TEORI PROBABILITAS

TEORI PROBABILITAS
Probabilitas suatu peristiwa adalah harga angka yang
menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu
peristiwa terjadi.
Probabilitas peristiwa nilainya antara 0 hingga 1
Konsep probabilitas berhubungan dengan pengertian
eksperimen yang menghasilkan “hasil yang tidak pasti”
Eksperimen : proses pengumpulan data tentang fenomena
tertentu yang menunjukkan adanya variasi dalam
hasilnya.
Definisi :
• Ruang sampel : himpunan dari elemen-elemen yang
merupakan hasil yang mungkin dari suatu eksperimen, ditulis
dengan lambang S
• Peristiwa adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel,
ditulis dengan lambang huruf besar : A, B, C ….
• Peristiwa sederhana : peristiwa yang hanya mempunyai 1
elemen saja
S={a1, a2, a3, …….an} dimana ai adalah elemen yang mungkin
dari ruang sampel.
Contoh 1:
Eksperimen : Pelemparan sebuah dadu satu kali
Hasil : mata dadu yang tampak di atas
Ruang sampel : S={1,2,3,4,5,6}
Suatu peristiwa : A= angka ganjil yang muncul
A={1,3,5}
Operasi Himpunan :
 Union A dan B: (AUB) Gabungan dua himpunan A dan B
adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A atau
di dalam B (termasuk yang ada di dalam keduanya jika
ada)
 Interseksi/irisan antara A dan B (A∩B) adalah himpunan
semua elemen yang merupakan anggota A dan juga
anggota B.
 Komplemen suatu peristiwa A adalah himpunan semua
elemen yang tidak merupakan anggota A.
A
B
A∩B
A
B
AUB
a. Probabilitas suatu peristiwa :
N ( A) Banyaknya.elemen.dalam. A
P ( A) =
=
N (S )
banyak .elemen.dalam.S
b. Dua peristiwa A dan B saling asing jika irisan kedua
himpunan tersebut kosong yaitu A∩B=Ø sehingga
berlaku :
P(A U B) = P(A) + P(B)
Contoh 2 :
Buah Mentimun diklasifikasikan dalam tiga kelompok
kualitas yaitu Kualitas I, II dan III. Kualitas I dan II
memenuhi syarat sebagai bahan acar dan kualitas III
tidak memenuhi standar sebagai bahan acar. Jika
diambil secara random 200 buah mentimun dan
diperoleh data bahwa 120 buah termasuk dalam
kualitas I, 50 termasuk kulaitas II dan 30 buah termasuk
Jawab :
Jika A : buah mentimun kualitas I
B : Buah mentimun kualitas II
maka mentimun yang termasuk , bahan acar adalah A
U B karena kejadian A dan B saling asing maka
berlaku
P(A U B) = P(A) + P(B)
= 120/200 + 50/200 = 0,6 + 0,25 = 0,85
Jadi probabilitas buah mentimun yang dapat digunakan
sebagai bahan acar adalah 85%.
c. Kejadian A dan B tidak saling asing jika :
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
d. Kejadian A dan B independen : jika kemungkinan
terjadinya B tidak dipengaruhi oleh kemungkinan
terjadinya A. Independen : sampling dengan
pengembalian. Maka berlaku :
P(A/B) = P(A) atau P(B/A) = P(B) dan
P(A ∩ B) = P(A) . P(B).
e.
Jika A dan B merupakan dua kejadian dependen
maka :
P(A/B) ≠ P(A) atau P(B/A) ≠P(B) dan
Dependen : sampling tanpa pengembalian.
Contoh 3: (kejadian tidak saling asing)
Probablilitas kejadian A yaitu kentang yang mempunyai
berat lebih dari 0,1 kg adalah 0,3  P(A) = 0,3
Probalilitas kejadian B yaitu kentang yang dapat ditrima
pembeli adalah 0,8  P(B) = 0,8
Jika probabilitas kentang yang mempunyai berat lebih dari
0,1 kg atau ditrima pembeli adalah 0,9  P(A ᴜ B) = 0,9
Maka : probabilitas kentang yang mempunyai berat lebih
dari 0,1 kg dan dapat ditrima pembeli (A dan B) adalah
P(A dan B) = P(A) + P (B) – P(A or B) = 0,3 + 0,8 – 0,9 =
0,2
f. Probabilitas bersyarat :
Jika A dan B dua kejadian dengan P(B)>0 maka
probabilitas bersyarat kejadian A kalau diketahui B telah
terjadi adalah :
P(A∩B)
P(A/B)=
P(B)
g. Jika A1, A2, A3, A4, …….Ak adalak kejadian partisi dari S
dan B kejadian sembarang dari S, maka untuk setiap
i=1,2,3…k berlaku teorema bayes :
P ( Ai / B ) =
P ( Ai  B )
P( B)
P ( Ai ) P ( B / Ai )
=
P ( A1 ) P ( B / A1 ) + P ( A2 ) P ( B / A2 ) +... + P ( Ak ) P ( B / Ak )
Contoh soal 4 : Probabilitas Bersyarat :
Seorang petugas Quality control melakukan inspeksi terhadap produk
teh berdasarkan standar yang ada. Jika terdapat kejadian :
I : {Produk lolos inspeksi}
B : {Produk sesuai dengan standar konsumen}
Sehingga :
I ∩ B : Kejadian sederhana dimana produk lolos inspeksi dan setelah
dikirimkan ke konsumen sesuai dengan standar yang diinginkan.
I ∩ BC : Kejadian sederhana dimana produk lolos inspeksi dan setelah
dikirimkan ke konsumen tidak sesuai dengan standar yang
diinginkan.
Jika diketahui berdasarkan pengalaman :
I ∩ B = 0,80
I ∩ BC= 0,02
IC ∩ B= 0,15
IC ∩ BC= 0,03
Hitunglah probabilitas kejadian produk yang telah diketahui telah
lolos inspeksi ternyata setelah dikirimkan tidak sesuai dengan
standar yang diinginkan konsumen.
Jawab :
Ditanyakan : probabilitas kejadian produk yang telah diketahui telah lolos
inspeksi ternyata setelah dikirimkan sesuai dengan standar yang diinginkan
konsumen  P(BC/I) = ?
C
P
(
I
∩
B
)
P( B C / I ) =
P( I )
• I : {Produk lolos inspeksi} terdiri dari dua kejadian yaitu :
• I ∩ B = Produk lolos inspeksi dan sesuai standar konsumen
• I ∩ BC= Produk lolos inspeksi dan tidak sesuai dengan standar konsumen
Jadi
• I = (I ∩ B) ∪ (I ∩ BC)
• P(I) = P (I ∩ B) ∪ P (I ∩ BC) = 0,80 + 0,02 = 0,82
• Sehingga :
P( I ∩ B C ) 0,02
P( B / I ) =
=
= 0,0024
P( I )
0,82
C
Analisis kombinatorik :
1.Aturan Perkalian
Jika suatu percobaan terdiri dari k bagian dan bagian 1
menghasilkan n1 hasil yang berbeda, bagian 2 menghasilkan
n2 dan seterusnya bagian k menghasilkan nk maka
banyaknya hasil yang berbeda yang mungkin
n1xn2xn3x…..xnk.
2. Aturan permutasi : Banyaknya susunan atau urutan yang
berbeda dari k obyek yang diambil dari n obyek adalah :
nP
k
= n(n − 1)(n − 2)......(n − k + 1)
Jika k=n maka
n! = n faktorial
n Pk
= n(n − 1)(n − 2)......3 X 2 X 1 = n!
(Konvensi : 0!=1)
Contoh soal 5 : (Aturan Perkalian)
Satu buah koin yang seimbang dilempar dua kali maka berapakah
banyak hasil yang berbeda yang mungkin ?
