PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS

PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF
MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG
Mira Amalia, Siswanto, dan Bowo Winarno
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atau
prinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbol atau huruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang dinilai baru adalah aljabar
maks-plus. Penelitian ini membahas tentang penerapan sistem persamaan linear iteratif
maks-plus pada masalah lintasan terpanjang. Hasil dari pembahasan merupakan kajian
teoritis yang didasarkan literatur dan suatu perhitungan menggunakan program MATLAB yang mengacu pada Rudhito. Hasil tersebut menunjukkan bahwa jaringan dengan
bobot waktu tempuh dapat dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dinyatakan
dengan matriks atas aljabar maks-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dilakukan
melalui operasi star (∗) pada matriks bobot jaringannya. Lintasan terpanjang ditentukan dengan perhitungan menggunakan metode PDM pada analisis lintasan kritis jaringan
proyek. Selanjutnya, memodelkan waktu tempuh perjalanan pada jaringan ke dalam
suatu sistem persamaan linear (SPL) iteratif maks-plus. Dari penyelesaian SPL iteratif
maks-plus ini, dapat ditentukan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir untuk
masing-masing titik. Titik-titik dengan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir
yang sama akan membentuk lintasan terpanjang dalam jaringan.
Kata Kunci: aljabar maks-plus, sistem persamaan linear, lintasan terpanjang.
1. Pendahuluan
Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atau
prinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbol atau
huruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang dinilai baru adalah
aljabar maks-plus. Pada pembahasan Rudhito [4], aljabar maks-plus diperkenalkan
sekitar tahun 1950 dan berkembang dengan pesat pada tahun 1990. Selain aljabar
maks-plus, dalam Bacelli et al. [1], Gondran and Minoux [2] dan John and George
[3] telah disinggung beberapa jenis aljabar yang serupa dengan aljabar maks-plus,
seperti aljabar min-plus dengan operasi minimum dan penjumlahan serta aljabar
maks-min dengan operasi maksimum dan minimum.
Aljabar maks-plus merupakan suatu struktur aljabar yang semesta pembicaraannya merupakan gabungan dari himpunan bilangan real dan negatif tak terhingga
yaitu R ∪ {−∞}. Aljabar maks-plus dilengkapi dengan operasi maksimum yang dinotasikan dengan ⊕, dan operasi penjumlahan dinotasikan dengan ⊗. (R ∪ {−∞})
dinotasikan dengan Rε , dengan ε merupakan −∞. Aljabar maks-plus (Rε , ⊕, ⊗)
dinotasikan dengan Rmaks .
Penyelesaian aljabar maks-plus diselesaikan dengan sistem persamaan linear
maks-plus, salah satunya adalah sistem persamaan linear (SPL) iteratif maks-plus.
SPL iteratif maks-plus mempunyai bentuk umum x = A ⊗ x ⊕ b, dengan x, b ∈ Rnε
. SPL iteratif maks-plus dapat digunakan untuk menyelesaiakan
dan A ∈ Rn×n
ε
1
Penerapan Sistem Persamaan Linear Iteratif . . .
M. Amalia, Siswanto, B. Winarno
masalah dalam aljabar maks-plus. Masalah-masalah yang terkait dalam aljabar
maks-plus mengenai lintasan terpendek, terpanjang, dan kapasitas maksimum suatu lintasan. Aplikasi dari masalah aljabar maks-plus yang dapat dijumpai adalah
penjadwalan penerbangan pesawat di bandara, penjadwalan keberangkatan kereta
api, menentukan jalur tercepat, model sistem antrian, sistem produksi sederhana,
dan penentuan lintasan kritis.
Penelitian sebelumnya, Rudhito [4] meneliti mengenai sistem persamaan linear
iteratif maks-plus dan penerapannya pada masalah lintasan terpanjang dan terpendek jaringan proyek dengan metode PERT-CPM. Metode PERT-CPM terdiri dari
dua istilah, yaitu PERT (Program Evaluation and Review Technique) atau teknik
menilai dan meninjau program dan CPM (Critical Path Method ) atau metode jalur kritis. Metode PERT-CPM ini dapat membantu dalam menentukan lintasan
terpanjang (mengenai jadwal kegiatan apabila terjadi penundaan dalam proyek).
