STATISTIKA-2 (STATISTIKA INDUKTIF)

Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
STATISTIKA-2
(STATISTIKA INDUKTIF)
MATERI KULIAH:
1. TEORI PROBABILITAS (TEORI PELUANG)
2. DISTRIBUSI PROBABILITAS

HARAPAN MATEMATIK

TEORI KEPUTUSAN
3. DISTRIBUSI TEORITIS:

DISTRIBUSI BINOMIAL

DISTRIBUSI NORMAL

DISTRIBUSI POISSON

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
4. DISTRIBUSI SAMPLING

DISTRIBUSI SAMPLING : MEAN (RATA-RATA)

DISTRIBUSI SAMPLING : BEDA 2 MEAN

DISTRIBUSI SAMPLING : PROPORSI

DISTRIBUSI SAMPLING : BEDA 2 PROPORSI
5. TEORI PENDUGAAN (ESTIMASI)

ESTIMASI MEAN

ESTIMASI BEDA 2 MEAN

ESTIMASI PROPORSI

ESTIMASI BEDA 2 PROPORSI
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
1
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
6. UJI HIPOTESIS

UJI HIPOTESIS TERHADAP MEAN

UJI HIPOTESIS TERHADAP BEDA 2 MEAN

UJI HIPOTESIS TERHADAP PROPORSI

UJI HIPOTESIS TERHADAP BEDA 2 PROPORSI
7. UJI KAI-KUADRAT (CHI-SQUARE)
UJI PROPORSI
UJI GOODNESS OF FIT
UJI INDEPENDENSI
8. ANALISIS VARIANS (ANALYSIS OF VARIANCE / ANOVA)
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
2
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
BAGIAN I
TEORI PROBABILITAS
1. Pengantar Umum (Overview Statistika Induktif/inferens)
2. Beberapa Pengertian: Percobaan, Ruang Sampel, Titik Sampel,
Ruang Kosong, Peristiwa, Peristiwa Sederhana, Peristiwa
Majemuk.
3. Pengertian Probabilitas
4. Pendekatan Probabilitas : teoritis, frekuensi relatif, dan empiris.
5. Pengertian Peristiwa dan Perhitungan Probabilitas:
P(A) = n(A)/N;
P(A’)=(N-n(A))/N;
0P(E)1; P() = 0;
P(A)+P(A’)=1
P(S) = 1
PERHITUNGAN PROBABILITAS DUA PERISTIWA
ATAU LEBIH
A. ATURAN PENJUMLAHAN:
1) Bila A dan B adalah dua peristiwa sembarang, maka :
P(AB) = P(A)+P(B)-P(AB)
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
3
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
2). Bila A dan B saling terpisah, maka
P(AB) = P(A)+P(B)
3) Bila A1, A2, A3,....An, saling terpisah, maka:
P(A1A2A3...An) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+.....+P(An)
4). Bila A dan A’ adalah dua peristiwa yang satu merupakan komplemen lainnya, maka :
P(A)+P(A’) = 1; karena AA’=U dan peristiwa A dan A’ saling terpisah
sehingga:
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
4
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
1=P(U)
=P(AA’)
=P(A)+P(A’)
B. PERISTIWA BERSYARAT (CONDITIONAL EVENTS)
Probabilitas peristiwa B, bila peristiwa A telah diketahui
dilambangkan dengan P(B|A), didefinisikan sebagai:
P ( A| B ) 
P( A  B)
, jika P(A)>0
P ( A)
Bila peristiwa A dan B dikatakan bebas, bila P(B|A)=P(B) atau
P(A|B)=P(A). Bila syarat ini tidak terpenuhi, maka A dan B
dikatakan tidak bebas.
C. ATURAN PERKALIAN
1). Aturan Perkalian. Bila A dan B dua peristiwa yang dapat terjadi
sekaligus, maka :
P(AB)=P(A).P(B|A)
2). Aturan Perkalian Khusus. Bila A dan B dua peristiwa bebas, maka:
P(AB)=P(A).P(B)
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
5
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
6. HUBUNGAN DUA PERISTIWA ATAU LEBIH
Dua peristiwa atau lebih dapat berupa:
a) Saling Meniadakan (Mutually Exclusive)
b) Saling Melapis Sebagian (Partially Overlapping)
c) Saling Bebas satu sama lain (Independent)
d) Bergantung pada Peristiwa Lain (Dependent)
A. Peristiwa Saling Meniadakan
Terjadinya suatu peristiwa A mengakibatkan tidak terjadinya peristiwa
B dan sebaliknya. Peristiwa A dan B tidak dapat terjadi bersamaan.
P(A atau B)= P(AUB)=P(A) + P(B)
P(A dan B) =P(AB)=0
Bila Peristiwanya lebih dari dua:
P(A atau B atau C)= P(ABC)=P(A) + P(B)+P(C)
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
6
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
B. Peristiwa Yang Saling Melapis Sebagian
Peristiwa A dan B saling melapis sebagian bila ada sebagian titik sampel
peristiwa A yang juga menjadi anggota peristiwa B, sehingga:
P(A atau B)=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
Bila Peristiwanya lebih dari dua:
P(AatauBatauC)=
P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)-P(ABC)
C. Peristiwa Yang Saling Bebas
Dua peristiwa A dan B disebut saling bebas (independent) bila
terjadinya salah satu peristiwa tidak mempengaruhi probabilitas
terjadi atau tidak terjadinya peristiwa yang lainnya.
P(A dan B)=P(AB)=P(A).P(B)
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
7
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
D. Peristiwa Yang saling tergantung
Dua peristiwa disebut tergantung, bila peristiwa B terjadi sesudah
peristiwa A terjadi. Probabilitas peristiwa A dengan syarat peristiwa
B telah terjadi. Dengan kata lain, probabiltas peristiwa B tergantung
pada perIstiwa A. Probabilitas Peristiwa seperti ini disebut juga
probabilitas bersyarat.
P(B|A) = probabilitas peristiwa B dengan syarat peristiwa A sudah
terjadi.
P(A dan B) = P(AB)=P(A).P(B|A)
P(A  B)
P(B|A) = -------------------P(A)
P(BA)
P(A|B) = -------------------P(B)
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
8
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
BAGIAN II
DISTRIBUSI PROBABILITAS
A. Pengertian :
Distribusi Probabilitas adalah distribusi variabel random
Variabel random adalah variabel yang nilainya ditentukan oleh
peluang.
1) Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit
Probabilitas Var. Random : P(X=a)=f(X=a)=p(X=a)
Probabilitas Kumulatif = P(X=a)=F(X=a)=f(Xa)
Syarat Distribusi Probabilitas dapat disebut Distribusi Probabilitas
Variabel Random Diskrit:
P(Xi)0 dan P(Xi)=1
Fungsi Probabilitas : fungsi yang menghubungkan antara nilai pada
titik tertentu dari variabel random diskrit tersebut dengan
probabilitasnya
P(X=a)=f(X=a)
Fungsi Distribusi Probabilitas: fungsi yang menghubungkan antara
nilai pada titik tertentu dari variabel random diskrit tersebut dengan
probabilitas kumulatifnya:
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
9
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
F(X=a) = f(X=a)
2) Distribusi Probabilitas Variabel Random Kontinyu
P(X=a)= 0
Probabilitas Kumulatif = P(X=a)=F(X=a)=f(Xa)
Syarat Distribusi Probabilitas dapat disebut Distribusi Probabilitas
Variabel Random Kontinyu:
P(Xi)0 dan  P(Xi)=1
Fungsi Kepadatan (density function): fungsi yang menghubungkan
jarak vertikal antara nilai pada titik tertentu dari sumbu mendatar
dengan titik pada grafik yang bersesuaian pada sumbu vertikal atau
P(X).
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
10
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
B. Harapan Matematik - Mathematical Expectation- Expected Value
Expected Value dari suatu variabel X adalah sama dengan jumlah
seluruh perkalian dari nilai variabel random X dengan
probabilitasnya. Expected Value suatu variabel merupakan nilai ratarata (mean) dari variabel random yang bersangkutan
E(X)=  Xi.P(Xi)
C. Teori Keputusan
Teori Keputusan berhubungan dengan pengambilan keputusan
dalam keadaan Certainty, Risk, Uncertainty dan Conflict.
Certainty : bila semua informasi yang diperlukan untuk membuat
keputusan tersedia penuh sehingga probabilitas hasil dapat
diperkirakan dengan tepat.
Uncertainty : bila tidak terdapat informasi cukup untuk membuat
keputusan, sehingga probabilitas hasil tak dapat diperkirakan.
Risk : bila informasi tidak tersedia tetapi probabilitas bahwa hasil
(outcome) tertentu akan terjadi dapat diperkirakan. Kondisi Risk
berada di antara Certainty dan Uncertainty
Conflict : bila ada dua kepentingan atau lebih pengambil keputusan
berada dalam kondisi persaingan. Pengambil keputusan tidak
hanya tertarik pada tindakan mereka, tetapi juga pada tindakan
pengambil keputusan yang lain (misal : Games Theory, Prisoner’s
Dilemma, Pasar Oligopoli)
Kondisi Risk
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
11
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
A) Expected Opportunity Loss (EOL)
B) Expected Value of Perfect Information (EVPI)
Kondisi Uncertainty
A) Kriteria Maximin
B) Kriteria Maximax
C) Kriteria Hurwicz
D) Kriteria Regret
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
12
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
BAGIAN III
DISTRIBUSI TEORITIS
1. DISTRIBUSI BINOMIAL
 Percobaan Binomial : percobaan yang hanya menghasilkan dua
kemungkinan hasil (outcome): sukses atau gagal
 Syarat-syarat Percobaan Bernoulli
 Probabilitas Binomial :
B(x; n, p)

