Distribusi Statistika Terurut

Review Statistik Terurut Quantile
Distribusi Statistika Terurut
bagian ketiga
Andi Kresna Jaya
[email protected]
Jurusan Matematika
May 31, 2014
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Outline
1
Review
2
Statistik Terurut
3
Quantile
Back
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Outline
1
Review
2
Statistik Terurut
3
Quantile
Back
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Outline
1
Review
2
Statistik Terurut
3
Quantile
Back
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Sasaran pembelajaran: Kemampuan mahasiswa memahami
konsep statistika terurut
1
2
3
Kemampuan memahami konsep peluang, peubah acak,
sampel, dan statistik
Ketepatan dalam penjelasan definisi statistika terurut
Ketepatan dalam menentukan fkp marginal dari statistik
terurut
Metode: Kuliah dan Diskusi
Text book: Hogg dan Craig, Introduction to
Mathematical Statistics; Casella dan Berger,
Statistical Inference
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Opening
N
: Do you love your math than me?
L
: Of course not, dear - I love so much more.
N
: Then prove it.
L
: Ok... Let R be the set of all loveable object...
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Opening
N
: Do you love your math than me?
L
: Of course not, dear - I love so much more.
N
: Then prove it.
L
: Ok... Let R be the set of all loveable object...
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Opening
N
: Do you love your math than me?
L
: Of course not, dear - I love so much more.
N
: Then prove it.
L
: Ok... Let R be the set of all loveable object...
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Opening
N
: Do you love your math than me?
L
: Of course not, dear - I love so much more.
N
: Then prove it.
L
: Ok... Let R be the set of all loveable object...
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Fkp
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak berukuran n dari
distribusi X yang mempunyai fkp f (x), untuk a < x < b.
Misalkan Y1 < Y2 < · · · < Yn adalah statistik terurut dari
sampel. Fkp bersama dari Y1 , Y2 , · · · , Yn adalah
g (y1 , y2 , · · · , yn ) = n!f (y1 )f (y2 ) · · · f (yn ), a < y1 < y2 <
· · · < yn < b dan Rnol untuk yang lain.
x
Misalkan F (x) = a f (w )dw , a < x < b merupakan fungsi
peluang kumulatifnya. Maka fkp untuk statistik terurut ke-k
adalah
Z yk
Z y2 Z b
Z b
gk (yk ) =
···
···
n!f (y1 )f (y2 ) · · ·
a
a
yk
yn−1
f (yn )dyn · · · dyk+1 dy1 · · · dyk−1 .
hasil pengintegralannya adalah
n
gk (yk ) =
k[F (yk )]k−1 [1 − F (yk )]n−k f (yk ), a < yk < b
k
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Fkp
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak berukuran n dari
distribusi X yang mempunyai fkp f (x), untuk a < x < b.
Misalkan Y1 < Y2 < · · · < Yn adalah statistik terurut dari
sampel. Fkp bersama dari Y1 , Y2 , · · · , Yn adalah
g (y1 , y2 , · · · , yn ) = n!f (y1 )f (y2 ) · · · f (yn ), a < y1 < y2 <
· · · < yn < b dan Rnol untuk yang lain.
x
Misalkan F (x) = a f (w )dw , a < x < b merupakan fungsi
peluang kumulatifnya. Maka fkp untuk statistik terurut ke-k
adalah
Z yk
Z y2 Z b
Z b
gk (yk ) =
···
···
n!f (y1 )f (y2 ) · · ·
a
a
yk
yn−1
f (yn )dyn · · · dyk+1 dy1 · · · dyk−1 .
hasil pengintegralannya adalah
n
gk (yk ) =
k[F (yk )]k−1 [1 − F (yk )]n−k f (yk ), a < yk < b
k
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Fkp
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak berukuran n dari
distribusi X yang mempunyai fkp f (x), untuk a < x < b.
Misalkan Y1 < Y2 < · · · < Yn adalah statistik terurut dari
sampel. Fkp bersama dari Y1 , Y2 , · · · , Yn adalah
g (y1 , y2 , · · · , yn ) = n!f (y1 )f (y2 ) · · · f (yn ), a < y1 < y2 <
· · · < yn < b dan Rnol untuk yang lain.
x
Misalkan F (x) = a f (w )dw , a < x < b merupakan fungsi
peluang kumulatifnya. Maka fkp untuk statistik terurut ke-k
adalah
Z yk
Z y2 Z b
Z b
gk (yk ) =
···
···
n!f (y1 )f (y2 ) · · ·
a
a
yk
yn−1
f (yn )dyn · · · dyk+1 dy1 · · · dyk−1 .
hasil pengintegralannya adalah
n
gk (yk ) =
k[F (yk )]k−1 [1 − F (yk )]n−k f (yk ), a < yk < b
k
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Contoh 4
Misalkan Y1 < Y2 < Y3 < Y4 adalah statistik terurut dari
sampel berukuran 4 yang fkp-nya adalah f (x) untuk
a < x < b dan nol untuk yang lain. Tentukan
fkp Y3 .
Rx
Perhatikan bahwa n = 4 dan F (x) = 0 f (w )dw , a < x < b.
Maka
Z y3 Z y2 Z b
4!f (y1 )f (y2 )f (y3 )f (y4 )dy4 dy1 dy2
g3 (y3 ) =
a
y3
a
Z y3
= 4!f (y3 )[1 − F (y3 )]
F (y2 )f (y2 )dy2
a
Z
= 4!f (y3 )[1 − F (y3 )]
F (y3 )
F (y2 )dF (y2 ).
0
Sehingga diperoleh fkp untuk Y3 adalah
4!
g3 (y3 ) = [F (y3 )]2 [1 − F (y3 )]f (y3 ), a < y3 < b,
2
dan nol untuk yang lain.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Contoh 4
Misalkan Y1 < Y2 < Y3 < Y4 adalah statistik terurut dari
sampel berukuran 4 yang fkp-nya adalah f (x) untuk
a < x < b dan nol untuk yang lain. Tentukan
fkp Y3 .
Rx
Perhatikan bahwa n = 4 dan F (x) = 0 f (w )dw , a < x < b.
Maka
Z y3 Z y2 Z b
4!f (y1 )f (y2 )f (y3 )f (y4 )dy4 dy1 dy2
g3 (y3 ) =
a
y3
a
Z y3
= 4!f (y3 )[1 − F (y3 )]
F (y2 )f (y2 )dy2
a
Z
= 4!f (y3 )[1 − F (y3 )]
F (y3 )
F (y2 )dF (y2 ).
0
Sehingga diperoleh fkp untuk Y3 adalah
4!
g3 (y3 ) = [F (y3 )]2 [1 − F (y3 )]f (y3 ), a < y3 < b,
2
dan nol untuk yang lain.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Contoh 4
Misalkan Y1 < Y2 < Y3 < Y4 adalah statistik terurut dari
sampel berukuran 4 yang fkp-nya adalah f (x) untuk
a < x < b dan nol untuk yang lain. Tentukan
fkp Y3 .
Rx
Perhatikan bahwa n = 4 dan F (x) = 0 f (w )dw , a < x < b.
Maka
Z y3 Z y2 Z b
4!f (y1 )f (y2 )f (y3 )f (y4 )dy4 dy1 dy2
g3 (y3 ) =
a
y3
a
Z y3
= 4!f (y3 )[1 − F (y3 )]
F (y2 )f (y2 )dy2
a
Z
= 4!f (y3 )[1 − F (y3 )]
F (y3 )
F (y2 )dF (y2 ).
0
Sehingga diperoleh fkp untuk Y3 adalah
4!
g3 (y3 ) = [F (y3 )]2 [1 − F (y3 )]f (y3 ), a < y3 < b,
2
dan nol untuk yang lain.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Contoh 5
Misalkan Y1 < Y2 < Y3 < Y4 adalah statistik terurut dari
sampel berukuran 4 yang fkp-nya adalah
f (x) = e −x , 0 < x < ∞. Tentukan P(3 ≤ Y2 )!
Perhatikan bahwa f (x) = e −x , 0 < x, ∞ dan
F (x) = 1 − e −x , 0 < x < ∞, dan fkp untuk statistik terurut
ke-k adalah
n
gk (yk ) =
k[F (yk )]k−1 [1−F (yk )]n−k f (yk ), 0 < yk < ∞.
k
Maka fkp untuk Y2 adalah
4
g2 (y2 ) =
2(1 − e −y2 )(e −y2 )2 e −y2 , 0 < y2 < ∞
2
= 12(1 − e −y2 )e −3y2 , 0 < y2 < ∞.
maka peluang bahwa statistik terurut Y2 ∈ [3, ∞) adalah
P(3 ≤ Y2 ) = 4 exp(−9) − 3 exp(−12).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Contoh 5
Misalkan Y1 < Y2 < Y3 < Y4 adalah statistik terurut dari
sampel berukuran 4 yang fkp-nya adalah
f (x) = e −x , 0 < x < ∞. Tentukan P(3 ≤ Y2 )!
Perhatikan bahwa f (x) = e −x , 0 < x, ∞ dan
F (x) = 1 − e −x , 0 < x < ∞, dan fkp untuk statistik terurut
ke-k adalah
n
gk (yk ) =
k[F (yk )]k−1 [1−F (yk )]n−k f (yk ), 0 < yk < ∞.
k
Maka fkp untuk Y2 adalah
4
g2 (y2 ) =
2(1 − e −y2 )(e −y2 )2 e −y2 , 0 < y2 < ∞
2
= 12(1 − e −y2 )e −3y2 , 0 < y2 < ∞.
maka peluang bahwa statistik terurut Y2 ∈ [3, ∞) adalah
P(3 ≤ Y2 ) = 4 exp(−9) − 3 exp(−12).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Contoh 5
Misalkan Y1 < Y2 < Y3 < Y4 adalah statistik terurut dari
sampel berukuran 4 yang fkp-nya adalah
f (x) = e −x , 0 < x < ∞. Tentukan P(3 ≤ Y2 )!
Perhatikan bahwa f (x) = e −x , 0 < x, ∞ dan
F (x) = 1 − e −x , 0 < x < ∞, dan fkp untuk statistik terurut
ke-k adalah
n
gk (yk ) =
k[F (yk )]k−1 [1−F (yk )]n−k f (yk ), 0 < yk < ∞.
k
Maka fkp untuk Y2 adalah
4
g2 (y2 ) =
2(1 − e −y2 )(e −y2 )2 e −y2 , 0 < y2 < ∞
2
= 12(1 − e −y2 )e −3y2 , 0 < y2 < ∞.
maka peluang bahwa statistik terurut Y2 ∈ [3, ∞) adalah
P(3 ≤ Y2 ) = 4 exp(−9) − 3 exp(−12).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Contoh 5
Misalkan Y1 < Y2 < Y3 < Y4 adalah statistik terurut dari
sampel berukuran 4 yang fkp-nya adalah
f (x) = e −x , 0 < x < ∞. Tentukan P(3 ≤ Y2 )!
Perhatikan bahwa f (x) = e −x , 0 < x, ∞ dan
F (x) = 1 − e −x , 0 < x < ∞, dan fkp untuk statistik terurut
ke-k adalah
n
gk (yk ) =
k[F (yk )]k−1 [1−F (yk )]n−k f (yk ), 0 < yk < ∞.
k
Maka fkp untuk Y2 adalah
4
g2 (y2 ) =
2(1 − e −y2 )(e −y2 )2 e −y2 , 0 < y2 < ∞
2
= 12(1 − e −y2 )e −3y2 , 0 < y2 < ∞.
maka peluang bahwa statistik terurut Y2 ∈ [3, ∞) adalah
P(3 ≤ Y2 ) = 4 exp(−9) − 3 exp(−12).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Fkp bersama
Fkp bersama sembarang dua statistik terurut Yi < Yj
dilakukan dengan cara yang sama dengan mencari fkp sebuah
statistik terurut. Sehingga diperoleh:
gij (yi , yj ) =
n!
[F (yi )]i−1
(i − 1)!(j − i − 1)!(n − j)!
×[F (yj ) − F (yi )]j−i−1 [1 − F (yj )]n−j f (yi )f (yj ),
untuk a < yi < yj < b
Untuk menunjukkan hal di atas berikut kita batasi n = 6 dan
akan dicari fkp bersama dari statistik terurut Y3 dan Y5 .
Misalkan Y1 < Y2 < Y3 < Y4 < Y5 < Y6 adalah statistik
terurut dari sampel acak berukuran 6 dari distribusi yang
fkpnya f (x) dan fungsi peluang kumulatifnya F (x) untuk
a < x < b.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Fkp bersama
Fkp bersama sembarang dua statistik terurut Yi < Yj
dilakukan dengan cara yang sama dengan mencari fkp sebuah
statistik terurut. Sehingga diperoleh:
gij (yi , yj ) =
n!
[F (yi )]i−1
(i − 1)!(j − i − 1)!(n − j)!
×[F (yj ) − F (yi )]j−i−1 [1 − F (yj )]n−j f (yi )f (yj ),
untuk a < yi < yj < b
Untuk menunjukkan hal di atas berikut kita batasi n = 6 dan
akan dicari fkp bersama dari statistik terurut Y3 dan Y5 .
Misalkan Y1 < Y2 < Y3 < Y4 < Y5 < Y6 adalah statistik
terurut dari sampel acak berukuran 6 dari distribusi yang
fkpnya f (x) dan fungsi peluang kumulatifnya F (x) untuk
a < x < b.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Fkp bersama
Fkp bersama sembarang dua statistik terurut Yi < Yj
dilakukan dengan cara yang sama dengan mencari fkp sebuah
statistik terurut. Sehingga diperoleh:
gij (yi , yj ) =
n!
[F (yi )]i−1
(i − 1)!(j − i − 1)!(n − j)!
×[F (yj ) − F (yi )]j−i−1 [1 − F (yj )]n−j f (yi )f (yj ),
untuk a < yi < yj < b
Untuk menunjukkan hal di atas berikut kita batasi n = 6 dan
akan dicari fkp bersama dari statistik terurut Y3 dan Y5 .
Misalkan Y1 < Y2 < Y3 < Y4 < Y5 < Y6 adalah statistik
terurut dari sampel acak berukuran 6 dari distribusi yang
fkpnya f (x) dan fungsi peluang kumulatifnya F (x) untuk
a < x < b.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Akan dicari fkp bersama untuk Y2 dan Y5 .
Z
y2
Z
y5
Z
y5
Z
b
6!f (y1 )f (y2 )f (y3 )f (y4 )
g25 (y2 , y5 ) =
y3
y2
a
y5
×f (y5 )f (y6 )dy6 dy4 dy3 dy1
= 6!F (y2 )[F (b) − F (y5 )]f (y5 )f (y2 )
Z y5 Z y5
f (y3 )f (y4 )dy3 dy4
×
y2
=
y3
6!
F (y2 )[F (y5 ) − F (y2 )]2 [F (b) − F (y5 )]f (y5 )f (y2 )
2
untuk a < y2 < y5 < b
Misalkan sampel acak berukuran n = 6 diambil dari distribusi
dengan fkp f (x) = x/2, 0 < x < 2. Tentukan fkp bersama
statistik terurut Y2 dan Y5 .
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Akan dicari fkp bersama untuk Y2 dan Y5 .
Z
y2
Z
y5
Z
y5
Z
b
6!f (y1 )f (y2 )f (y3 )f (y4 )
g25 (y2 , y5 ) =
y3
y2
a
y5
×f (y5 )f (y6 )dy6 dy4 dy3 dy1
= 6!F (y2 )[F (b) − F (y5 )]f (y5 )f (y2 )
Z y5 Z y5
f (y3 )f (y4 )dy3 dy4
×
y2
=
y3
6!
F (y2 )[F (y5 ) − F (y2 )]2 [F (b) − F (y5 )]f (y5 )f (y2 )
2
untuk a < y2 < y5 < b
Misalkan sampel acak berukuran n = 6 diambil dari distribusi
dengan fkp f (x) = x/2, 0 < x < 2. Tentukan fkp bersama
statistik terurut Y2 dan Y5 .
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Karena f (x) = x/2 untuk 0 < x < 2, maka
F (x) = x 2 /4, 0 < x < 2. Sehingga fkp bersama Y2 dan Y5
adalah
2
2 y22
6! y22
y5
y52 y5 y2
−
g25 (y2 , y5 ) =
1−
2
4
4
4
4
2 2
3 2
2
6! y2
y5
y2
y5 y53
=
− 2
−
2
8
4
4
2
8
untuk 0 < y2 < y5 < 2
Misalkan Y1 , Y2 , Y3 adalah statistik terurut sampel acak
berukuran 3 yang diambil dari distribusi dengan fkp f (x) = 1,
untuk 0 < x < 1 dan nol untuk yang lain. Misalkan Range
(Jangkauan) sampel acak tersebut adalah Z = Y3 − Y1 .
Tentukanlah fkp dari rangenya.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Karena f (x) = x/2 untuk 0 < x < 2, maka
F (x) = x 2 /4, 0 < x < 2. Sehingga fkp bersama Y2 dan Y5
adalah
2
2 y22
6! y22
y5
y52 y5 y2
−
g25 (y2 , y5 ) =
1−
2
4
4
4
4
2 2
3 2
2
6! y2
y5
y2
y5 y53
=
− 2
−
2
8
4
4
2
8
untuk 0 < y2 < y5 < 2
Misalkan Y1 , Y2 , Y3 adalah statistik terurut sampel acak
berukuran 3 yang diambil dari distribusi dengan fkp f (x) = 1,
untuk 0 < x < 1 dan nol untuk yang lain. Misalkan Range
(Jangkauan) sampel acak tersebut adalah Z = Y3 − Y1 .
