12 M - Universitas Mercu Buana

P. XII
GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG BERDIMENSI 3
Bidang-bidang Dalam Ruang Berdimensi 3
Dalam geometri analitis bidang, sebuah garis bisa didapatkan dengan menentukan
kemiringan dan salah satu titikna. Demikian juga, sebuah bidang dalam ruang berdimensi 3
bisa didapatkan dengan menentukan inklinasi dan salah satu titiknya. Sebuah metode yang
mudah untuk menguraikan inklinasi adalah dengan menentukan suatu vektor tak nol (disebut
suatu “normal”) yang tegak lurus dengan bidang tersebut.
Anggap persamaan bidang tersebut melalui titik Po (x0, y0, z0) dan mempunyai vektor tak nol
n = (a, b, c) sebagai normal.
Dari gambar tersebut terlihat bahwa bidang tersebut persis
z
mengandung titik-titik P (x, y, z) dimana vektor
n
P (x, y, z)
Po P ortogonal terhadap n.
n. Po P = 0
P0 (x0, y0, z0)
y
Po P =((x - x0), (y - y0), (z - z0)), maka:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
x
Kita sebut ini bentuk “normal titik” dari persamaan sebuah
bidang.
Contoh: Cari sebuah persamaan bidang yang melalui titik (3, -1, 7) dan tegak lurus terhadap
n = (4, 2, -5)
Jawab: 4(x – 3) + 2(y + 1) – 5(z – 7) = 0
4x + 2y – 5z + 25 = 0
Bentuk Vektor dari Persamaan Sebuah Bidang
z
Dari gambar, anggap r = (x, y, z) adalah vektor dari titik
r
r0
x
P (x, y, z)
n
asal ke titik P (x, y, z). Anggap r0 = (x0, y0, z0) adalah vektor
r-r0
dari titik asal ke titik P0 (x0, y0, z0) dan anggap n = (a, b, c)
P0 (x0, y0, z0)
y
adalah suatu normal vektor pada bidang tersebut, maka
Po P = r – r0, sehingga n. Po P = n(r – r0) = 0
Ini disebut “bentuk vektor dari persamaan sebuah bidang”.
http://www.mercubuana.ac.id
Beberapa Masalah Tentang Jarak
Jarak antara bidang-bidang sejajar v dan w sama dengan jarak antaa
P0 dan w. Jarak D antara sebuah titik P0 (x0, y0, z0) dan bidang
ax + by + cz + d = 0 adalah D
ax 0 by 0 cz 0 d
a 2 b 2 c 2
Contoh: Cari jarak D antara titik (1, -4, -3) dan bidang 2x –3y + 6z = -1
Jawab: 2x –3y + 6z +1 = 0
D
21 3 46 3 1
2 2 32 6 2

3
7

3
7
http://www.mercubuana.ac.id