x
x
Cn . p .q
(n x)
 Rata-rata Binomial :
  n. p
 Varians Binomial :

2

npq
 Probabilitas Binomial Kumulatif : jumlah probabilitas untuk semua
x yang bernilai kurang dari a (atau x<a)
2.
DISTRIBUSI
NORMAL
(DISTRIBUSI
GAUSS/GAUSSIAN
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
13
DISTRIBUTION)
 Pengertian distribusi normal
 Sifat-sifat distribusi normal
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
 Fungsi kurva normal
x  N ( x;, )
1

 2
1 x
 (
)
2 

2
; untuk -  < x < 
 Luas daerah di bawah kurva normal:
x  N ( x; , )

1
2


1 x
 (
)
2 

2

X  
Z

 Distribusi Normal Standard : =0 dan =1;
  
x  N ( x;01
,)
1

2
1
 (Z)
2

2
 Fungsi kepadatan distribusi normal harus memenuhi syarat :

N (X ) 
 n( X ).dX  1

Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
14
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
3. DISTRIBUSI POISSON
Distribusi Poison digunakan bila pendekatan binomial tidak dapat
dilakukan karena n sangat besar, sedangkan p nilainya sangat kecil.
 Probabilitas Poisson :

P (x ) 
x . X
e
x!
. ;  = n.p
 Probabilitas Poisson Kumulatif.
4. DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
Jika n0,05 N, maka harus digunakan distribusi Hipergeometrik
dengan rumus distribusi sebagai berikut:
N R
R
P(x ) 
Cr . C n  r
C
N
;
n
di mana :
R=jumlah sukses dalam populasi
r= jumlah sukses dalam sampel
N= ukuran populasi
n=ukuran sampel
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
15
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
BAGIAN IV
DISTRIBUSI SAMPLING
Beberapa Pengertian:
1. Distribusi Sampling : distribusi probabilitas dengan statistik
(statistic) sebagai variabel randomnya
2. Populasi : Pengertian, Jenis : Terbatas dan Tak Terbatas
3. Sampel : pengertian
4. Sampling -----> Statistik (statistic) (banyak adanya, stokastik, acak)
5. Sensus --------> Parameter (tunggal adanya, deterministik)
6. Sampling :
 Without Replacement (Populasi terbatas);
 With Replacement (Populasi Takterbatas)
 Sampel Besar (n30); sampel kecil (n<30)
7. Metode Sampling:
 Random Sampling : Simple random sampling, stratified random
sampling, purposive random sampling, Proportionate stratified
random sampling
 Non Random Sampling
8. Distribusi Sampling terdiri dari :
 Distribusi sampling rata-rata (mean)
 Distribusi sampling beda dua rata-rata (mean difference)
 Distribusi sampling Proporsi (proportion)
 Distribusi sampling beda dua proporsi
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
16
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
9. Distribusi Sampling Rata-Rata dan Hubungan Parameter Dengan
Statistik
A. Rata-rata :

x
B. Standard Error Sampling rata-rata
 Populasi Terbatas atau sampling without replacement :
x 

n
Nn
N 1
 Populasi Takterbatas atau sampling with replacement:

x


n
10. Distribusi Sampling Beda Dua Rata-rata
Populasi I
: N1, 1, 1--------> Sampel 1 : n1, x1, x1
Populasi II
: N2, 2, 2--------> Sampel 2 : n2, x2, x2
Maka Distribusi Sampling selisih rata-ratanya adalah:
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
17
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)

x1 x 2
   
x1
x2
1
2
Dan Distribusi sampling selisih error (selisih standar deviasi
sampling)nya adalah :
Populasi Tak terbatas (sampling replacement):
 x1x 2 
 x1   x 2 
2
2
1  2
2
2
Populasi Terbatas (sampling without replacement):
 x1x 2 
 x1   x 2 .
2
2
Nn
N 1
Jika n1 dan n2 cukup besar (lebih dari 30), maka distribusi
sampling beda dua rata-rata tersebut akan mendekati distribusi normal,
dengan variabel random standar Z sbb:
Z
(X1 
X
2
)  (   )

