Persamaan Diferensial - Universitas Brawijaya

TKS 4003
Matematika II
Persamaan Diferensial
– Linier Non Homogen Tk. 2 –
(Differential: Linier Non Homogen Orde 2)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
PD linier non homogen orde 2
Solusi umum PD linier non homogen orde 2 merupakan
jumlah dari solusi PD homogen (yh) dan solusi pelengkap
(yp) dan dituliskan sebagai :
y = yh + yp
(12)
Solusi homogen (yh) dicari seperti pembahasan sebelumnya,
sedangkan solusi pelengkap (yp) menggunakan 2 metode
yaitu :
1. Metode koefisien tak tentu
2. Metode variasi parameter
1
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
1. Metode Koefisien Tak Tentu
Jika f(x) merupakan fungsi polinom, eksponen, sinus,
atau cosinus, maka solusi pelengkap yp dapat dimisalkan
sebagai jumlah dari f(x) dan semua turunannya seperti
tabel berikut :
f(x)
Yp
xn
An xn + An-1 xn-1 + … + A1 x + A0
eax
A eax
x eax
A eax + B x eax
sin ax
A cos ax + B sin ax
cos ax
A sin ax + B cos ax
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
Selanjutnya yp, yp’, dan yp” disubstitusikan kedalam PD
untuk mencari nilai dari koefisiennya.
Contoh 4 :
Tentukan solusi umum dari PD :
y” – y = - 3 e2x
Jawab :
Akar karakteristik PD, m = E 1
Solusi homogen, yh = C1 ex + C2 ex
Solusi pelengkap, yp = A e2x
2
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
Substitusikan solusi pelengkap dan turunan keduanya ke
dalam PD :
4 A e2x - A e2x= - 3 e2x
didapatkan A = -1, sehingga solusi pelengkap :
yp = - e2x
Solusi umum PD :
y = C1 ex + C2 ex-e2x
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
Contoh 5 :
Tentukan solusi umum dari PD :
y” + y = 6 sin 2x
Jawab :
Akar karakteristik PD, m = E 1
Solusi homogen, yh = C1 cos x + C2 sin x
Solusi pelengkap, yp = A cos 2x + B sin 2x
3
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
Substitusikan solusi pelengkap dan turunan keduanya ke
dalam PD, didapatkan A = 0, dan A = - 2, sehingga solusi
pelengkap :
yp = - 2 sin 2x
Solusi umum PD :
y = C1 cos x + C2 sin x- 2 sin 2x
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
Diagram Alir Penyelesaian
dengan Metode Koefisien
Tak Tentu
4
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
2. Metode Variasi Parameter
Metode untuk menentukan penyelesaian khusus PD linier
non homogen dengan koefisien variabel. Prinsip metode
ini adalah mengubah variabel konstanta Ck dengan variasi
parameter vk(x). Misal pada PD non homogen orde 2
konstanta C1 dan C2 pada solusi umum PD homogen
yh = C1 y1(x) + C2 y2(x) diubah dengan variasi parameter
v1(x) dan v2(x), sehingga solusi khusus PD non homogen
yp = v1(x) y1(x) + v2(x) y2(x). Metode ini lebih umum
daripada
metode
koefisien
tak
tentu
yang
memeperhatikan bentuk fungsi f(x).
