matematika dasar - Direktori File UPI

I. HIMPUNAN
1.1 Pengertian Himpunan
1.2 Macam-macam Himpunan
1.3 Relasi Antar Himpunan
1.4 Diagram Himpunan
1.5 Operasi pada Himpunan
1.6 Aljabar Himpunan
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Pengertian Himpunan
1.
2.
3.
Apa yang dimaksud dengan himpunan ?
Berikan contoh himpunan
Berikan contoh yang bukan himpunan
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Definisi

Himpunan adalah Kumpulan objek-objek
(benda-benda real atau abstrak) yang
didefinisikan dengan jelas.
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh Himpunan



Kumpulan mahasiswa Jurusan
Pendidikan Biologi FPMIPA UPI
Kumpulan anak-anak SD Isola
Kumpulan mahasiswa UPI yang berumur
kurang dari 10 tahun
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh bukan himpunan



Kumpulan anak-anak yang berambut
gondrong
Kumpulan makanan yang lezat-lezat
Kumpulan anak-anak yang pandai
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Notasi Himpunan




Himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf
kapital ; A, B, C, … atau ditandai oleh dua
kurung kurawal, { … }
Sedangkan anggota himpunan biasanya
dinyatakan dalam huruf kecil ; a, b, c, …
Jika x anggota himpunan A, maka ditulis x A
Jika y bukan anggota himpunan B, maka ditulis
y B
Banyaknya anggota himpunan A ditulis n(A)
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan

Coba anda sebutkan macam-macam
himpunan
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan



Himpunan kosong
Himpunan semesta
Himpunan Bilangan

Himpunan terhingga (finite) dan tak terhingga
(infinite)

Himpunan Terhitung (countable) dan
Tak Terhitung (uncountable)
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan



Himpunan kosong
Yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan
ditulis dengan simbol ø atau { }.
Himpunan semesta
Yaitu himpunan yang memuat semua anggota yang
sedang dibicarakan, biasanya ditulis dengan simbol S.
Himpunan Bilangan, terdiri dari ;
Himpunan Bilangan Asli : N = {1, 2, 3, … }
Himpunan Bilangan Cacah : C = {0, 1, 2, 3, … }
Himpunan Bilangan Bulat : Z = { … , -1, 0, 1, … }
Himpunan Bilangan Rasional : Q = {p/q : p, q Z, q 0}
Himpunan Bilangan Real : R
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan
(lanjutan)


Himpunan terhingga (finite) dan tak
terhingga (infinite)
Himpunan terhingga (finite) adalah
himpunan yang banyak anggotanya
terhingga, yaitu himpunan kosong
atau himpunan yang mempunyai n
elemen.
Contoh
A = {a, b, c, d} , B = = { }
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan
(lanjutan)


Himpunan tak terhingga (infinite atau
denumerable) adalah himpunan yang
berkorespondensi satu-satu dengan bilangan
asli, yaitu himpunan yang banyak
anggotanya tak terhingga.
Contoh
Himpunan bilangan genap, himpunan
bilangan ganjil, himpunan bilangan bulat,
himpunan bilangan rasional, dsb.
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan
(lanjutan)

Himpunan Terhitung (countable) dan Tak
Terhitung (uncountable)
Himpunan Terhitung adalah himpunan
terhingga atau denumerable. Jadi
Himpunan terhingga
Himpunan Terhitung
Himpunan denumerable
Contoh ;
A = {1, 2, 3, 4}
B = himpunan bilangan ganjil
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan
(lanjutan)

Himpunan tak Terhitung (uncountable)
adalah adalah himpunan yang tidak
terhitung.
Contoh :
R = Himpunan bilangan real
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Relasi Antar Himpunan




Himpunan sama
Yaitu dua buah himpunan yang memiliki anggota yang
persis sama, tanpa melihat urutannya.
Himpunan equivalen
Yaitu dua buah himpunan yang memiliki banyak anggota
yang sama. Jika A equivalen B, maka ditulis A ~ B
Himpunan Bagian
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B
jika setiap anggota A termasuk anggota B, ditulis A B
Himpunan Kuasa
Yaitu himpunan yang anggotanya adalah himpunanhimpunan bagian dari suatu himpunan
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh Himpunan Kuasa


Jika A = {a, b, c}, maka himpunan kuasa
dari A adalah :
2A = { ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A}
Jika m adalah banyaknya anggota
himpunan A, maka banyaknya anggota
himpunan kuasa dari A adalah 2m
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Diagram Himpunan



Terdiri dari :
Diagram Venn
Diagram Garis
Diagram Cartess
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Diagram Venn
Cara penulisan
diagram Venn
A
C
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
B
Diagram Garis
Jika A himpunan bagian dari C dan B himpunan
bagian dari C, maka ditulis dalam diagram garis
sbb;
D
C
A
B
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Diagram Cartess
Untuk menggambarkan suatu himpunan bilangan, Rene
Descartes menggambarkannya dalam suatu garis bilangan.
Garis bilangan ini disebut garis bilangan Cartess.
Jika A = {x : 0 x < 3}, maka digambarkan dalam garis
bilangan sbb;
0
1
2
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
3
Operasi pada Himpunan





