Partial Derivative - Universitas Brawijaya

TKS 4003
Matematika II
Turunan Parsial
(Partial Derivative)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Derivative Partial
Diketahui
z = f(x,y) fungsi dengan dua peubah
(variabel) x dan y, karena x dan y merupakan
variabel bebas (independen) maka :
(i ). x berubah-ubah, sedangkan y tertentu.
(ii). y berubah-ubah, sedangkan x tertentu.
Derivative Partial (lanjutan)
Definisi :
i). Derivatif parsial terhadap peubah x
Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z
merupakan fungsi x , derivatif parsial z = f(x,y)
terhadap x adalah :
f ( x  x, y )  f ( x, y )
f x ( x, y )  lim
x 0
x
Derivative Partial (lanjutan)
ii). Derivatif parsial terhadap perubah y
Jika y berubah-ubah dan x tertentu, maka z
merupakan fungsi y, derivatif parsial z = f(x,y)
terhadap y adalah :
f ( x, y  y)  f (x, y)
z
 f y (x, y)  lim
y
y
y  0
Disebut derivatif parsial z = f(x,y) terhadap y.
Contoh
1. Menentukan nilai derivatif menggunakan limit
a. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap x, jika
f(x,y) = x2 + 2y
Jawab : f(x,y) = x2 + 2y, maka :
f x ( x, y)  lim
x 0
f ( x  x, y)  f ( x, y)
x
((x  x ) 2  2 y)  ( x 2  2 y)
 lim
x 0
x
 lim (2 x  x)
x 0
 2x
Contoh (lanjutan)
b. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap y , jika
f(x,y) = x2 + 2y
Jawab :
f ( x, y  y)  f ( x, y)
f y ( x, y)  lim
Δy 0
y
( x 2  2 ( y  y ))  ( x 2  2 y )
 lim
Δy 0
y
 lim 2
Δy 0
2
Contoh (lanjutan)
c. Jika z = ln(x2 + y2), tunjukkan bahwa :
z
z
x
y
2
x
y
Jawab :
Ditentukan terlebih dahulu :
z
dan
x
z
y
Selanjutnya tentukan nilai :
x
z
z
 y
x
y
Contoh (lanjutan)
z = ln(x2 + y2), derivatif parsial terhadap x dan y :
z  ln(x 2  y 2 )
2x

 2 2
x
x
x y
dan
z  ln(x 2  y 2 )
2y

 2
y
y
x  y2
maka :
z
z
2x
2y
x y x 2
y 2
2
2
2
x
y
x y
x y
Derivatif Parsial tingkat n
Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai derivatif parsial di
setiap titik (x,y) pada suatu daerah, maka :
z
z
 f x ( x , y) dan
 f y ( x , y)
x
y
merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga
mempunyai derivatif parsial, yang disebut derivatif
parsial tingkat dua. Derivatif parsial tersebut dapat
dinyatakan sebagai berikut :
Derivatif Parsial tingkat n (lanjutan)
Contoh
Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk
f(x,y) = x2y – 3xy + 2x2y2
Jawab :
Derivatif parsial tingkat satu fungsi :
fx(x,y) = 2xy – 3y + 4xy2
fy(x,y) = x2 – 3x + 4x2y
Jadi derivatif parsial tingkat dua :
fxx(x,y) = 2y + 4y2
fyy(x,y) = 4x2
fyx(x,y) = 2x – 3 + 8xy
= 2x + 8xy – 3
dan
fxy(x,y) = 2x – 3 + 8xy
= 2x + 8xy – 3
Derivative Total
Tinjau kembali fungsi
z = f(x,y)
x dan y peubah bebas.
derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x dan y :
z
 f x ( x , y)
x
dan
z
 f y ( x , y)
y
dengan mengambil dx = x dan dy = y
diferensial total dari fungsi
didefinisikan sebagai berikut :
dz 
z
z
dx 
dy
x
y
z
dinyatakan
dz
Diferensial Total n Variabel
1. Jika z = f(x1, x2, ..., xn ), maka :
f
f
f
dz 
dx1 
dx2  ... 
dxn
x1
x2
xn
2. Jika f(x1, x2, …, xn) = c, maka df = 0
catatan x1, x2, ..., xn bukan merupakan variabel
independen.
Contoh
a. Tentukan diferensial total untuk :
r = s2θ + 3sθ2
Jawab :
karena r = s2θ + 3sθ2
maka :
r
r
2 dan
 s 2  6 s
 2s  3

s
Jadi diferensial total z :
r
r
dr  ds  d  2s  3 2 ds  s 2  6s d
s

Contoh (lanjutan)
b. Tentukan diferensial total untuk :
1
 x 2  y 2 
ze 2
Jawab :
1
 x 2  y 2 
karena z  e 2
maka :
1
 x 2  y 2 
z
  xe 2
dan
x
 x 2  y 2 
z
  ye 2
y
Jadi diferensial total z :
1
 x 2  y 2 
z
z
dz  dx  dy  x  y e 2
x
y
1
Latihan
1. Tentukan fx(x,y) dan fy(x,y), jika :
x 2 y2

a. f(x,y) =
y
x
b. f(x,y) = sin (3x + 2y)
c. f(x,y) = arc tan xy
2. Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk z, jika :
a. z = x  y
b. z = 2x2 – 5xy + y2
c. z = xxy
y
2
3. a. Jika
b. Jika
2
w  x 2  y ln x
dengan
x  s / t,
w  x 2 y  z 2 ; x   cos  sin  ;
w
maka tentukan
pada saat

y  s 2t , maka tentukan
y   sin  sin  ;
  2;
z   cos  ,
  ;  

2
w
t
Terima kasih
dan
Semoga Lancar Studinya!