Jawab :
Dalam kejadian tersebut terdapat dua bagian kejadian yaitu
bagian I pelemparan yang pertama dengan kemungkinan hasil yang
berbeda 2  n1=2
bagian I pelemparan yang pertama dengan kemungkinan hasil yang
berbeda 2  n2=2
maka hasil yang berbeda yang mungkin dari kejadian tersebut adalah
n1 Xn2 = 2 X 2 = 4
Contoh soal 6 a: (Permutasi)
Sebuah supermarket menjual 5 jenis susu formula. Supermarket
tersebut mempunyai satu etalase di bagian depan pintu yang hanya
terdiri dari 3 rak bertingkat. Jika urutan peletakan susu formula
didalam rak bertingkat sangat penting untuk diperhatikan ada
berapakah cara untuk menata 3 jenis susu formula dari 5 jenis yang
ada secara bergantian ?
Jawab :
Urutan penting  Kejadian permutasi
Dicari dulu nilai (n-k+1)=(5-3+1)=3
5P3= 5 X 4 X3 = 60 cara.
3. Aturan kombinasi
Banyaknya kombinasi dari n obyek yang berbeda jika
diambil k obyek adalah :  Tidak memperhatikan urutan
n 
n!
k  = k!( n − k )!
 
Contoh soal 7:
Sebuah perusahaan memiliki 10 orang teknisi jika dibutuhkan 3 orang
teknisi untuk dikirim ke suatu daerah, ada berapa alternatif teknisi
yang terpilih ?
Jawab :
Urutan tidak penting  Kombinasi
Kombinasi 3 dari 10 teknisi :
10 
10!
10 X 9 X 8 X 7!
  =
=
= 120 cara
 3  3!(10 − 3)! 3 X 2 X 1X 7!
4. Aturan partisi
Jika suatu obyek terdiri dari N elemen yang berbeda dan
akan dibagi dalam k partisi (kelompok atau bagian)
dimana bagian I beranggotakan n1 dan bagian II
beranggotakan n2 dan bagian k beranggotakan nk
elemen, maka jumlah partisi yang berbeda adalah :
N!
n1!+n2 !+.... +nk !
Dimana n1 + n2 + ….+ nk=N
Contoh soal 8: Aturan Partisi
Sebuah perusahaan mempunyai 12 orang analisis dan perusahaan tersebut
akan membagi mejadi 3 kelompok yaitu untuk menyelesaikan pekerjaan I
membutuhkan 3 orang analis, untuk pekerjaan II membutuhkan 4 orang
analis, dan untuk pekerjaan III membutuhkan 5 orang analis. Dalam
permasalahan ini ada berapakah cara yang berbeda yang mungkin untuk
membagi tugas tersebut ?
Jawab :
Terdapat N=12 analis yang dibagi dalam beberapa bagian n1=3, n2=4, dan
n3=5 sehingga jumlah partisi yang berbeda yang mungkin adalah :
N!
12!
=
= 27.720 alternatif
n1! Xn2 ! Xn3 ! 3! X 4! X 5!
Kerjakan soal berikut dikumpulkan paling
lambat tanggal 15 Oktober 2013 :
1. Sebuah pabrik mempunyai 2 mesin penggiling lateks, penggiling I
dalam kondisi idle (mengganggur) adalah 40%, sedangkan mesin II
dalam kondisi mengganggur 30%. Jika kedua alat dipasang paralel
(indenpenden satu sama lain) maka hitunglah :
a. Kedua mesin sama-sama mengganggur
b. Kedua mesin sama-sama tidak ada yang mengganggur
c. Minimal ada satu mesin yang mengganggur.
1. Dari 20 mahasiswa terdiri dari 12 orang laki-laki dan 8 wanita. Jika
akan dipilih 4 orang wakil secara rnadom, berapakah probabilitas
a. Yang terpilih ada 2 orang yang wanita
b. Yang terpilih minimal ada 2 wanita