Phasor dan Impedans - Slide-09

Phasor
Impedans
Phasor dan Impedans
Slide-09
Ir. Agus Arif, MT
Semester Gasal 2016/2017
1 / 23
Phasor
Impedans
Materi Kuliah
1
Phasor
Frekuensi Komplex
Definisi Phasor
Transformasi Phasor
Hubungan Tegangan-Arus
Hukum Ohm dan Kirchhoff
Rangkaian RL dan RLC
2
Impedans
Definisi Impedans
Impedans Seri dan Paralel
Reaktans
Admitans
2 / 23
Phasor
Impedans
Frekuensi Komplex
Berdasarkan pengalaman menerapkan sumber sinusoidal komplex
pd suatu rangkaian linear utk mendapatkan tanggapan ajeg yg
komplex:
Faktor e jωt sempat dilenyapkan dr kedua sisi persamaan utk
menyederhanakan persamaan aljabar yg dihasilkan
Faktor e jωt kemudian disertakan kembali sebelum
menentukan bagian real dr tanggapan yg komplex
Stp tegangan dan arus dlm suatu rangkaian pasif mengandung
faktor e jωt yg sama dgn frekuensi yg tidak berubah selama
proses analisis
Oleh krn itu, frekuensi sudut ω dpt diperlakukan sbg suatu
besaran yg implisit (tersembunyi)
3 / 23
Phasor
Impedans
Definisi Phasor
Demi memperoleh bentuk yg ringkas, besaran komplex dpt
dinyatakan dlm bentuk polar drpd dlm bentuk exponensial
Suatu sumber tegangan sinusoidal
v (t) = Vm cos ωt = Vm cos (ωt + 0◦ )
dpt dinyatakan dlm bentuk komplex:
Vm ∠ 0◦
Dan arus tanggapannya:
i(t) = Im cos (ωt + φ)
dpt juga dinyatakan dlm bentuk komplex:
Im ∠ φ
Bentuk komplex yg ringkas ini disebut phasor
4 / 23
Phasor
Impedans
Transformasi Phasor [1]
Suatu arus sinusoidal yg real
i(t) = Im cos (ωt + φ)
dinyatakan sbg bagian real dr besaran
komplex
i(t) = Re{Im e j(ωt+φ) }
Dgn melenyapkan operator Re{} dan
melenyapkan faktor e j(ωt) :
I = Im e j φ
serta menuliskannya dlm bentuk
polar:
I = Im ∠ φ
5 / 23
Phasor
Impedans
Transformasi Phasor [2]
Bentuk ringkas I = Im ∠ φ adalah representasi phasor
phasor = besaran komplex yg tidak gayut waktu
phasor hanya mengandung info amplitudo dan sudut fase
i(t) = representasi lingkup-waktu
I = representasi lingkup-frekuensi (walau frekuensi dinyatakan
scr implisit)
Contoh: Tegangan phasor V = 115 ∠ − 45◦ dan frekuensi ω = 500
rad/s adalah setara dgn tegangan lingkup-waktu:
v (t) = 115 cos(500t − 45◦ )
atau
v (t) = 115 sin(500t + 45◦ )
Berikutnya, penyederhanaan hubungan v-i dr resistor, induktor dan
kapasitor
6 / 23
Phasor
Impedans
Resistor [1]
Pd rangkaian sebelah kiri dan dlm lingkup waktu berlaku
v (t) = R i(t)
Jk pd resistor diterapkan sumber tegangan komplex:
v (t) = Vm cos(ωt + θ) + j Vm sin(ωt + θ) = Vm e j(ωt+θ)
maka dihasilkan tanggapan arus komplex:
i(t) = Im cos(ωt + φ) + j Im sin(ωt + φ) = Im e j(ωt+φ)
7 / 23
Phasor
Impedans
Resistor [2]
dgn hubungan v-i di antara keduanya:
Vm e j(ωt+θ) = R Im e j(ωt+φ)
Pembagian faktor e jωt pd kedua sisi persamaan menghasilkan:
Vm e jθ = R Im e jφ
atau
Vm ∠ θ = R Im ∠ φ
yg tidak lain adalah bentuk phasor pd rangkaian sebelah kanan
V=RI
Sudut fase θ = φ shg tegangan & arus selalu sefase pd resistor
8 / 23
Phasor
Impedans
Induktor [1]
Pd rangkaian sebelah kiri dan dlm lingkup waktu berlaku