Tentukanlah fkp dari rangenya.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Langkah pertama, kita tentukan terlebih dahulu fkp bersama
dari Y3 dan Y1 .
Di sini diketahui bahwa f (x) = 1 dan F (x) = x, maka
3!
g13 (y1 , y3 ) =
(y1 )0 (y3 − y1 ) (1 − y3 )0
2
= 3 (y3 − y1 ) , 0 < y1 < y3 < 1
dan nol untuk yang lain.
Langkah kedua, Misalkan Z = Y3 − Y1 , dan peubah acak lain
adalah W = Y3 , maka fkp bersama Z dan W adalah
h(z, w ) = 6z, 0 < z < w < 1
dan nol untuk yang lain.
Langkah ketiga, kita integralkan fkp h(z, w ) terhadap W
untuk mendapatkan fkp (marginal) Z
Z 1
h(z) =
6zdw = 6z(1 − z), 0 < z < 1
z
dan nol untuk yang lain.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Langkah pertama, kita tentukan terlebih dahulu fkp bersama
dari Y3 dan Y1 .
Di sini diketahui bahwa f (x) = 1 dan F (x) = x, maka
3!
g13 (y1 , y3 ) =
(y1 )0 (y3 − y1 ) (1 − y3 )0
2
= 3 (y3 − y1 ) , 0 < y1 < y3 < 1
dan nol untuk yang lain.
Langkah kedua, Misalkan Z = Y3 − Y1 , dan peubah acak lain
adalah W = Y3 , maka fkp bersama Z dan W adalah
h(z, w ) = 6z, 0 < z < w < 1
dan nol untuk yang lain.
Langkah ketiga, kita integralkan fkp h(z, w ) terhadap W
untuk mendapatkan fkp (marginal) Z
Z 1
h(z) =
6zdw = 6z(1 − z), 0 < z < 1
z
dan nol untuk yang lain.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Langkah pertama, kita tentukan terlebih dahulu fkp bersama
dari Y3 dan Y1 .
Di sini diketahui bahwa f (x) = 1 dan F (x) = x, maka
3!
g13 (y1 , y3 ) =
(y1 )0 (y3 − y1 ) (1 − y3 )0
2
= 3 (y3 − y1 ) , 0 < y1 < y3 < 1
dan nol untuk yang lain.
Langkah kedua, Misalkan Z = Y3 − Y1 , dan peubah acak lain
adalah W = Y3 , maka fkp bersama Z dan W adalah
h(z, w ) = 6z, 0 < z < w < 1
dan nol untuk yang lain.
Langkah ketiga, kita integralkan fkp h(z, w ) terhadap W
untuk mendapatkan fkp (marginal) Z
Z 1
h(z) =
6zdw = 6z(1 − z), 0 < z < 1
z
dan nol untuk yang lain.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Misalkan X adalah peubah acak dengan fungsi peluang
kumulatifnya adalah F (x). Untuk 0 < ρ < 1, didefinisikan
kuantil (quantile) ke-ρ dari X dalam bentuk ξρ = F −1 (ρ).
Contohnya, ξ0.5 adalah median dari X merupakan kuantil 0.5.
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak dari distribusi
untuk X dan misalkan Y1 < Y2 < · · · < Yn adalah statistik
terurutnya.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Misalkan X adalah peubah acak dengan fungsi peluang
kumulatifnya adalah F (x). Untuk 0 < ρ < 1, didefinisikan
kuantil (quantile) ke-ρ dari X dalam bentuk ξρ = F −1 (ρ).
Contohnya, ξ0.5 adalah median dari X merupakan kuantil 0.5.
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak dari distribusi
untuk X dan misalkan Y1 < Y2 < · · · < Yn adalah statistik
terurutnya.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Misalkan X adalah peubah acak dengan fungsi peluang
kumulatifnya adalah F (x). Untuk 0 < ρ < 1, didefinisikan
kuantil (quantile) ke-ρ dari X dalam bentuk ξρ = F −1 (ρ).
Contohnya, ξ0.5 adalah median dari X merupakan kuantil 0.5.
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak dari distribusi
untuk X dan misalkan Y1 < Y2 < · · · < Yn adalah statistik
terurutnya.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Statistik Terurut tersebut, akan membagi daerah luas di
bawah kurva fkp f (x) (di atas sumbu x) menjadi n + 1 sub
daerah. Rata-rata luas sub daerah ini adalah 1/(n + 1).
