,5,12,6,3,4
1
1,3,4,5,8,9,11,14,15,16
2
5,6,14,8,15,4,12,10,17,2
3
8,11,15,7,4,3,1,5,10,12
4
2,1,15,7,13,12,14,4,8,16
5
12,7,15,4,2,16,6,14,5,17
6
9,17,6,7,15,11,2,4,10,12
.
.
.
.
.
.
50
4,17,2,8,10,9,14,7,16,3
1
2,3,4,6,7,11,12,14,15,17
2
7,1,10,13,4,11,15,2,16,3
3
5,2,7,12,10,15,3,8,14,9
4
3,1,4,13,5,8,15,6,10,11
5
2,4,8,13,3,16,15,1,12,5
6
6,1,14,8,12,2,5,3,13,15
.
.
.
.
.
.
50
1,13,4,8,10,15,14,12,5,9
Pada tahap ini dilakukan observasi pengacakan sampel sebanyak 50 kali
yang bertujuan supaya sampel yang diambil benar-benar dapat mewakili tiap sub
unit. Kemudian dari masing-masing sampel kecamatan yang terpilih, akan diteliti
rata-rata dan jumlah pengguna alat kontrasepsi peserta KB di Provinsi Daerah
Istimewa Yogyakarta.
51
4.3 Analisis dan Pembahasan
4.3.1 Estimasi rata-rata populasi
Untuk mendapatkan nilai dari estimasi rata-rata dan jumlah pengguna
alat kontrasepsi peserta KB yang tersedia di tiap klaster kabupaten terpilih
pada setiap provinsi di Indonesia, maka dapat dihitung menggunakan rumus
3.2 yaitu :
̅
∑
Keterangan :
: observasi ke j pada sampel dari klaster ke i (banyak peserta KB terpilih
didalam klaster i)
: jumlah unit sekunder dalam sampel dari unit primer i (jumlah kecamatan
terpilih dari masing-masing klaster)
Dan hasil perhitungan seperti tabel dibawah ini
Tabel 4.5 Estimasi Rata-rata populasi
Klaster Sampel
1
2
3
Kabupaten
Yogyakarta
Bantul
Sleman
Rata-rata Jumlah
pengguna KB
2550,0
6012,2
6983,4
Berdasarkan tabel diatas, dapat dijelaskan bahwa kita ambil sebagai
contoh pada sampel klaster nomor 1. Terdapat rata-rata pengguna alat
kontrasepsi sebanyak 2550 peserta. Melihat pada tabel 4.5 tersebut klaster 1
merupakan klaster wilayah Kota Yogyakarta yang beranggotakan 9
kecamatan terpilih. Berdasarkan informasi data diatas bisa menjadi pedoman
52
pemerintah yang ingin menekan jumlah ledakan penduduk di provinsi DIY.
Jumlah kelurahan dan rata-rata jumlah peserta KB di setiap klaster diatas
dapat dimanfaatkan untuk memperkirakan jumlah peserta KB yang akan
dibutuhkan pemerintah dalam kependudukan.
Sedangkan rata-rata total peserta KB yang tersedia di provinsi DIY
dapat diestimasi menggunakan persamaan (3.3)
∑
∑
̿
Dengan mengunakan perhitungan pada R diperoleh estimasi rata-rata
populasi sebesar 4579,17241
4580 pengguna alat kontrasepsi. Artinya
terdapat rata-rata 4580 peserta KB pada masing-masing kecamatan di DIY.
Estimasi rata-rata total peserta KB ini tersedia untuk semua wilayah
kecamatan di DIY.
Berdasarkan nilai estimator rata-rata total peserta KB diprovinsi DIY
diatas, dapat pula dihitung persebaran rata-rata total peserta KB. Nilai
estimator variansi dari total peserta KB di DIY menggunakan rumus
( ̿)
(
)
̅
̅
∑(
)
Diperoleh hasil sebesar 515056,7159 dengan tingkat kesalahan baku
sebesar 717,6745. Dengan nilai variansi yang tidak terlalu besar ini
menunjukkan bahwa data masih menyebar disekitar rata-rata. Sehingga
peneliti dapat mengambil kesimpulan bahwa pengambilam sampel ini sudah
cukup baik dengan tingkat kesalahan standar kecil.