Penerapan jaringan proyek tersebut permasalahannya mengacu pada Taha [7]. Hasil penelitian Rudhito [4] menunjukkan jaringan proyek dengan metode PERT-CPM
yang dikonstruksikkan ke dalam graf terlalu panjang dan terdapat dummy (pengulangan proyek).
Pada penelitian ini dibahas mengenai sistem persamaan linear iteratif maksplus yang diterapkan pada masalah penjadwalan proyek untuk menentukan lintasan
terpanjang. Penentuan lintasan terpanjang ini menggunakan metode PDM, agar
dikonstruksikan ke dalam graf lebih sederhana dan tidak terdapat dummy (pengulangan proyek). Menurut Soeharto [5], metode PDM tidak jauh berbeda dengan
metode PERT-CPM, perbedaannya metode PDM dipengaruhi oleh konstrain dalam
masalah penjadwalan proyek. Metode PDM ini merupakan metode jalur kritis yang
digunakan pada masalah utama untuk menentukan jadwal kegiatan agar kegiatan
dapat terselesaiakan secara tepat waktu. Selain dengan metode PDM, penelitian ini
juga menggunakan software MATLAB untuk mencari lintasan terpanjangnya.
2. Landasan Teori
2.1. Aljabar Maks-Plus. Aljabar maks-plus merupakan suatu struktur aljabar
yang semesta pembicaraannya merupakan gabungan dari himpunan bilangan real
dan negatif tak terhingga (R ∪ {−∞}) yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan
(⊗) dan maksimum (⊕). Aljabar maks-plus tersebut dapat dioperasikan menjadi
∀a, b ∈ Rε , dengan a ⊕ b := maks(a, b) dan a ⊗ b := a + b. Struktur aljabar maksplus (Rε , ⊕, ⊗) adalah semiring komutatif idempoten dengan elemen netral ε = −∞
dan elemen satuan e = 0. (Rε , ⊕, ⊗) merupakan semifield, jika (Rε , ⊕, ⊗) adalah
semiring komutatif untuk setiap a ∈ R terdapat −a maka a ⊗ (−a) = 0.
2
2017
Penerapan Sistem Persamaan Linear Iteratif . . .
M. Amalia, Siswanto, B. Winarno
2.2. Matriks Atas Aljabar Maks-Plus. Pada aljabar maks-plus dapat dibentuk
suatu matriks Rm×n
, dengan himpunan semua matriks atas aljabar maks-plus adalah
ε
m×n
Rε
:= {A = (Aij )|Aij ∈ Rε , untuk i= 1, 2, . . . , m dan j=1, 2, . . . , n}. A, B ∈
m×n
Rε
didefinisikan A ⊕ B, dengan (A ⊕ B)ij = Aij ⊕ Bij . Matriks A ∈ Rm×p
,
ε
⊕p
p×n
B ∈ Rε didefinisikan A ⊗ B, dengan (A ⊗ B)ij = k=1 Aik ⊗ Bkj . Matriks atas
aljabar maks-plus, didefinisikan suatu matriks E ∈ Rεn×n dengan
{
0, jika i = j;
(E)ij :=
,
ε, jika i ̸= j.
dan matriks ε ∈ Rεm×n , (ε)ij := ε untuk setiap i dan j. Pangkat k matriks A ∈ Rn×n
ε
⊗0
⊗k
⊗ k−1
untuk k = 1, 2, . . . .
didefinisikan dengan A = En dan A := A ⊗ A
2.3. Teori Graf dalam Aljabar Maks-Plus. Graf berarah G = (V, A) dengan
V = 1, 2, · · · , p, dikatakan terbobot jika setiap busur (j, i) ∈ A dikawankan dengan
suatu bilangan real Aij . Bilangan real Aij disebut bobot busur (j, i), yang dilambangkan dengan w(j, i). Bobot suatu lintasan didefunisikan sebagai jumlahan bobot
busur-busur yang menyusun lintasan tersebut. Suatu lintasan disebut sirkuit jika titik awal dan titik akhirnya sama. Lintasan terpanjang didefinisikan sebagai lintasan
dengan bobot maksimum. Graf preseden dari matriks A ∈ Rεn×n adalah graf berarah
berbobot G(A) = (V, A) dengan V = 1, 2, . . . , n, A = (j, i)|w(i, j) = Aij ̸= ε, ∀i, j.
Matriks bobot graf G dengan A ∈ Rn×n
didefinisikan sebagai berikut
ε
{
w(j, i), jika (j, i) ∈ A;
Aij =
ε,
jika (j, i) ∈
/ A.
Matriks bobot graf dengan A ∈ Rn×n
dan k ∈ N, untuk matriks (A⊗ )st merupakan
ε
bobot maksimum semua lintasan dalam G(A) dengan panjang k, t sebagai titik awal
dan s sebagai titik akhirnya.
dikatakan semi definit untuk semua sirkuit dalam G(A)
Matriks A ∈ Rn×n
ε
mempunyai bobot takpositif dan dikatakan definit untuk semua sirkuit dalam G(A)
p
mempunyai bobot negatif. Jika A semi definit, maka ∀p ≥ n, A⊗ ≼m E ⊕ A ⊕ . . . ⊕
n−1
A⊗ . Selanjutnya, matriks semi definit A ∈ Rεn×n dapat didefinisikan sebagai A∗
n
n+1
:= E ⊕ A ⊕ . . . ⊕ A⊗ ⊕ A⊗
⊕ . . ..
n
Didefinisikan Rε := {x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T |xi ∈ Rε , 1 = 1, 2, . . . , n}. Untuk
setiap x, y ∈ Rnε dan ∀α ∈ Rε berturut-turut didefinisikan operasi penjumlahan
dan operasi perkalian skalar yaitu x ⊕ y = [x1 ⊕ y1 , x2 ⊕ y2 , . . . , xn ⊕ yn ]T dan
α ⊗ x = [α ⊗ x1 , α ⊗ x2 , . . . , α ⊗ xn ]T . Matriks A ∈ Rεn×n dan b ∈ Rnε , jika A semi
definit, maka vektor x∗ = A∗ ⊗b merupakan suatu penyelesaian sistem x = A⊗x⊕b.
Jika A definit, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.
k
3
2017
Penerapan Sistem Persamaan Linear Iteratif . . .
M. Amalia, Siswanto, B. Winarno
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Penentuan Masalah Lintasan Terpanjang. Penyelesaian masalah lintasan
terpanjang dalam penjadwalan proyek ini digunakan perhitungan maju (forward )
dan mundur (backward ) dengan metode PDM. Metode PDM merupakan activity
network diagram yang memiliki jaringan kerja yang lebih sederhana karena kegiatan atau tugas-tugas yang digambarkan pada node (simpul/sambungan jalur). Pada
metode PDM ini dapat dilakukan analisis terhadap jadwal waktu penyelesaian jaringan proyek dengan pendekatan aljabar maks-plus.
Definisi 3.1. Suatu jaringan proyek S adalah suatu graf berarah berbobot terhubung
kuat taksiklik S = (V, A), dengan V = 1, 2, . . . , n yang memenuhi : jika (i, j) ∈ A,
maka i < j.
Selanjutnya, dapat dilakukan analisis lintasan terpanjang yaitu lintasan dengan waktu tempuh maksimum. Pembahasan untuk pertama kali diawali dengan
menentukan waktu awal paling cepat (earliest start time) untuk setiap persimpangan titik i dapat dilalui. Teknik perhitungan maju dengan metode PDM diperoleh
berdasarkan teorema berikut.
Teorema 3.1. Jika suatu jaringan proyek dalam n titik, maka vektor saat mulai
paling awal yang berasal dari titik i pada jaringan tersebut yaitu
xe = (E ⊕ A ⊕ . . . ⊕ A⊗n−1 ) ⊗ be
dengan A adalah matriks bobot dari graf berarah terbobot jaringan tersebut dan vektor
be = [0, ε, . . . , ε]T , serta xen adalah waktu minimal penyelesaian proyek.
Bukti. Misalkan xei = ES(i) menyatakan waktu awal paling cepat titik i dapat dilalui,
{
waktu tempuh dari titik j ke titik i (kosntrain), jika (j, i) ∈ A ;
Aij =
ε,
jika (j, i) ∈
/ A.
Pembahasan ini, diasumsikan bahwa perjalanan dalam jaringan dimulai pada
titik 1 saat waktu tempuh dengan durasi sama dengan nol, yaitu xei =0. Diasumsikan
juga tidak ada waktu singgah di setiap kegiatan proyek sehingga dapat dituliskan
{
0,
jika i = 1 ;
e
xi =
e
maks1≤j≤n (Aij + xj ), jika i > 1.
Menggunakan notasi aljabar maks-plus persamaan diatas dapat dituliskan
{
0,
jika i = 1 ;
e
⊕
xi =
e
jika i > 1.
1≤j≤n (Aij ⊗ xj ),
(3.1)
Misalkan A adalah matriks bobot graf S, xe = [0, xe1 , xe2 , . . . , xen ]T dan be = [0, ε, . . . , ε]T ,
persamaan (3.1) dapat dituliskan ke dalam suatu sistem persamaan linear iteratif
4
2017
Penerapan Sistem Persamaan Linear Iteratif . . .
M. Amalia, Siswanto, B. Winarno
maks-plus sebagai berikut
xe = A ⊗ xe ⊕ be .
(3.2)
Jika jaringan proyek merupakan graf berarah tak siklik, maka tidak terdapat sirkuit
sehingga semua sirkuit dalam jaringan mempunyai bobot tak positif. Sehingga
xe = A ⊗ be
(3.3)
merupakan penyelesaian tunggal sistem persamaan (3.2) diatas. Jika jumlah titik
dalam jaringan proyek adalah n, maka panjang lintasan terpanjang jaringan tidak
melebihi n − 1. Persamaan (3.3) dapat ditulis menjadi
xe = A∗ ⊗ be = (E ⊕ A ⊕ . . . ⊕ A⊗n−1 ) ⊗ be
yang merupakan vektor saat mulai paling awal yang berasal dari titik i. Jadi dapat
diperoleh bahwa (A∗ ) merupakan bobot maksimum lintasan dari titik awal hingga
titik akhir proyek, sehingga xen merupakan waktu minimal penyelesaian proyek. Selanjutnya dengan teknik perhitungan mundur menggunakan metode PDM
dengan pendekatan aljabar maks-plus diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Teorema 3.2. Diberikan suatu jaringan lintasan searah dengan n titik dan A adalah
matriks terbobot. Vektor waktu paling akhir perjalanan didefinisikan
xl = −((AT ) ∗ ⊗bl )
dengan bl = [ε, ε, . . . , −xen ]T .
Bukti. Misalkan LSi = xli menyatakan saat penyelesaian paling lambat untuk semua
kegiatan yang datang ke titik i,
{
waktu tempuh dari titik i ke titik j dengan durasi, jika (j, i) ∈ A ;
Bij =
ε(= −∞),
jika (j, i) ∈
/ A.
Diasumsikan bahwa xln = xen , kemudian dapat dituliskan
{
jika i = n ;
xen ,
l
xi =
l
min1≤j≤n (−Bij + xj ), jika i > 1.
(3.4)
Selanjutnya, dengan notasi aljabar maks-plus persamaan (3.4) ekuivalen dengan
{
jika i = n ;
xen ,
(3.5)
−xli =
l
maks1≤j≤n (Bij − xj ), jika i > 1.
Perhatikan bahwa matriks B = AT , misalkan z = [z1 , z2 , . . . , zn ]T =
−xl = [−xl1 , −xl2 , . . . , −xln ]T dan bl = [ε, ε, . . . , −xen ]T , persamaan (3.5) dapat dituliskan menjadi
z = AT ⊗ z ⊕ bl
5
(3.6)
2017
Penerapan Sistem Persamaan Linear Iteratif . . .
M. Amalia, Siswanto, B. Winarno
yang penyelesaiannya adalah
z = (AT ) ∗ ⊗bl
sehingga diperoleh vektor saat paling lambat adalah xl = −z. Jadi, sistem persamaan linear iteratif maks-plus dapat dimodelkan dalam sistem penjadwalan proyek dengan metode PDM untuk mencari lintasan terpanjangnya. Persamaan xe =
A∗ ⊗ be = (E ⊕ A ⊕ . . . ⊕ A⊗n−1 ) ⊗ be digunakan untuk menentukan vektor paling
awal dan z = (AT ) ∗ ⊗bl menentukan vektor saat paling lambat, dari vektor tersebut
dapat ditentukan lintasan terpanjangnya.
3.2. Penerapan. Penerapan ini mengacu pada Jurnal Oka Suputra, I. G. N [6].
Suatu perusahaan akan melakukan sebuah pembangunan proyek. Pembangunan
proyek tersebut dibagi menjadi lima kegiatan, yaitu kegiatan A, B, C, D, dan E.
Masing-masing kegiatan memiliki waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pembangunan proyek, yaitu kegiatan A selama 6 hari, kegiatan B selama 4 hari, kegiatan
C selama 9 hari, kegiatan D selama 5 hari, dan kegiatan E selama 7 hari. Setiap
kegiatan proyek memiliki ketentuan hubungan dengan kegiatan lainnya. Ketentuan hubungan pada proyek ini adalah kegiatan A merupakan kegiatan dimulainya
proyek akan berlangsung, kegiatan B belum dimulai proyek setelah selesainya kegiatan A. Kegiatan C dapat dimulai setelah kegiatan A berlangsung selama 3 hari,
dan kegiatan D selesai 3 hari lebih dahulu dari kegiatan B. Kegiatan E selesai 2
hari lebih dahulu dari kegiatan C, serta kegiatan D dan E dapat dilaksanakan secara bersama-sama. Data penjadwalan pembangunan sebuah proyek di atas adalah
sebagai berikut.
Tabel 1. Data dari lima kegiatan proyek
No Kegiatan Durasi (hari)
1
A
6
2
B
4
3
C
9
4
D
5
5
E
7
Konstrain
F S(1 → 2) = 0
SS(1 → 3) = 3
F F (2 → 4) = 3
F F (3 → 4) = 2
SS(4 → 5) = 0
Tabel 1 menyatakan data proyek yang terdiri dari lima kegiatan dan direpresentasikan dalam graf berarah PDM pada Gambar 1.
6
2017
Penerapan Sistem Persamaan Linear Iteratif . . .
M. Amalia, Siswanto, B. Winarno
Gambar 1. Hubungan antar kegiatan dalam PDM
Berdasarkan Teorema 3.1 dan Gambar 1 diperoleh hasil teknik perhitungan
maju dengan metode PDM sebagai berikut.
(1) ES1 = x1e = 0
EF1 = xl1 = xe1 ⊗ D1 = 0 ⊗ 6 = 6
(2) ES2 = x2e = xe1 ⊗ F S(1 → 2) = 6 ⊗ 0 = 6
EF2 = xl2 = 6 ⊗ D2 = 6 ⊗ 4 = 10
(3) ES3 = x3e = 0 ⊗ F S(1 → 3) = 0 ⊗ 3 = 3
EF3 = xl3 = 3 ⊗ D3 = 3 ⊗ 9 = 12
(4) ES4 = x4e = xe2 ⊗ F F (2 → 4) ⊗ (−D4 ) = 10 ⊗ 3 ⊗ (−5) = 8
xe4 = xe3 ⊗ F F (3 → 4) ⊗ (−D4 ) = 12 ⊗ 2 ⊗ (−5) = 9
⊕
ES4 = maks(8, 9) = (8, 9) = 9
EF4 = xl4 = 9 ⊗ D4 = 9 ⊗ 5 = 14
(5) ES5 = x5e = xe4 ⊗ SS(4 → 5) = 9 ⊗ 0 = 9
EF5 = xl5 = 9 ⊗ D5 = 9 ⊗ 7 = 16
Jadi, dengan pehitungan maju (forward) diperoleh waktu minimal penyelesaian proyek adalah 16 hari.
Berdasarkan Teorema 3.2 dan Gambar 1 diperoleh hasil teknik perhitungan
mundur sebagai berikut.