Misalkan k = ρ(n + 1), maka sebuah penaksir untuk ξρ dapat
didasarkan pada observasi datanya.
Luas dibawah kurva f (x) dan terletak di sebelah kiri dari Yk
adalah F (yk ). Maka Nilai rata-rata luasnya adalah
Z b
E [F (Yk )] =
F (yk )gk (yk )dyk ,
a
di mana gk (yk ) adalah fkp dari Yk .
Perubahan peubah dengan transformasi z = F (yk ) akan
diperoleh:
Z 1
n!
z k (1 − z)n−k dz
E [F (Yk )] =
(k
−
1)!(n
−
k)!
0
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Statistik Terurut tersebut, akan membagi daerah luas di
bawah kurva fkp f (x) (di atas sumbu x) menjadi n + 1 sub
daerah. Rata-rata luas sub daerah ini adalah 1/(n + 1).
Misalkan k = ρ(n + 1), maka sebuah penaksir untuk ξρ dapat
didasarkan pada observasi datanya.
Luas dibawah kurva f (x) dan terletak di sebelah kiri dari Yk
adalah F (yk ). Maka Nilai rata-rata luasnya adalah
Z b
E [F (Yk )] =
F (yk )gk (yk )dyk ,
a
di mana gk (yk ) adalah fkp dari Yk .
Perubahan peubah dengan transformasi z = F (yk ) akan
diperoleh:
Z 1
n!
z k (1 − z)n−k dz
E [F (Yk )] =
(k
−
1)!(n
−
k)!
0
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Statistik Terurut tersebut, akan membagi daerah luas di
bawah kurva fkp f (x) (di atas sumbu x) menjadi n + 1 sub
daerah. Rata-rata luas sub daerah ini adalah 1/(n + 1).
Misalkan k = ρ(n + 1), maka sebuah penaksir untuk ξρ dapat
didasarkan pada observasi datanya.
Luas dibawah kurva f (x) dan terletak di sebelah kiri dari Yk
adalah F (yk ). Maka Nilai rata-rata luasnya adalah
Z b
E [F (Yk )] =
F (yk )gk (yk )dyk ,
a
di mana gk (yk ) adalah fkp dari Yk .
Perubahan peubah dengan transformasi z = F (yk ) akan
diperoleh:
Z 1
n!
z k (1 − z)n−k dz
E [F (Yk )] =
(k
−
1)!(n
−
k)!
0
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Statistik Terurut tersebut, akan membagi daerah luas di
bawah kurva fkp f (x) (di atas sumbu x) menjadi n + 1 sub
daerah. Rata-rata luas sub daerah ini adalah 1/(n + 1).
Misalkan k = ρ(n + 1), maka sebuah penaksir untuk ξρ dapat
didasarkan pada observasi datanya.
Luas dibawah kurva f (x) dan terletak di sebelah kiri dari Yk
adalah F (yk ). Maka Nilai rata-rata luasnya adalah
Z b
E [F (Yk )] =
F (yk )gk (yk )dyk ,
a
di mana gk (yk ) adalah fkp dari Yk .
Perubahan peubah dengan transformasi z = F (yk ) akan
diperoleh:
Z 1
n!
z k (1 − z)n−k dz
E [F (Yk )] =
(k
−
1)!(n
−
k)!
0
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Statistik Terurut tersebut, akan membagi daerah luas di
bawah kurva fkp f (x) (di atas sumbu x) menjadi n + 1 sub
daerah. Rata-rata luas sub daerah ini adalah 1/(n + 1).
Misalkan k = ρ(n + 1), maka sebuah penaksir untuk ξρ dapat
didasarkan pada observasi datanya.
Luas dibawah kurva f (x) dan terletak di sebelah kiri dari Yk
adalah F (yk ). Maka Nilai rata-rata luasnya adalah
Z b
E [F (Yk )] =
F (yk )gk (yk )dyk ,
a
di mana gk (yk ) adalah fkp dari Yk .
Perubahan peubah dengan transformasi z = F (yk ) akan
diperoleh:
Z 1
n!
z k (1 − z)n−k dz
E [F (Yk )] =
(k
−
1)!(n
−
k)!
0
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
E [F (Yk )] = k/(n + 1), adalah rata-rata luas daerah di sebelah
kiri Yk dan di bawah kurva f (x).
Karena ρ = k/(n + 1), maka cukup beralasan jika diambil Yk
sebagai sebuah penaksir untuk kuantil ξρ .
