Sesi 10.indd

X
matematika WAJIB
RASIO TRIGONOMETRI
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1.
Memahami rasio-rasio trigonometri yang meliputi sinus, kosinus, tangen, sekan,
kosekan, dan kotangen.
2.
Dapat menyelesaikan persoalan-persoalan yang berhubungan dengan rasio trigonometri.
3.
Dapat mengaplikasikan rasio trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.
A. Definisi Trigonometri
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, trigonon yang berarti segitiga dan metro yang
berarti mengukur. Trigonometri adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari
hubungan antara sisi dan sudut suatu segitiga, serta fungsi dasar yang muncul dari
hubungan tersebut. Fungsi dasar ini meliputi sinus, kosinus, dan tangen. Untuk memahami
tentang sinus, kosinus, dan tangen, perhatikan segitiga siku-siku berikut ini.
C
r
y
a
A
x
B
Kela
s
Kurikulum 2013
•
Sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut
dengan sisi terpanjang (miring).
y
r
sin a =
•
Kosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di samping
sudut dengan sisi terpanjang (miring).
cos a =
•
x
r
Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut
dengan sisi di samping sudut.
tan a =
y
x
Keterangan:
x = panjang sisi AB (samping sudut a);
y = panjang sisi BC (depan sudut a); dan
r = panjang sisi AC (hipotenusa/sisi terpanjang). Dalam gambar tersebut, sisi AC tampak
berupa sisi miring.
SUPER "Solusi Quipper"
Cara mudah mengingat rasio trigonometri pada segitiga siku-siku adalah sebagai
berikut.
sin α =
sisi di depan sudut
= SinDEMI
sisi miring segitiga
cos α =
sisi di samping sudut
= CosSAMI
sisi miring segitiga
tanα =
sisi di depan sudut
= TanDESA
sisi di samping sudut
2
Contoh Soal 1
Diberikan segitiga siku-siku PQR, siku-siku di Q. Jika panjang sisi PQ = 3 satuan dan QR = 4
satuan, tentukan nilai dari sin P, cos R, dan tan R!
Pembahasan:
Tentukan dahulu panjang sisi PR. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh:
PR = PQ2 + QR2
= 32 + 4 2
= 9 +16
= 25 = 5 satuan
R
5
P
4
3
Q
Berdasarkan definisi sinus, kosinus, dan tangen, diperoleh:
sinP =
panjang sisi di depan sudut P 4
=
panjang sisi terpanjang
5
cosR =
panjang sisi di samping sudutR 4
=
panjang sisi terpanjang
5
tanR =
3
panjang sisi di depan sudut R
=
panjang sisi di samping sudut R 4
Jadi, nilai dari sin P, cos R, dan tan R berturut-turut adalah
3
4 4
3
, , dan .
5 5
4
Contoh Soal 2
Diketahui suatu segitiga siku-siku dengan nilai sinus salah satu sudut lancipnya adalah
3 . Tentukan nilai kosinus dan tangen sudut tersebut!
2
Pembahasan:
3
Misalkan sudut lancip tersebut a. Gambar segitiga siku-siku dengan nilai sin a =
2
adalah sebagai berikut.
2
3
a
x
Nilai x dapat ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras, yaitu:
x = 22 −
( 3)
2
= 4 −3
= 1 satuan
Dengan demikian, diperoleh:
cos a =
sisi di samping sudut
1
=
sisi terpanjang segitiga 2
tan α =
sisi di depan sudut
3
=
= 3
sisi di samping sudut
1
Jadi, nilai kosinus dan tangen sudut tersebut berturut-turut adalah
4
1
dan
2
3.
Contoh Soal 3
Diketahui tiga segitiga siku-siku berikut.
6
a)
c)
12
x
θ
θ
x
b)
8
x
θ
Jika sin θ =
2
, tentukan nilai x (dalam cm).
5
Pembahasan:
a.
Berdasarkan definisi sinus, diperoleh:
6
sin θ =
x
⇔
2 6
=
5 x
⇔x=
5× 6
2
⇔ x = 15 cm
b.
Berdasarkan definisi sinus, diperoleh:
x
sin θ =
8
⇔
2 x
=
5 8
⇔x=
2×8
5
⇔x=
16
cm
5
5
c.
Oleh karena yang diketahui sisi di depan sudut dan sisi di samping sudut, maka
tentukan dahulu nilai dari tan θ. Untuk lebih jelasnya, perhatikan segitiga siku-siku
berikut.
(5)
12(2)
θ
x(a)
Nilai a dapat diperoleh berdasarkan teorema Pythagoras, yaitu:
a = 52 − 22
⇔ a = 21
Dengan demikian, nilai dari tan θ adalah sebagai berikut.
2
2
tan θ = =
a
21
Berdasarkan definisi tangen, diperoleh:
tan θ =
⇔
2
21
12
2
=
x
21
⇔ 2 x = 12 21
⇔ x = 6 21 cm
6
Contoh Soal 4
Diketahui segitiga ABC yang siku-siku di B seperti gambar berikut.
C
D
θ
A
E
B
Jika panjang DE = 6 cm, BE = 2 cm, dan sin θ =
Pembahasan:
Diketahui sin θ =
3
. Berdasarkan definisi sinus dan teorema Pythagoras, diperoleh:
5
5
3
θ
4
Perhatikan ∆ADE.
E
x
6
θ
A
3
, panjang AC = ....
5
D
7
Nilai x = AE dapat ditentukan berdasarkan definisi sinus, yaitu:
6
x
3 6
⇔ =
5 x
⇔ 3 x = 30
⇔ x = 10
sin θ =
Selanjutnya, perhatikan ∆ABC.
C
C
D
y
θ
A
10
E
12
2
θ
B
A
12
B
Nilai y = AC dapat ditentukan berdasarkan definisi kosinus, yaitu:
12
y
4 12
⇔ =
5 y
⇔ 4 y = 60
⇔ y = 15
cos θ =
Jadi, panjang AC 15 cm.
B. Rasio Trigonometri yang Lain
Selain sinus, kosinus, dan tangen, terdapat rasio trigonometri lainnya, yaitu kosekan,
sekan, dan kotangen.
• Kosekan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi terpanjang
dengan sisi di depan sudut. Kosekan merupakan kebalikan dari sinus, sehingga:
cosec a =
8
1
sin a
•
Sekan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi terpanjang
dengan sisi di samping sudut. Sekan merupakan kebalikan dari kosinus, sehingga:
sec a =
•
1
cos a
Kotangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di samping
sudut dengan sisi di depan sudut. Kotangen merupakan kebalikan dari tangen,
sehingga:
1
cotan a =
tan a
SUPER "Solusi Quipper"
Cara mudah mengingat rumus kebalikan pada rasio trigonometri adalah sebagai
berikut.
Makan aSIN bikin KOCEK KOSong SEKali
Artinya: sin a =
1
1
dan cos a =
cosec a
sec a
Selain rumus kebalikan tersebut, ada juga rumus perbandingan yang terkait dengan rasio
trigonometri, yaitu sebagai berikut.
tan a =
sin a
cos a
cotan a =
cos a
sin a
Contoh Soal 5
Tentukan nilai rasio trigonometri (kosekan, sekan, dan kotangen) dari sudut θ pada
gambar berikut ini!
θ
1
5
sec θ =
=
= 5
1cos θ 1
2
9
Pembahasan:
Berdasarkan definisi kosekan, sekan, dan kotangen, diperoleh:
cosec θ =
sec θ =
1
5
=
sin θ 2
1
5
=
= 5
cos θ 1
cotan θ =
1
1
=
tan θ 2
Jadi, nilai cosec θ =
1
5
, sec θ = 5 , dan cotan θ = .
2
2
Contoh Soal 6
17
Tentukan nilai perbandingan trigonometri yang lain jika diketahui cosec a =
15
(0o < a < 90o)!
Pembahasan:
Gambar segitiga siku-siku dengan nilai cosec a =
17
adalah sebagai berikut.
15
17
15
a
x
Nilai x dapat ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras, yaitu:
x = 172 − 152
= 289 − 225
= 64
= 8 satuan
Dengan demikian, nilai perbandingan trigonometri lainnya adalah sebagai berikut.
10
sin a =
15
17
cos a =
8
1
17
→ sec a =
=
cos a 8
17
tan a =
8
15
1
=
→ cotan a =
tan a 15
8
Jadi, nilai sin α =
15
8
17
8
15
, cos α =
, sec α =
, tan α = , dan cotan α = .
8
15
8
17
17
Contoh Soal 7
Diketahui segitiga ABC dengan sin a =
Pembahasan:
Oleh karena sin α =
cosec a
1
(0° < a < 90°) . Tentukan nilai
.
cotan a
2
1
, maka panjang sisi segitiga lainnya adalah sebagai berikut.
2
A
BC = AB2 − AC2
= 22 − 12
= 3 satuan
2
1
α
B
3
C
Dengan demikian, diperoleh:
2
cosec a
= 1
cotan a
3
1
⇔
cosec a 2
=
cotan a
3
⇔
cosec a 2
=
3
cotan a 3
Jadi, nilai
cosec α 2
=
3.
cotan α 3
11
Contoh Soal 8
Diketahui 1− cotan a =
Pembahasan:
Dari 1− cotan a =
1− cotan a =
1
3
⇔ – cotan α = −
⇔ cotan α =
⇔ tan α =
1
. Nilai dari sec α + cosec α = ....
3
1
, diperoleh:
3
2
3
2
3
3
2
Berdasarkan definisi tangen dan teorema Pythagoras, diperoleh:
13
3
a
2
Dengan demikian, nilai dari sec α + cosec α adalah sebagai berikut.
sec α + cosec a =
13
13 5 13
=
+
6
2
3
Jadi, nilai dari sec a + cosec a =
5 13
.
6
C. Aplikasi Rasio Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-Hari
Rasio trigonometri dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya pada kasus
berikut.
12
1. Trigonometri digunakan untuk menentukan jarak dari pantai ke suatu titik di laut.
Contoh Soal 9
Dua orang wisatawan memandang sebuah pulau dari pantai di tempat yang berbeda.
Jarak kedua wisatawan adalah a meter dan pertemuan sudut pandang antara kedua
wisatawan pada pulau membentuk sudut siku-siku. Misal pulau pada titik A, wisatawan
1
2 , tentukan jarak
pertama di titik B, dan wisatawan kedua di titik C. Jika cos∠ABC =
2
pulau ke pantai (AD).
Pembahasan:
Permasalahan pada soal dapat disederhanakan sebagai berikut.
A
B
D
C
13
1
2.
Diketahui panjang BC = a meter dan cos∠ABC =
2
AB
cos∠ABC =
BC
2 AB
=
⇔
2
a
a 2 a
=
2 meter
⇔ AB =
2
2
Panjang sisi AC dapat diperoleh dengan teorema Pythagoras, yaitu:
AC = BC2 − AB2
 2 
⇔AC = a − 
a 
 2 
2
2
⇔ AC = a2 −
2a 2
4
⇔ AC =
4 a 2 − 2a 2
4
⇔ AC =
2a 2
4
⇔ AC =
a
2 meter
2
Dengan demikian, diperoleh:
sinB =
AC AD
=
BC AB
a
2
AD
⇔2
=
a
a
2
2
a
 a