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
Jika yh = C1 y1 + C2 y2 merupakan solusi homogen PD :
y” + py’ + qy = f(x), maka solusi pelengkap dimisalkan :
yp = v1 y1 + v2 y2
Fungsi v1(x) dan v2(x) merupakan fungsi parameter, jika
solusi pelengkap diturunkan sekali lagi :
yp’ = (v1’ y1 + v2’ y2) + (v1 y1’ + v2 y2’)
Dipilih persamaan syarat : v1’ y1 + v2’ y2 = 0, sehingga
diperoleh turunan keduanya :
yp” = (v1’ y1’ + v2’ y2’) + (v1 y1” + v2 y2”)
5
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
Substitusikan yp, yp’, dan yp” ke dalam PD, dan diperoleh :
v1’ y1’ + v2’ y2’ = f(x)
Fungsi parameter v1(x) dan v2(x) diperoleh dari solusi SPL
dalam v1’ dan v2’ :
v1’ y1 + v2’ y2 = 0
v1’ y1’ + v2’ y2’ = f(x)
Dengan metode Crammer diperoleh :
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
𝟎
𝒚𝟐
𝒇(𝒙) 𝒚𝟐 ′
𝒗′𝟏 = 𝒚
𝒚𝟐 ⟹ 𝒗𝟏 =
𝟏
𝒚 𝟏 ′ 𝒚𝟐 ′
−𝒚𝟐 𝒇(𝒙)
𝒅𝒙
𝒚𝟏 𝒚′𝟐 − 𝒚𝟐 𝒚𝟏 ′
𝒚𝟏
𝟎
𝒚 ′ 𝒇(𝒙)
𝒗′𝟐 = 𝒚𝟏
𝒚𝟐 ⟹ 𝒗𝟐 =
𝟏
𝒚𝟏 ′ 𝒚𝟐 ′
𝒚𝟏 𝒇(𝒙)
𝒅𝒙
𝒚𝟏 𝒚′𝟐 − 𝒚𝟐 𝒚𝟏 ′
6
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
Contoh 6 :
Tentukan solusi umum dari PD :
y” + y = sec x
Jawab :
Akar karakteristik PD, m = E i
Solusi homogen, yh = C1 cos x + C2 sin x
Solusi pelengkap, yp = v1(x) cos 2x + v2(x) sin 2x
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
Fungsi parameter v1(x) dan v2(x) diselesaikan dari SPL
berikut :
v1’(x) cos x + v2’ (x) sin x = 0
-v1’(x) sin x + v2’ (x) cos x = sec x
Dengan metode Crammer diperoleh :
𝟎
𝒚𝟐
𝟎
𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙
𝒇(𝒙)
𝒚
𝟐′
𝐬𝐞𝐜
𝒙
𝐜𝐨𝐬
𝒙
′
𝒗𝟏 = 𝒚
= −𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝒚𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = −
𝟏
𝟏
𝒚𝟏 ′ 𝒚𝟐 ′
−𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙
⟹ 𝒗𝟏 (𝒙) = 𝐥𝐧 (𝐜𝐨𝐬 𝒙)
7
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
𝒚𝟏
𝟎
𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝟎
𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙
𝒚
′
𝒇(𝒙)
𝟏
−𝐬𝐢𝐧
𝒙
𝐬𝐞𝐜
𝒙
′
𝒗𝟐 = 𝒚
=𝟏
𝒚𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 =
𝟏
𝟏
𝒚𝟏 ′ 𝒚𝟐 ′
−𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙
⟹ 𝒗𝟐 𝒙 = 𝒙
Solusi pelengkap :
yp = ln (cos x) cos x + x sin x
Solusi umum PD :
y = C1 cos x + C2 sin x + ln (cos x) cos x + x sin x
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
Diagram Alir Penyelesaian
dengan Metode Variasi
Parameter
8
PD linier non homogen orde 2
(lanjutan)
Latihan :
Tentukan solusi umum PD berikut :
1. y”-4y’+2yJ2x2
4. y”-2y’+yJe x
2. y”+3y’+2yJ12x2
5. y”+yJcos x
-x
3. y”-3y’-4yJe
6. y”+yJtan x
Tentukan solusi khusus PD berikut :
7. y”+yJ2x ; y(0)J1 , y’(0)J2
8. y”+2y’+yJx ; y(0)J-2 , y’(0)J2
9. y”+2y’+5yJ8e -x ; y(0)J0 , y’(0)J8
10. y”+yJ10e x ; y(0)J0 , y’(0)J0
Terima kasih
dan
Semoga Lancar Studinya!
9