kalkulus_10_fungsi rasional

Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi polinom (suku banyak)
2
f ( x )  a0  a1x  a2 x ... an x
n
Fungsi suku banyak terdefinisi dimana-mana(R)
2. Fungsi Rasional :
p(x )
f (x) 
q (x )
dengan p(x) dan q(x) merupakan fungsi polinom , dan q(x) ≠0.
Fungsi rasional terdefinisi dimana-mana kecuali dipembuat nol q(x)
contoh
x2 1
f ( x)  2
terdefinisi di mana2 , kecuali di x = 2, dan x = -2
x 4
D f  R  {2,2}
MA1114 Kalkulus I
1
f ( x) 
x
.
x
-1
0
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
10000
1
1
lim
 ... lim  ....
x 0 x
x ~ x
y
 Gambar grafik ....
ASIMTOT
Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh
grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni
(i) Asimtot Tegak
f ( x )  
Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika lim
xc
(ii) Asimtot Datar
f ( x)  b
Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika xlim
 
(iii) Asimtot Miring
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika
f ( x)
a
lim
x  
x
dan
lim f ( x )  ax  b
x  
Asimtot tegak
a
a
x=a asimtot tegak
Dalam kasus
lim f ( x)  
xa
dan
lim f ( x )  
xa
x=a asimtot tegak
Dalam kasus
lim f ( x )  
xa
dan
lim f ( x)  
xa
y= b
Garis y = b asimtot datar karena
lim f ( x)  b
x  
Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hing
Tapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri ole
grafik fungsi(tidak dipotong lagi)
y=f(x)
y  ax  b
Garis y = ax + b asimtot miring
Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga.
Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar
dan asimtot miring
Contoh
Tentukan semua asimtot dari
Jawab :
x 2  2x  4
f ( x) 
x2
(i) Asimtot tegak : x = 2, karena
2
x
 2x  4
x  2x  4

  dan xlim
lim

2
x2
x2
x2
2

(ii) Asimtot datar :
x 2 (1  2x  x42 )
x  2x  4
lim f ( x)  lim
 lim 2 1 2
x 
x 
x 
x2
x ( x  x2 )
2
 lim
x 
(1  2x  x42 )
(  )
1
x
2
x2

Maka asimtot datar tidak ada
MA1114 KALKULUS I
8
(iii) Asimtot miring
f ( x)
x2  2x  4 1
a  lim
 lim
.
x  
x  
x
x2
x
 lim
x 2 (1  2x  x42 )
x  
x (1  )
x  
(1  2x  x42 )
(1  )
x 2  2x  4
 lim
x
x  
x2
2
b  lim f ( x)  ax
 lim
x2  2x  4
 lim
x  
x2  2x
2
x
x  
2
x
1
2
2
2
4
x

x


x
 2x
x  2 x  4  x ( x  2)
 lim
 lim
x  
x  
x2
x2
2
4
 lim
0
x   x  2
Asimtot miring y = x
MA1114 KALKULUS I
9
Soal Latihan
Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :
1.
1
f ( x) 
x 1
2.
f ( x)  x 
3.
x2  2x
f ( x)  2
x 1
4.
2x
f ( x) 
x3
5.
x2  2x
f ( x)  2
x 1
1
x3
MA1114 KALKULUS I
10
Contoh: Diketahui
x 2  2x  4
f ( x) 
x2
a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi
b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok
c. Tentukan semua asimtot
d. Gambarkan grafik f(x)
a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang
(,0)
monoton turun pada selang
(0,2) dan (2,4).
di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai
di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
b. Grafik f cekung keatas pada
selang
, (4,)
f ( 0)  2
f (4)  6
( 2, ) dan cekung kebawah pada
(,2) , tidak ada titik belok
c. Asimtot tegak x = 2, asimtot miring y = x, tidak ada asimtot
datar
MA1114 KALKULUS I
11
d. Grafik f(x)
----- ----- ++++++
0
2
4
--------------------+++++++++++
2
f'
++++++
f ''
6
-2
2
4
y=x
MA1114 KALKULUS I
12
Soal Latihan
A. Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu
selang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok,
dan asimtot
1. f ( x ) 
2x
1  x2
1
2. f ( x )  x 
x
x 4 x3
3. f ( x) 
  x2  1
4
3
x
4. f ( x ) 
x 1
x2
5. f ( x ) 
x2  4
MA1114 KALKULUS I
13