2 
2

2
2


⇔ AD = 
a
a
⇔ AD = meter
2
Jadi, jarak pulau ke pantai adalah
a
meter.
2
14
2. Trigonometri digunakan untuk mencari ketinggian menara dan pegunungan.
Sudut elevasi
Contoh Soal 10
Dua orang pendaki mencoba menaksir tinggi gunung yang akan mereka daki. Pendaki
pertama membentuk sudut pandang sebesar a terhadap puncak gunung, sedangkan
pendaki kedua membentuk sudut pandang sebesar γ. Jarak antara kedua pendaki adalah
1 meter. Hitunglah tinggi gunung tersebut!
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi berikut.
S
RT = PU = tinggi pendaki
R
T
γ
a
Q
P
U
Misalkan posisi pendaki pertama Q, pendaki kedua P, dan tinggi gunung ST.
Diketahui jarak kedua pendaki (PQ) adalah 1 meter dan tinggi kedua pendaki dianggap
sama, yaitu PU meter.
15
Tinggi gunung adalah ST = RS + RT. Dengan demikian, tentukan dahulu panjang sisi RS.
tan a =
RS
RS
↔ RQ =
RQ
tan a
tan γ =
RS
RS
RS
=
=
PR PQ +RQ 1+RQ
tan γ =
RS
1+RQ
⇔ RS = (1+RQ ) tan γ
RS 

⇔ RS =  1+
 tan γ
tan
a


RS 
⇔ RS ( tan a ) =  1+
 (tan a )tan γ
 tan a 
⇔ RS ( tan a ) = ( tan a +RS ) tan γ
⇔ RS ( tan a ) = tan a tan γ +RS tan γ
⇔ RS tan a − RS tan γ = tan a tan γ
⇔ RS(tan a − tan γ ) = tana tan γ
⇔ RS =
tana tan γ
(tan a − tan γ )
  tan a tan γ 

Jadi, tinggi gunung tersebut adalah mendekati  
 + tinggi pendaki 
  (tan a − tan γ ) 

meter.
16