Yk adalah kuantil sampel ke-ρ atau disebut juga persentil
(percentile) ke-100ρ dari sampel.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
E [F (Yk )] = k/(n + 1), adalah rata-rata luas daerah di sebelah
kiri Yk dan di bawah kurva f (x).
Karena ρ = k/(n + 1), maka cukup beralasan jika diambil Yk
sebagai sebuah penaksir untuk kuantil ξρ .
Yk adalah kuantil sampel ke-ρ atau disebut juga persentil
(percentile) ke-100ρ dari sampel.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
E [F (Yk )] = k/(n + 1), adalah rata-rata luas daerah di sebelah
kiri Yk dan di bawah kurva f (x).
Karena ρ = k/(n + 1), maka cukup beralasan jika diambil Yk
sebagai sebuah penaksir untuk kuantil ξρ .
Yk adalah kuantil sampel ke-ρ atau disebut juga persentil
(percentile) ke-100ρ dari sampel.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Definisi
Persentil (percentile) ke-100ρ dari sampel dinyatakan oleh Yk ,
statistik terurut ke-k, dengan k = (n + 1)ρ. Jika (n + 1)ρ bukan
bilangan bulat, maka persentil dinyatakan oleh (1 − r )Yk + rYk+1 ,
dengan 0 < r < 1.
Contoh penggunaan kuantil: boxplot dan q-q plot.
Contoh: Misalkan data yang telah diurutkan dari sampel acak
berukuran n = 15 dari sebuah peubah acak X .
56
70
89
94
96 101 102 102
102 105 106 108 110 113 116
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Definisi
Persentil (percentile) ke-100ρ dari sampel dinyatakan oleh Yk ,
statistik terurut ke-k, dengan k = (n + 1)ρ. Jika (n + 1)ρ bukan
bilangan bulat, maka persentil dinyatakan oleh (1 − r )Yk + rYk+1 ,
dengan 0 < r < 1.
Contoh penggunaan kuantil: boxplot dan q-q plot.
Contoh: Misalkan data yang telah diurutkan dari sampel acak
berukuran n = 15 dari sebuah peubah acak X .
56
70
89
94
96 101 102 102
102 105 106 108 110 113 116
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Five number summary: y1 = 56, Q1 = y4 = 94, Q2 = y8 =
102, Q3 = y12 = 108, y15 = 116.
Misalkan X adalah peubah acak yang fungsi peluang
kumulatifnya F ((x − a)/b) dengan F (x) diketahui tapi a dan
b > 0 mungkin tidak diketahui. Misalkan Z = (X − a)/b,
maka Z mempunyai fungsi peluang kumulatif F (z).
Misalkan 0 < ρ < 1 dan ξX ,ρ adalah kuantil ke-ρ dari X .
Misalkan ξZ ,ρ adalah kuantil ke-ρ dari Z = (X − a)/b. Karena
F (Z ) diketahui, maka ξZ ,ρ dapat diperoleh.
ξX ,ρ = bξZ ,ρ + a.
Plot Yk terhadap ξZ ,ρk disebut q-q plot.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Five number summary: y1 = 56, Q1 = y4 = 94, Q2 = y8 =
102, Q3 = y12 = 108, y15 = 116.
Misalkan X adalah peubah acak yang fungsi peluang
kumulatifnya F ((x − a)/b) dengan F (x) diketahui tapi a dan
b > 0 mungkin tidak diketahui. Misalkan Z = (X − a)/b,
maka Z mempunyai fungsi peluang kumulatif F (z).
Misalkan 0 < ρ < 1 dan ξX ,ρ adalah kuantil ke-ρ dari X .
Misalkan ξZ ,ρ adalah kuantil ke-ρ dari Z = (X − a)/b. Karena
F (Z ) diketahui, maka ξZ ,ρ dapat diperoleh.
ξX ,ρ = bξZ ,ρ + a.
Plot Yk terhadap ξZ ,ρk disebut q-q plot.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Five number summary: y1 = 56, Q1 = y4 = 94, Q2 = y8 =
102, Q3 = y12 = 108, y15 = 116.
Misalkan X adalah peubah acak yang fungsi peluang
kumulatifnya F ((x − a)/b) dengan F (x) diketahui tapi a dan
b > 0 mungkin tidak diketahui. Misalkan Z = (X − a)/b,
maka Z mempunyai fungsi peluang kumulatif F (z).
Misalkan 0 < ρ < 1 dan ξX ,ρ adalah kuantil ke-ρ dari X .