Irisan
A ∩ B = {x : x A dan x B}
Gabungan
A B = {x : x A atau x B}
Penjumlahan
A + B = {x : x A, x B, x (A∩B)}
Pengurangan
A – B = A \ B = {x : x A, x B}
Komplemen
Ac = {x : x A, x S}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Penjumlahan dan Pengurangan
dalam Diagram Venn

A + B = {x : x A, x B,
x (A∩B)}

A – B = {x : x A, x B}
A
A
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
B
B
Sifat-sifat Operasi Himpunan




Sifat komutatif
A B = B A dan A B = B
A
Sifat asosiatif
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
Sifat distributif
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
Sifat Komplemen
A Ac = ø, A Ac = S, (Ac)c = A, Sc = ø, øc = S
(A B)c = Ac Bc dan (A B)c = Ac Bc
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Sifat-sifat Operasi Himpunan (Lanjutan)




Sifat pengurangan
A - A = ø, A – ø = A, A – B = A Bc
A - (B C) = (A - B) (A - C)
A - (B C) = (A - B) (A - C)
Sifat identitas
A ø = ø, A S = A, A ø = A, A S = S
Sifat idempoten
A A = A, A A = A
Sifat himpunan bagian
(A B) A, (A B) B, (A - B) A
Jika A B, maka A B = A, A B = B, Bc Ac dan
A (B – A) = B
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Sifat-sifat Operasi Himpunan (Lanjutan)



Sifat refleksif
A = A, A A, A ~ A
Sifat simetrik
Jika A = B, maka B = A
Jika A ~ B, maka B ~ A
Sifat transitif
Jika A = B dan B = C, maka A = C
Jika A B dan B C, maka A C
Jika A ~ B dan B ~ C, maka A ~ C
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Aljabar Himpunan





Sifat-sifat aljabar himpunan
Prinsip dualitas
Himpunan Berindeks
Partisi
Himpunan bersarang
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Sifat-sifat aljabar himpunan




Hukum idempoten
A A = A, A A = A
Hukum asosiatif
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
Hukum komutatif
A B = B A dan A B = B
A
Hukum distributif
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Sifat-sifat aljabar himpunan (lanjutan)

Hukum identitas
A

ø = ø, A
ø = A, A
S=S
Hukum komplemen
A Ac = ø, A
øc = S

S = A, A
Ac = S, (Ac)c = A, Sc = ø,
Hukum De Morgan
(A
B)c = Ac
Bc dan (A
B)c = Ac
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Bc
Prinsip dualitas


Jika kita menukar dengan dan S
dengan ø dalam setiap pernyataan
tentang himpunan, maka pernyataan
baru tersebut disebut dual dari
pernyataan aslinya.
Contoh
Dual dari (S B) (A ø) = A adalah
(ø B) (A S) = A
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Himpunan Berindeks




J = {1, 2, 3, 4} disebut himpunan indeks
{A1, A2, A3, A4} disebut himpunan berindeks
dan ditulis;
{Ai : i J} = {A1, A2, A3, A4}
Jika K = {1, 2, 3, … n}, maka
{ i Ai : i K} = {A1 A2 … An}
Jika K = {1, 2, 3, … }, maka
{ i Ai : i K} = {A1 A2 … }
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh himpunan berindeks
Jika A1 = {1 }
A2 = {1, 2}
…
An = {1, 2, … , n}
Tentukan { i Ai : 1
{
{
i Ai :
1
i Ai : 1
i
i
i
n} = {A1
n} = {A1
n} dan {
A2
A2
…
…
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
i Ai :
1
i
An}= An
An}= A1
n}
Partisi
1)
2)
β = {B1, B2, … , Bn} disebut partisi dari
A, jika memenuhi kedua sifat berikut ;
A = B1 B2 … Bn
Bi Bj = ø, untuk setiap i ≠ j, 1 i n,
1
j
n
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh partisi
P = {1, 2, 3, …}, Q = {1, 3, 5, …} dan
R {2, 4, 6, …}, maka Q dan R adalah
partisi dari P, sebab Q R = P dan
Q R=ø
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Himpunan Bersarang


A1, A2, … , An, … disebut himpunan
bersarang jika memenuhi ;
A1 A2 … An …
Contoh
A1 = [0,1] , A2 = [0, 1/2] … , An = [0, 1/n], …
A1, A2, … , An, … merupakan himpunan
bersarang, sebab A1 A2 … An …
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Soal latihan
1.
2.
3.
4.
5.
Jika A dan B suatu himpunan buktikan
bahwa A (A B) = A
Misalkan An = {x : x kelipatan n, n bil asli},
tentukan A4 A6
Misalkan Ai = [i, i+1], i {bil bulat}, tentukan
A3 A4 dan A3 A4
Misalkan Dn = (0, 1/n), n {bil asli}, tentukan
D3 D7 dan D3 D7
Cari semua partisi dari W = {1, 2, 3}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Soal-soal
1.
2.
3.
4.
Misalkan An = {x : x kelipatan n, n bil
asli}, tentukan i P Ai , P = bil prima
Misalkan Ai = [i, i+1], i {bil bulat},
tentukan i Ai
Misalkan Dn = [0, 1/n], n A={bil asli},
tentukan i A Di
Misalkan Dn = (-1/n, 1/n), n A={bil
asli}, tentukan i A Di
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI