Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris

MINOR
 Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah
determinan yang berasal dari determinan orde ke-n
tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
 Dinotasikan dengan Mij
 Contoh Minor dari elemen a₁₁
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
 a11 a12

a22
a
A   21
a
a32
 31
a
 41 a42
2
a13 

a23 
a33 
a13
a23
a33
a43
a22
a23
a32
a33
a22
M 11  a32
a42
a23
a33
a43
M 11 
a14 

a24 
a34 

a44 
a24
a34
a44
MINOR
 Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)
3
KOFAKTOR MATRIKS
 Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan
dengan
 Contoh :
Kofaktor dari elemen a11
c23  (1) 23 M 23  M 23
4
TEOREMA LAPLACE
 Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah
perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau
kolom dengan kofaktor-kofaktornya
5
TEOREMA LAPLACE
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris
 Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi
kofaktor baris pertama
|A|  a11c11  a12c12  a13c13
 a11 M 11  a12 M 12  a13 M 13
a22
 a11
a32
6
a23
a21 a23
a21 a22
 a12
 a13
a33
a31 a33
a31 a32
TEOREMA LAPLACE
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris
kedua
|A|  a 21c21  a 22c22  a 23c23
 a 21 M 21  a 22 M 22  a 23 M 23
a12
 a 21
a32
a13
a11
 a 22
a33
a31
a13
a11
 a 23
a33
a31
a12
a32
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris
ketiga
|A|  a31c31  a32c32  a33c33
 a31 M 31  a32 M 32  a33 M 33
a12
 a31
a 22
7
a13
a11
 a32
a 23
a 21
a13
a11
 a33
a 23
a 21
a12
a 22
TEOREMA LAPLACE
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom
 Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi
kofaktor kolom pertama
|A|  a11c11  a 21c21  a31c31
 a11 M 11  a 21 M 21  a31 M 31
a 22
 a11
a32
8
a 23
a12
 a 21
a33
a32
a13
a12
 a31
a33
a 22
a13
a 23
TEOREMA LAPLACE
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom
kedua
|A|  a12c12  a 22c22  a32c32
 a12 M 12  a 22 M 22  a32 M 32
a 21
 a12
a31
a 23
a11
 a 22
a33
a31
a13
a11
 a32
a33
a 21
a13
a 23
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom
ketiga
|A|  a13c13  a 23c23  a33c33
 a13 M 13  a 23 M 23  a33 M 33
a 21
 a13
a31
9
a 22
a11
 a 23
a32
a31
a12
a11
 a33
a32
a 21
a12
a 22
DET MATRIKS SEGITIGA
 Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa
segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A)
adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
det( A)  a11  a22  a33    dst
 Contoh
det( A)  2  (3)  6  9  4  1296
10
TRANSPOSE MATRIKS
 Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A
ͭ
dinyatakan oleh A dan didefinisikan dengan matriks n x m
yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom
keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan
kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.
 Contoh :
1 3 1
matriks A : A  
berordo 2 x 3

4 1 3
transposenya :
11
1 4
A t  3 1
1 3
berordo 3 x 2
TRANSPOSE MATRIKS
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
1.( A  B) T  AT  B T
2.( AT ) T  A
3.( AB ) T  B T AT
4.(kA) T  kAT
12
MATRIKS SIMETRI
Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose
matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.
A A
T
Contoh :
1.
1
A  3
2
1
AT  3
2
13
2.
3 2
0 0
0 0
3 2
0 0
0 0
2
B 
1
2
BT  
1
1
2
1
2
INVERS MATRIKS
 Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B
yang apabila dikalikan dengan matriks A memberikan
satuan I
 AB = I
 Notasi matriks invers : A 1
 Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya
akan menghasilkan matrik satuan
A1 A  I
 Jika
a b 
A

c
d


14
Maka
A 1 
 d  b
1
ad  bc  c a 
INVERS MATRIX
 Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M
yang berordo 3x3 adalah :
- Cari determinan dari M
- Transpose matriks M sehingga menjadi M T
- Cari adjoin matriks
- Gunakan rumus
M
15
1
1

(adjoin ( M ))
det(M )
SOAL
 Soal 1 :
M
1
 0
5
2
1
6
3
4
0
- Cari Determinannya :
- Cari Transpose matriks M
Soal 2:
Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor
matriksnya
16
INVERS MATRIX
 Soal 3: Tentukan Hasil Adjoinnya dari matriks berikut
ini:
5 
  24 18


 20  15  4 
 5
4
1 

17
•
•
•
•
•
Kerjakan soal 1 s/d 3
Jawaban dikirim dengan nama file: nama saudara_matriks
Jawaban dikirim lewat email ke [email protected]
Paling lambat diterima hari Selasa tanggal 1 Desember 2015
Keterlambatan pengiriman jawaban ada pengurangan nilai