v (t) = L
d i(t)
dt
Setelah penyulihan tegangan komplex dan arus komplex diperoleh:
i
d h
Im e j(ωt+φ)
Vm e j(ωt+θ) = L
dt
Penjabaran derivatif menghasilkan:
Vm e j(ωt+θ) = j ω L Im e j(ωt+φ)
9 / 23
Phasor
Impedans
Induktor [2]
Pembagian faktor e jωt pd kedua sisi persamaan menghasilkan:
Vm e jθ = jωL Im e jφ
atau
Vm ∠ θ = jωL Im ∠ φ
yg tidak lain adalah bentuk phasor pd rangkaian sebelah kanan
V = jωL I
Sudut fase dr faktor jωL adalah tepat +90◦ shg I selalu tertinggal
dr V sebesar 90◦ pd induktor
10 / 23
Phasor
Impedans
Kapasitor
Pd rangkaian sebelah kiri dan dlm lingkup waktu berlaku
i(t) = C
d v (t)
dt
Stlh penyulihan tegangan dan arus komplex, penjabaran derivatif,
pembagian faktor e jωt , dan pemakaian bentuk phasor diperoleh:
1
I = jωC V atau V =
I
jωC
Dgn demikian, I selalu memimpin V sebesar 90◦ pd kapasitor
11 / 23
Phasor
Impedans
Lingkup-Waktu vs Lingkup-Frekuensi
Hubungan v-i dlm lingkup-frekuensi disebut jg sbg Hukum Ohm:
Hukum Tegangan Kirchhoff (KVL) dlm lingkup-waktu:
v1 (t) + v2 (t) + · · · + vN (t) = 0
dpt diolah spt sebelumnya pd komponen pasif shg menghasilkan:
V1 + V2 + · · · + VN = 0
Hal serupa juga dpt dijabarkan bagi Hukum Arus Kirchhoff (KCL)
12 / 23
Phasor
Impedans
Rangkaian RL [1]
Rangkaian RL yg telah dibahas pd kuliah sebelumnya dpt
digambarkan dgn menggunakan besaran2 phasor:
Penerapan KVL menghasilkan:
VR + VL = Vs
Pemanfaatan hubungan v-i komponen2 pasif membuat:
R I + jωL I = Vs
13 / 23
Phasor
Impedans
Rangkaian RL [2]
Dgn demikian, arus phasor dijabarkan trhdp tegangan sumber:
I=
Vs
R + jωL
Dianggap amplitudo sumber tegangan adl Vm dgn sudut fase 0◦ :
I=
Vm ∠ 0◦
R + jωL
Berikutnya, arus phasor dpt dinyatakan dlm bentuk polar:
I= √
h
i
Vm
∠ − tan−1 (ωL/R)
R 2 + ω 2 L2
dan ditransformasikan mjd bentuk real:
Vm
ωL
cos ωt − tan−1
i(t) = √
2
2
2
R
R +ω L
14 / 23
Phasor
Impedans
Contoh #1: Rangkaian RLC [1]
Utk rangkaian RLC berikut, tentukan Is dan is (t) jk kedua sumber
bekerja pd ω = 2 rad/s dan diketahui IC = 2 ∠ 28◦
Jawab: Krn IC diketahui mk KCL dpt diterapkan pd simpul yg
menghubungkan sumber arus sinudoidal Is , resistor 2 Ω dan
kapasitor 1 F shg tegangan kapasitor:
1
−j
−j
VC =
IC =
IC =
(2 ∠ 28◦ )
jωC
ωC
2
= (0.5 ∠ − 90◦ )(2 ∠ 28◦ ) = 1 ∠ − 62◦ V
15 / 23
Phasor
Impedans
Contoh #1: Rangkaian RLC [2]
Tegangan ini juga yg berada di ujung-ujung resistor 2 Ω shg arus
resistor tsb:
1
IR2 = VC = 0.5 ∠ − 62◦ A
2
Berdasarkan KCL, sumber arus dlm bentuk phasor:
Is = IR2 + IC = 0.5 ∠ − 62◦ + 2 ∠ 28◦
= (0.25 − j 0.44) + (1.77 + j 0.94)
= 2.02 + j 0.5 = 2.08 ∠ 13.09◦
A
Alhasil, dgn diketahui frekuensi ω, dpt ditentukan kuat sumber
arus sinusoidal yg real:
is (t) = 2.08 cos(2 t + 13.09◦ )
A
16 / 23
Phasor
Impedans
Definisi Impedans
Hubungan v-i dr ketiga komponen pasif pd lingkup-frekuensi:
V=RI
V = jωL I
V=
I
jωC
yg dpt ditulis sbg rasio antara phasor tegangan dan phasor arus:
V
=R
I
V
= jωL
I
V
1
=
I
jωC
Impedans = rasio antara phasor tegangan dan phasor arus:
ZR = R
ZL = jωL
ZC =
1
jωC
besaran komplex dgn dimensi ohm (Ω)
bukan fasor shg tidak dpt ditransformasikan dgn faktor e jωt
besaran lingkup-frekuensi dan bukan lingkup-waktu
17 / 23
Phasor
Impedans
Impedans Seri
Krn KVL dan KCL berlaku pd lingkup-frekuensi mk impedans dpt
dikombinasikan scr seri dan paralel menurut aturan yg sama spt pd
resistor:
Contoh: Pd ω = 10 × 103 rad/s, suatu induktor 5 mH terhubung
seri dgn suatu kapasitor 100µF
ZL = jωL = j 50 Ω
−j
1
=
= −j 1 Ω
ZC =
jωC
ωC
Keduanya dpt diganti dgn impedans ekivalen:
Zeq = ZL + ZC = j 50 − j 1 = j 49 Ω
Nilai ini hanya berlaku pd frekuensi tunggal, yakni ω = 10000 rad/s
18 / 23
Phasor
Impedans
Impedans Paralel
Contoh: Pd ω = 10 × 103 rad/s, suatu induktor 5 mH terhubung
paralel dgn suatu kapasitor 100µF
ZL = jωL = j 50 Ω
−j
1
=
= −j 1 Ω
ZC =
jωC
ωC
Keduanya dpt diganti dgn impedans ekivalen:
Zeq =
ZL × ZC
(j 50)(−j 1)
50
=
=
= −j 1.020 Ω
ZL + ZC
j 50 − j 1
j 49
Nilai ini hanya berlaku pd frekuensi tunggal, yakni ω = 10000 rad/s
Pd frekuensi yg berbeda, misalnya: ω = 5000 rad/s, impedans
paralel ekivalen adl −j 2.17 Ω
19 / 23
Phasor
Impedans
Reaktans
Kombinasi impedans dpt dinyatakan dlm bentuk rectangular dan
polar:
Z=R +jX
Z = |Z| ∠ Θ
Dlm bentuk rectangular,
bagian real impedans terbentuk hanya dr resistans murni R
bagian imajiner impedans, disebut reaktans X , terbentuk dr
komponen2 penyimpan tenaga
resistans dan reaktans memiliki satuan ohm (Ω), tp hanya
reaktans yg gayut pd frekuensi ω
resistor ideal memiliki reaktans nol dan induktor/kapasitor
ideal sepenuhnya bersifat reaktif (dicirikan oleh resistans nol)
Pertanyaan: Mungkinkah suatu kombinasi paralel atau seri dr
kapasitor dan induktor menghasilkan reaktans nol?
20 / 23
Phasor
Impedans
Definisi Admitans
Admitans Y dr komponen pasif = rasio antar phasor arus dan
phasor tegangan atau kebalikan dr impedans:
YR =
1
R
YL =
1
jωL
YC = jωC
Bagian real dr admitans = konduktans (G) dan bagian imajiner dr
admitans = suseptans (B), ketiga2 nya bersatuan siemens (S)
Y=G +jB =
1
1
=
Z
R +jX
Perhatian: persamaan tsb menyatakan bhw
konduktans bukan kebalikan dr resistans
suseptans bukan kebalikan dr reaktans
21 / 23
Phasor
Impedans
Contoh #2: Impedans Ekivalen [1]
Tentukan impedans ekivalen yg setara dgn rangkaian berikut, jk
diketahui frekuensi kerjanya adl 5 rad/s
Jawab: Mula2 stp komponen pasif diubah mjd impedans-nya
masing2 shg rangkaian berubah mjd:
22 / 23
Phasor
Impedans
Contoh #2: Impedans Ekivalen [2]
Impedans 6 Ω terhubung paralel dgn −j 0.4 Ω shg
(6)(−j 0.4)
= 0.02655 − j 0.3982 Ω
6 − j 0.4
yg kemudian terhubung seri dgn kedua2 impedans −j Ω dan j 10 Ω
shg
0.02655 − j 0.3982 − j + j 10 = 0.02655 + j 8.602 Ω
Impedans baru ini lalu terhubung paralel dgn resistor 10 Ω shg
impedans ekivalen adl
10 k (0.02655+j 8.602) =
(10)(0.02655 + j 8.602)
= 4.255+j 4.929 Ω
10 + 0.02655 + j 8.602
Atau impedans ekivalen dpt jg dinyatakan dlm bentuk polar:
6.511 ∠ 49.20◦
23 / 23