(1) LF5 = xl5 = xe5 = 16
LS5 = xe5 = 9
(2) LF4 = xl4 = xe5 ⊗ (−SS(4 → 5)) ⊗ D4 = 9 ⊗ (−0) ⊗ 5 = 14
LS4 = xe4 = 14 ⊗ (−D4 ) = 14 ⊗ (−5) = 9
(3) LF3 = xl3 = xl4 ⊗ (−F F (3 → 4)) = 14 ⊗ (−2) = 12
LS3 = xe3 = 12 ⊗ (−D3 ) = 12 ⊗ (−9) = 3
(4) LF2 = xl2 = xl4 ⊗ (−F F (2 → 4)) = 14 ⊗ (−3) = 11
LS2 = xe2 = 11 ⊗ (−D2 ) = 11 ⊗ (−4) = 7
(5) LF1 = xl1 = xl2 ⊗ (−F S(1 → 2)) = 7 ⊗ (0) = 7
LF1 = xl1 = xl3 ⊗ (−SS(1 → 3)) ⊗ D3 = 3 ⊗ (−3) ⊗ 6 = 6
7
2017
Penerapan Sistem Persamaan Linear Iteratif . . .
M. Amalia, Siswanto, B. Winarno
min(7, 6) = 6
LS1 = xe1 = 6 ⊗ (−D1 ) = 6 ⊗ (−6) = 0
Dari teknik perhitungan maju dan mundur, diperoleh matriks bobot graf berarah terbobot pada jaringan proyek di atas adalah matriks A sebagai berikut.








ε ε ε ε ε
0 ε ε ε ε
0
0
 0 ε ε ε ε 
 6 0 ε ε ε 
 6 
 2 
















A =  3 ε ε ε ε , A∗ =  3 ε 0 ε ε , xe =  3 , xl =  3 








 ε 10 12 ε ε 
 9 6 3 ε ε 
 9 
 9 
ε ε ε 9 ε
16 9 9 6 ε
16
16
Waktu tempuh minimal untuk melintasi lintasan adalah 16 hari dan lintasan terpanjang yang diperoleh adalah lintasan A → SS(1 → 3) → C → F F (3 → 4) →
D → SS(4 → 5) → E.
4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa jaringan lintasan searah dengan bobot waktu tempuh dimodelkan sebagai graf berarah terbobot
yang dinyatakan matriks atas aljabar maks-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dilakukan melalui operasi star (∗) pada matriks bobot jaringan. Lintasan
terpanjang ditentukan melalui penentuan waktu awal paling cepat untuk melewati
titik dan waktu paling akhir meninggalkan titik, untuk masing-masing titik pada
jaringan. Waktu tempuh perjalanan pada jaringan dimodelkan dalam suatu sistem
persamaan linear (SPL) iteratif maks-plus dengan metode PDM. Selanjutnya dalam
menyelesaikan SPL iteratif maks-plus ditentukan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir yang sama, sehingga membentuk lintasan terpanjang pada jaringan.
Dari contoh Gambar 1 mengenai jaringan proyek dapat diperoleh nilai A, A∗ , xe dan
xl , serta waktu tempuh maksimal untuk melintasi lintasan adalah 16 hari yang artinya, waktu maksimal penyelesaian pembangunan proyek dapat terselesaikan secara
tepat waktu selama 16 hari.
Daftar Pustaka
1. Bacelli, F., G. Cohen, G. J. Olseder, and J. P. Quadrat, Synchronization and linearity, John
Wiley and Sons,Inc., New York, 2001.
2. Gondran, M. and M. Minoux, Graph, Diods, and Semirings, Springer, New York, 2008.
3. John, S. B. and T. George, Path Problems in Networks, Morgan and Claypool Publishers, 2010.
4. Rudhito, M. A., Aljabar Max-Min Interval Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan,
dan Penerapan Mipa, 18 Mei 2013.
5. Soeharto, I., Manajemen Pproyek dari Konseptual sampai Operasional, (1995).
6. Oka Suputra, I.G.N, Penjadwalan Proyek Dengan Precedence Diagram Method (PDM) dan
Ranked Position Weight Method (RPWM), Jurnal Ilmiah Teknik Sipil 15 (2011), no. 1.
7. Taha, H. A., Riset Operasi Jilid 2 Terjemahan, Binarupa Aksara, Jakarta, 1996.
8
2017