distribusi normal - Situs Resmi Fakultas Peternakan Unram

DISTRIBUSI NORMAL
 Distribusi normal atau sering disamakan dengan
kurve normal atau distribusi probabilitas normal
atau distribusi Gaussian adalah suatu distribusi
kontinyu dari suatu populasi yang tak terhingga.
 Batas nilai paling kecil = - tak terhingga dan
batas paling besar = + tak terhingga.
 Distribusi normal dapat digambarkan sebagai kurve
di atas sumbu X sehingga probabilitas suatu peristiwa
(a ≤ X ≥ b) sama dengan luas di bawah kurve dari a
sampai b.
 P (a ≤ X ≥ b) = luas di bawah kurve Y = f (X) dari a
sampai b.
KARAKTERISTIK DISTRIBUSI NORMAL
1. Berbentuk kurve menyerupai lonceng (Gb.1)
2. Berbentuk kurve simetris terhadap nilai ratarata sehingga dibelah menjadi dua akan
menjadi dua sama besarnya. Secara
matematis ditulis:
P( X   )  P( X   )  0,5
3. Karena simetris besar Mean, Median, dan
Modus sama
4. Bersifat asymptotic: kurve men.dekati sumbu
X tetapi tidak pernah menyentuh sumbu X
Lanjutan ….
5. Nilai rata-rata (µ) merupakan titik
pusat dengan deviasi standar yang
menunjukkan dispersi distribusi (  ).
Semakin besar deviasi standar
semakin lebar dan datar kurve
normalnya.
6. Area dibawah kurve normal
menunjukkan probabilitas variabel
random dan total area dibawah kurve
adalah 1 (satu).
Gb. 1. Kurve Normal

Mean=Median=Modus

Y = f (X)
Luas terarsir = jumlah
probabilitas antara a dan b
Tinggi garis = kepadatan f (X)
dari probabilitas pada titik c
O
a
c
b
Gb. 1. Kurve normal
• Tinggi kurve di atas sumbu-X pada suatu titik X
sama dengan kepadatan (density) f(X) dari
probabilitas pada titik itu.
• Dengan demikian: P (a ≤ X ≥ b) = luas di bawah
kurve Y = f (X) dari a sampai b.
• Jumlah luas di bawah kurve Y = f(X) pada seluruh
sumbu-X adalah sama dengan satu (1) atau 100%.
• Probabilitas variabel X pada suatu titik tertentu c
adalah 0 atau P (X =c) = 0), karena setiap variabel
kontinyu pada kurve ini hanya berupa satu garis
lurus yang luasnya sama dengan nol (luas =
panjang x lebar = c x 0 = 0).
 P (X=c) =0
 Untuk sembarang dua bilangan konstan a < b dapat
ditulis: P(a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P ( a ≤ X < b)
= P (a < X < b).
1
e
 Y 
2
X  2
1 (
)
2 
Y = tinggi ordinat dari kurve pada titik X
 = deviasi standar dari populasi normal
 = rata-rata dari populasi normal
 = 3, 1416 = 22/7
e = angka konstante = 2,7183
X = variabel kontinyu.
2

N(
; )
X
Dibaca: fungsi X menyebar normal dengan nilai
tengah

dan nilai keragaman

2
.
Y = f (Z)
0
z
DISTRIBUSI NORMAL STANDAR
Z
N (0; 1).
P (z ≤ 0 ) = p ( z ≥ 0) = 0,5
KARENA LUAS KURVE NORMAL = 1
Y
P ( 0 ≤ Z ≥ b ) = luas terarsir
0
b
z
P (- b ≤ Z ≥ b ) = luas
terarsir
-b
0
b
z
-3
µ -3

µ -2

-2
-1
0
1
µ -1 
µ
µ +1
68,26%
95,44%
99,74%
2
3
µ +2
Skala Z
µ +3
Skala X
TIGA DAERAH KURVE NORMAL
1. Sekitar 68% area dibawah kurve
besarnya 1 SD dari rata-rata:   1
2. Sekitar 95% area dibawah kurve
besarnya 2 SD dari rata-rata:   2
3. Sekitar 99,74% dibawah kurve
besarnya 3 SD dari rata-rata:   3
PERHITUNGAN
Distribusi normal (skala X) harus dirubah ke
distribusi normal standar (skala Z). Nilai Z = nilai
normal standar.
Rumus:
X 
Z

X = nilai observai, µ = nilai rata-rata distribusi,
dan  = standar deviasi
CONTOH PERHITUNGAN
1. Misal, X mendekati normal dengan nilai ratarata 7 dan varians 4 maka P (3 ≤ X ≤ 11)
adalah :
3  7 X  7 11  7
 P(


)
2
2
2
 P(2  Z  2)
= 0,9544
2. Andaikan nilai ujian statistika mahasiswa
Fakultas Peternakan berdistribusi normal
dengan nilai rata-rata 63,5 dan standar
deviasi 10,5. Jika seorang mahasiswa dipilih
secara random dari populasi, hitunglah
probabilitasnya bahwa dia:
a. Memiliki nilai antara 40 dan 65
b. Memiliki nilai lebih besar dari 66
c. Memiliki nilai lebih kecil dari 45
Jawaban no. 2:
40

63
,
5
X

63
,
5
65

63
,
5
a. P(


)
10,5
10,5
10,5
P(2,24  Z  0.14)
0, 4875 + 0,0557 = 0,5432
b.
x  63,5 66  63,5
P(

)
10,5
10,5
P (Z ≥ 0,24)