MATERI KULIAH MINGGU KE-4 NOVEMBER 2010

MATERI KULIAH MINGGU KE-4 NOVEMBER 2010
(Dosen Pengampu : Dwi Ertiningsih, M.Si.)
Turunan Fungsi Implisit
Fungsi eksplisit berbentuk : y = f (x) , sedangkan bentuk implisitnya adalah : y − f ( x) = 0 atau
F ( x , y ) = 0.
Langkah penurunan fungsi implisit :
1.
Asumsikan y merupakan fungsi x dan diferensiabel
2.
Turunkan kedua ruas terhadap x
3.
Selesaikan
dy
ke dalam x dan y.
dx
Contoh
x 3 + y 3 = 6 xy
⇒
dy
= ......
dx
Penyelesaian
d ⎛ 3
d
3
2
2 dy = 6 x dy + 6 y
⎜ x + y ⎞⎟ = (6 xy ) ⇔ 3x + 3 y
⎠ dx
dx
dx
dx ⎝
dy
⇔ (3 y 2 − 6 x)
= 6 y − 3x 2
dx
dy 6 y − 3x 2 2 y − x 2
⇔
=
=
dx 3 y 2 − 6 x y 2 − 2 x
Latihan 1
(x3 + y 2 )4 = x
⇒
dy
= .....
dx
.
Turunan Fungsi Invers
Misalkan y = f (x) mempunyai invers, yaitu x = g ( y ) , maka didapat :
1
∆x
∆x
,
=
=
∆y f ( x + ∆x) − f ( x) ⎛ f ( x + ∆x) − f ( x) ⎞
⎟
⎜
∆x
⎠
⎝
dengan ∆x = g ( y + ∆y ) − g ( y ) , sehingga jika ∆y → 0 maka ∆x → 0 , diperoleh:
1
1
1
∆x
dx
dx
1
= lim
= lim
=
Jadi,
=
f ( x + ∆x) − f ( x)
dy ∆x→0 ∆y ∆x→0 f ( x + ∆x)
dy dy
dx
lim
∆x
∆x→0
∆x
Contoh
y = f ( x) = x , tentukan
dy
dx
dan
dx
dy
Penyelesaian
dy
1
=
dx 2 x
dx
1
=
=2 x
dy dy
dx
Turunan Fungsi Trigonometri
Misalkan f(x) = sin(x) → f ' ( x) = …..?
f (x + ∆x) − f (x)
f ′(x) = lim
∆x→0
∆x
sin(x + ∆x) − sin(x)
= lim
∆x→0
∆x
= lim
∆x → 0
sin( x). cos(∆x) + cos( x). sin( ∆x) − sin( x)
∆x
sin( x)[cos(∆x) − 1]
cos( x). sin( ∆x)
+ lim
∆
x
→
0
∆x
∆x
cos(∆x) − 1 cos(∆x) + 1
.
= cos( x) + sin( x). lim
∆x → 0
cos(∆x) + 1
∆x
= lim
∆x → 0
= cos( x) + sin( x). lim
∆x → 0
= cos( x) + sin( x).1.
sin(∆x)
sin( ∆x)
lim
∆
x
→
0
cos(∆x) + 1
∆x
0
2
= cos( x)
Jadi, f ' ( x) = cos( x)
2
Rumus-rumus dasar
1. f ( x) = sin( x) ⇒ f ' ( x) = cos( x)
2. f ( x) = cos( x) ⇒ f ' ( x) = − sin( x)
3. f ( x) = tan( x) ⇒ f ' ( x) = sec2 ( x)
4. f ( x) = cot( x) ⇒ f ' ( x) = − cos ec 2 ( x)
5. f ( x) = sec( x) ⇒ f ' ( x) = sec( x). tan( x)
6. f ( x) = cos ec( x) ⇒ f ' ( x) = − cos ec( x).cot( x).
Contoh
Tentukan f ′(x) jika f ( x) =
tan x − 1
sec x
Penyelesaian
tan x − 1
sec x
d
d
sec x. (tan x − 1) − (tan x − 1). (sec x)
dx
dx
f ' ( x) =
sec2 x
sec x.sec2 x − (tan x − 1) sec x. tan x
f ' ( x) =
sec2 x
f ( x) =
sec2 x − (tan x − 1) tan x
sec x
2
sec x − tan 2 x + tan x
f ' ( x) =
sec x
2
sec x − (sec2 x − 1) + tan x
f ' ( x) =
sec x
1 + tan x
f ' ( x) =
sec x
f ' ( x) =
Latihan 2
Tentukan dy dx dari fungsi-fungsi berikut:
1. y = 5 tan x5 + 5 tan 5 x
2. y = 5 sec x5
3. sin( x 2 + y 2 ) = y (3 x 2 + 2)
3
Turunan Fungsi Siklometri
Misalkan y = arc sin(x) , berarti x = sin( y ) .
dy
= ...
dx
dx
= cos( y ) = 1 − sin 2 ( y ) = 1 − x 2
dy
Jadi,
dy
1
1
=
=
dx dx
1 − x2
dy
Dengan cara sama diperoleh:
dy
−1
=
dx
1 − x2
dy
1
=
2. y = arc tan( x) ⇒
dx 1 + x 2
dy
−1
=
3. y = arc cot( x) ⇒
dx 1 + x 2
dy
1
=
4. y = arc sec( x) ⇒
dx x x 2 − 1
1. y = arc cos( x) ⇒
5. y = arc cos ec( x) ⇒
dy
−1
=
dx x x 2 − 1
Contoh
Tentukan turunan dari fungsi s = 1 − t 2 .arc sin(t )
Penyelesaian
s = 1 − t 2 .arc sin(t )
ds
d
= arcsin(t ).
dt
ds
= arcsin(t ).
dt
2
1− t2
d (arcsin(t ))
+ 1− t2 .
dt
dt
1
− 2t
t arcsin(t )
+ 1− t2 .
=1−
2
2
1− t2
1− t
1− t
Latihan 3
⎛1− x ⎞
⎟
⎝1 + x ⎠
Tentukan turunan dari fungsi y = arctan⎜
4
Turunan Fungsi Logaritma
y = a log x, a > 0 , a ≠ 1 , dan x > 0.
∆y
dy
=K
= lim
dx ∆x→0 ∆x
∆y a log( x + ∆x)− a log( x) 1 a
x + ∆x
=
= ⋅ log(
)
∆x
∆x
∆x
x
1
x 1
x + ∆x ∆x a
∆x ∆x ⋅ x
a
)
)
= log(
= log(1 +
x
x
Sehingga diperoleh
∆y
dy
∆x ⋅
= lim
= lim a log(1 + ) ∆x x
dx ∆x →0 ∆x ∆x →0
x
x 1
1 e log e
1
dy 1
∆x ⋅
= log[ lim (1 + ) ∆x x ] Jadi, = ⋅a log e = ⋅ e
=
∆x → 0
x
dx x
x log a x ln(a)
x 1
a
= a log(e)
1
x
Jika diambil a = e diperoleh : e log x = ln x ⇒
dy 1
=
dx x
Contoh
Tentukan
dy
⎛a−x⎞
dari fungsi y = ln⎜
⎟
dx
⎝a+x⎠
Penyelesaian
y = ln(
a−x
a−x
); y = ln : u =
a+x
a+x
dy dy du
=
⋅
dx du dx
1 − (a + x) − (a − x)
= ⋅
u
(a + x)2
a + x − 2a
=
a − x (a + x)2
− 2a
= 2
a − x2
5
atau
a−x
) = ln(a − x) − ln(a + x)
a+x
1
1
dy
(−1) −
=
dx a − x
a+x
− (a + x) − (a − x)
=
a2 − x2
− 2a
= 2
a − x2
y = ln(
Latihan 4
1.
Tentukan
dy
dari fungsi y = ln x
dx
2.
Tentukan
dy
dari fungsi y = x x
dx
Turunan Fungsi Eksponensial
Misalkan y = a x , a > 0 berarti x = a log y
dy
1
1
=
=
= y. ln(a ) = a x . ln(a)
1
dx dx
y. ln(a)
dy
ln(e)
dy
jika diambil a = e → y = e x →
= ex
= ex
dx
e log e
Contoh
y = e 2 sin x + x
2
dy
=K
dx
Penyelesaian
y = e 2 sin x + x
2
; y = e u dengan u = 2 sin x + x 2
dy dy du
=
⋅
= e u .(2 cos x + 2 x)
dx du dx
= 2( x + cos x)e 2 sin x + x
2
6
Turunan Fungsi Parameter
Fungsi y = f (x) sering dinyatakan dalam bentuk parameter yaitu :
y = g (t )
x = h (t )
dengan t suatu parameter
dy dy dt dy 1
=
⋅
=
⋅
dx dt dx dt dx
dt
dy
= dt
dx
dt
Contoh
x = et sin t
y = e cos t
t
⟩
dy
=K
dx
Penyelesaian
x = e t sin t
y = e t cos t
dy dy dt dy
1
=
⋅
=
⋅
dx dt dx dt dx
dt
dy
t
t
dt = e cos t − e sin t
=
dx
e t sin t + e t cos t
dt
Jadi,
dy cos t − sin t
=
dx sin t + cos t
Turunan Tingkat Tinggi
Diberikan fungsi y = f ( x)
f ' ( x) = lim
∆x →0
f ( x + ∆x) − f ( x)
ada, maka nilai limitnya
∆x
disebut TURUNAN TINGKAT I dari f ( x).
f " ( x) =
d (dy
2
dx) d y
= 2
dx
dx
disebut TURUNAN TINGKAT II dari f ( x).
M
f ( n )( x) =
dny
disebut TURUNAN TINGKAT –n dari f ( x).
dx n
7
Contoh
y = f ( x) = ln(1 − x) → f ( n ) ( x) = K
Penyelesaian
f ' ( x) = dy
dx
2
f " ( x) = d y
f
( 4)
−1
1− x
dx 2
3
f ' ' ' ( x) = d y
f
=
dx
3
=
−1
d dy
(
)=
dx
dx
(1 − x) 2
=
d d2y
−2
(
2) =
dx
dx
(1 − x)3
4
( x) = d y
( n)
( x) =
dx 4
=
− 2 .3
d d3y
(
3) =
dx
dx
(1 − x) 4
M
− (n − 1)!
(1 − x)
n
Latihan 5
1.
Tentukan
d2y
dari fungsi berikut :
dx 2
x = et
y = t2
2.
Tentukan f ( n ) ( x) dari fungsi f ( x) = sin x
3.
Hitunglah derivative dari fungsi-fungsi berikut ini :
a.
⎧− x 2 , x < −1
G ( x) = ⎨
⎩2 x + 1, x ≥ −1
b.
H ( x) =| x − 2 | di titik x = 2
c.
y + x2 y − x + 3 = 0
d.
sin( x + y ) = xy 5
e.
y = sin( x 3 + 1)
f.
y = x + x +1
,
di titik x = −1
8