Misalkan ξZ ,ρ adalah kuantil ke-ρ dari Z = (X − a)/b. Karena
F (Z ) diketahui, maka ξZ ,ρ dapat diperoleh.
ξX ,ρ = bξZ ,ρ + a.
Plot Yk terhadap ξZ ,ρk disebut q-q plot.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Five number summary: y1 = 56, Q1 = y4 = 94, Q2 = y8 =
102, Q3 = y12 = 108, y15 = 116.
Misalkan X adalah peubah acak yang fungsi peluang
kumulatifnya F ((x − a)/b) dengan F (x) diketahui tapi a dan
b > 0 mungkin tidak diketahui. Misalkan Z = (X − a)/b,
maka Z mempunyai fungsi peluang kumulatif F (z).
Misalkan 0 < ρ < 1 dan ξX ,ρ adalah kuantil ke-ρ dari X .
Misalkan ξZ ,ρ adalah kuantil ke-ρ dari Z = (X − a)/b. Karena
F (Z ) diketahui, maka ξZ ,ρ dapat diperoleh.
ξX ,ρ = bξZ ,ρ + a.
Plot Yk terhadap ξZ ,ρk disebut q-q plot.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Five number summary: y1 = 56, Q1 = y4 = 94, Q2 = y8 =
102, Q3 = y12 = 108, y15 = 116.
Misalkan X adalah peubah acak yang fungsi peluang
kumulatifnya F ((x − a)/b) dengan F (x) diketahui tapi a dan
b > 0 mungkin tidak diketahui. Misalkan Z = (X − a)/b,
maka Z mempunyai fungsi peluang kumulatif F (z).
Misalkan 0 < ρ < 1 dan ξX ,ρ adalah kuantil ke-ρ dari X .
Misalkan ξZ ,ρ adalah kuantil ke-ρ dari Z = (X − a)/b. Karena
F (Z ) diketahui, maka ξZ ,ρ dapat diperoleh.
ξX ,ρ = bξZ ,ρ + a.
Plot Yk terhadap ξZ ,ρk disebut q-q plot.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Misalkan i < (n + 1)ρ < j dan statistik terurut dari sampel,
memberikan Yi < Yj , maka P(Yi < ξρ < Yj ) adalah peluang
dalam n percobaan sukses ξρ terletak di antara Yi dan Yj .
j−1 X
n
P(Yi < ξρ < Yj ) =
ρw (1 − ρ)n−w .
w
w =i
Misal X peubah acak dengan fungsi peluang kumulatifnya
F (x). Misalkan ξ1/2 adalah median dari F (x). Misalkan
X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak dari X dengan statistik
terurutnya Y1 < Y2 < · · · < Yn . Memilih α yang terletak di
antara 0 dan 1, maka dapat dipilih kuantil ke-ξα/2 dari
distribusi binomial b(n, 1/2) sehingga P(S ≤ ξα/2 ) = α/2 dan
P(S ≥ n − ξα/2 ) = α/2. Maka selang kepercayaan untuk ξ1/2
untuk X dapat diperoleh dari
P(Yξα/2 +1 < ξ1/2 < Yn−α/2 ) = 1 − α.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Misalkan i < (n + 1)ρ < j dan statistik terurut dari sampel,
memberikan Yi < Yj , maka P(Yi < ξρ < Yj ) adalah peluang
dalam n percobaan sukses ξρ terletak di antara Yi dan Yj .
j−1 X
n
P(Yi < ξρ < Yj ) =
ρw (1 − ρ)n−w .
w
w =i
Misal X peubah acak dengan fungsi peluang kumulatifnya
F (x). Misalkan ξ1/2 adalah median dari F (x). Misalkan
X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak dari X dengan statistik
terurutnya Y1 < Y2 < · · · < Yn . Memilih α yang terletak di
antara 0 dan 1, maka dapat dipilih kuantil ke-ξα/2 dari
distribusi binomial b(n, 1/2) sehingga P(S ≤ ξα/2 ) = α/2 dan
P(S ≥ n − ξα/2 ) = α/2. Maka selang kepercayaan untuk ξ1/2
untuk X dapat diperoleh dari
P(Yξα/2 +1 < ξ1/2 < Yn−α/2 ) = 1 − α.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Selang (Yξα/2 +1 < ξ1/2 < Yn−α/2 ) adalah selang kepercayaan
(1 − α)100% untuk ξ1/2 .
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut
Review Statistik Terurut Quantile
Closing
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi Statistika Terurut