53
4.3.2 Estimasi Total Populasi Horvitz-Thompson
Nilai estimasi dari total pengguna alat kontrasepsi peserta KB yang
terdapat di tiap sampel klaster kebupaten di DIY dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
∑
Dengan
: jumlah kecamatan dalam klaster ke-i
Hasil perhitungannya dapat dilihat pada tabel ini
Tabel 4.6 Estimasi Total Populasi Horvitz-Thompson
Observasi
Estimasi Pengguna Alat Kontrasepsi
Cluster1 : Yogyakarta
Cluster2 : Bantul
Cluster3 : Sleman
1
35700
102207,4
118717,8
2
33682,44
112789,9
94334,7
3
34631,33
124159,5
94326,2
4
31434,67
143731,6
89709
5
34402,67
137343
97013,9
6
37196,44
124863,3
113012,6
.
.
.
.
.
.
.
.
50
29818,44
119402,9
94407,8
Berdasarkan tabel diatas, dapat dijelaskan bahwa pada klaster 2
terdapat jumlah pengguna alat kontrasepsi sebanyak 102207,4
102207
peserta. Dari tabel 4.6 klaster 2 adalah klaster kabupaten Bantul yang
memiliki anggota 17 kecamatan. Berdasarkan data diatas pemerintah daerah
yang ingin melihat kependudukan kelurga berencana, jumlah kecamatan dan
estimasi total jumlah pengguna alat kontrasepsi peserta KB yang tersedia
dapat dimanfaatkan.
54
Untuk mengestimasi total jumlah peserta KB di provinsi DIY secara
keseluruhan, dapat menggunakan persamaan (3.5)
∑
∑
Dari hasil perhitungan persamaan diatas, kemudian diperoleh nilai
estimasi total populasi sebesar 28147,56
28148 yang artinya terdapat 28148
jumlah keseluruhan pengguna alat kontrasepsi peserta KB di Provinsi DIY.
Berdasarkan nilai estimator total pengguna alat kontrasepsi di atas,
selanjutnya ingin melihat seberapa besar persebaran data. Diperoleh nilai
estimasi variansi dari total populasi secara keseluruhan pengguna alat
kontrasepsi menggunakan persamaan (3.6)
( )
(
)
∑(
)
Tabel 4.7 Variansi dan Kesalahan Baku Estimasi Horvitz-Thompson
Observasi
Variansi HT
Kesalahan baku HT
1
403310698
20082,6
2
506514490
22505,88
3
429242717
20718,17
4
502003443
22405,43
5
536113019
23154,11
6
527884343
22975,73
.
.
.
.
.
.
50
528039931
22979,12
Pada Observasi pertama diperoleh variansi sebesar 403310698 dengan
kesalahan baku 20082,6.
55
4.4 Estimasi Total Populasi Hansen-Hurwitz
Untuk menghitung nilai dari estimator Hansen-Hurwitz pada masingmasing klaster, dapat menggunakan rumus (3.8)
∑
Tabel 4.8 Estimasi Total Populasi Hansen-Hurwitz
Observasi
Estimasi Pengguna Alat Kontrasepsi
Cluster1 : Yogyakarta
Cluster2 : Bantul
Cluster3 : Sleman
1
40800
96195,2
111734,4
2
38494,22
106155,2
88785,6
3
39578,67
116856
88777,6
4
35925,33
135276,8
84432
5
39317,33
129264
91307,2
6
42510,22
117518,4
106364,8
.
.
.
.
.
.
.
.
50
34078,22
112379,2
88854,4
Berdasarkan tabel diatas, dapat dijelaskan bahwa dengan menggunakan
estimator Hansen-Hurwitz untuk klaster 3 dengan wilayah Kota Yogyakarta,
terdapat jumlah peserta pengguna Alat kontrasepsi sebanyak 111734,4
111734
peserta yang tersebar di 17 kecamatan.
Untuk mengestimasi total jumlah peserta pengguna alat kontrasepsi
program KB di Provinsi DIY secara keseluruhan menggunakan estimator HansenHurwitz, dapat dihitung menggunakan persamaan (3.9)
∑
∑
56
Dari hasil perhitungan persamaan diatas, kemudian diperoleh nilai dari
estimator total populasi Hansen-Hurwitz sebesar 391048,9
391049. Artinya
bahwa dengan menggunakan estimator Hansen-Hurwitz diperoleh estimasi untuk
total pengguna alat kontrasepsi di Provinsi DIY sebesar 391049 peserta. Untuk
menghitung nilai variansi dari estimator HH dapat menggunakan rumus.
(
)
(
)
∑( ̅
̅)
Tabel 4.9 Variansi dan Kesalahan Baku Estimasi Hansen-Hurwitz
Observasi
Variansi
Kesalahan Baku
1
294509585
17161,28
2
330725444
18185,86
3
310006319
17607
4
322564355
17960,08
5
293127690
17120,97
6
259803876
16118,43
.
.
.
.
.
.
50
342339079
18502,41
Pada Observasi pertama diperoleh variansi sebesar 294509585 dengan
kesalahan baku 17161,28.
57
4.5 Perbandingan antara Estimator Hansen-Hurwitz dan Horvitz-Thompson
Untuk Total Populasi dapat dilihat sebagai berikut :
Tabel 4.10 Perbandingan Estimasi Total Populasi
Estimasi Pengguna Alat Kontrasepsi
Obs
Cluster1
Cluster1
Cluster2
Cluster2
Cluster3
Cluster3
HT
HH
HT
HH
HT
HH
1
35700
40800
102207,4
96195,2
2
33682,44
38494,22
112789,9 106155,2
3
34631,33
39578,67
124159,5
4
31434,67
35925,33
143731,6 135276,8
5
34402,67
39317,33
6
37196,44
42510,22
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
50
29818,44
34078,22
94407,8
88854,4
137343
116856
129264
118717,8 111734,4
94334,7
88785,6
94326,2
88777,6
89709
84432
97013,9
91307,2
124863,3 117518,4 113012,6 106364,8
119402,9 112379,2
Dari tabel perbandingan Total Populasi dengan Estimator Horvitz-Thompson
dan Hansen-Hurwitz diatas dapat dilihat bahwa estimasi dari Hansen-Hurwitz
memiliki nilai estimasi yang lebih kecil tetapi estimasi dengan Hansen-Hurwitz
memiliki estimasi yang lebih stabil. Sehingga pada estimasi untuk total populasi
Hansen-Hurwitz lebih tepat dan efisien untuk digunakan.
58
Perbandingan Variansi :
Tabel 4.11 Perbandingan Variansi HH dan HT
Kesalahan
Kesalahan
baku HT
baku HH
294509585
20082,6
17161,28
506514490
330725444
22505,88
18185,86
3
429242717
310006319
20718,17
17607
4
502003443
322564355
22405,43
17960,08
5
536113019
293127690
23154,11
17120,97
6
527884343
259803876
22975,73
16118,43
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
50
528039931
342339079
22979,12
18502,41
Observasi
Variansi HT
Variansi HH
1
403310698
2
Dari tabel perbandingan Variansi dan Kesalahan Baku dengan
Estimator Horvitz-Thompson dan Hansen-Hurwitz diatas dapat dilihat bahwa
estimasi variansi dari Hansen-Hurwitz memiliki nilai variansi yang kecil
dibandingkan dengan estimasi variansi Horvitz-Thompson. Kemudian dengan
melihat kesalahan baku sebagai dasar dalam penyimpangan data terhadap
rata-rata maka estimator Hansen-Hurwitz lebih efisen dibandingan dengan
estimator Horvitz-Thompson.
59
4.6 FUNGSI BIAYA
Dengan menggunakan fungsi biaya yang disampaikan Cochran (1991) untuk
pengambilan sampel klaster dua tahap dibawah ini, maka dapat dihitung fungsi
biaya dalam penggambilan sampel.
∑
Dari rumus tersebut, dimisalkan biaya yang digunakan untuk listing per sub
unit dalam unit utama sebesar Rp 500.000,- dan biaya per sub unit serta
pengawasaannya untuk tiap tiap desa di Provinsi DIY sebesar Rp 100.000,- .
Maka diperoleh fungsi biaya sebagai berikut :
C = (500.000 x 3) + (100.000 x 29)
= 1.500.000 + 2.900.000
= 4.400.000
Jadi biaya pengambilan sampel sebesar Rp 4.400.000. Biaya ini masih
mengabaikan besarnya biaya perjalanan dalam pengambilan sampel.