1
2
x1 x 2
Dengan demikian probabilitasnya dapat dicari dengan tabel distribusi
Normal.
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
18
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
11. Distribusi Sampling Proporsi dan Hubungan antara statistik
dan parameter proporsi
Proporsi adalah banyaknya unsur dalam suatu populasi atau sampel
yang memenuhi kriteria tertentu.
 Jika dalam suatu populasi terdapat sebanyak X unsur yang
memenuhi kriteria tertentu dan populasi tersebut terdiri dari
sebanyak N unsur, maka proporsi X dalam populasi tersebut adalah:
X

N
 Jika dalam sampel yang diambil dari populasi tersebut terdapat
sebanyak X unsur yang memenuhi kriteria tertentu, maka proporsi X
dalam sampel tersebut adalah:
X
p
n
A. Rata-rata Proporsi :
k

p

p
i 1
k
i
k
  p . P ( p ) ; k=banyaknya sampling;
i 1
i
i
P: probabilitas.
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
19
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
B. Standar Deviasi Proporsi:
 ( p   p)
k

p

2
i 1
k
 Jika didekati dengan distribusi Binomial, menjadi :
p
p(1  p) N  n
.
n
N 1
 Jika banyaknya unsur dalam populasi takterbatas atau sampling
with replacement :
p(1  p)
.
n
p
 Distribusi sampling proporsi akan mendekati normal bila n.p
maupun n (1-p) >5; sehingga variabel randomnya adalah:
Z
p

p
p

p

p
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
20
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
 Dengan demikian probabilitasnya dapat dicari dengan tabel
distribusi Normal.
12. Distribusi Sampling Beda Dua Proporsi
A. Rata-rata proporsi
X
 Proporsi populasi I:
N
1
 Proporsi populasi II:

2
1

X
N
-----> Proporsi Sampel I:
1
1
1
1
2
pX
n
-----> Proporsi Sampel I:
2
p
2

X
n
2
2
 Rata-rata proporsi = p
 Maka Rata-rata selisih dua proporsi :

p1 p 2
    
p1
p2
1
2
B. Standar Deviasi selisih dua proporsi
 p1 p2 
 p1   p 2 
2
2
p (1 p ) p (1 p )

n
n
1
1
1
2
2
2
 Jika populasi terbatas dan n > 0.05N, maka standar deviasi menjadi:
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
21
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
 p1 p2 
 p1   p 2 
2
2
p (1 p ) p (1 p )
1

1
n1
2
2
n2
.
Nn
N 1
 Jika n1p1, n1(1-p1); n2p2, n2(1-p2) >5, maka distribusi sampling selisih
proporsi akan mendekati distribusi normal, sehingga variabel
randomnya menjadi :
Z
( p  p )  (   )
1
2

1
2
p1 p 2
 Dengan demikian probabilitasnya dapat dicari dengan tabel
distribusi Normal.
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
22
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
BAGIAN V
TEORI PENDUGAAN
1. BEBERAPA PENGERTIAN:

Pendugaan : seluruh proses dalam menggunakan statistik (sifat
sampel) untuk memperkirakan besarnya parameter (sifat populasi)

Penduga
(Estimator)
:
statistik
yang
digunakan
untuk
memperkirakan besarnya parameter
Misal : X------> 
s------> 
s2----->2
p------>
2. CIRI-CIRI ESTIMATOR YANG BAIK :
 Unbiased
: E(statistik) = Parameter
 Efficient : Varians Minimum
 Consistent
: Ukuran sampel membesar ----> bias kuadrat
mengecil mendekati nol (varians mendekati nol)
 Sufficient
: Dapat menampung seluruh informasi tentang para-
meter
 Cheap
: Murah, mudah dan lengkap
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
23
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
3. MACAM-MACAM METODE PENDUGAAN :
 Point Estimation (Pendugaan titik)----> dengan 1 nilai statistik
 Interval Estimation (Pendugaan interval) ------> dengan sederetan
nilai statistik dalam sebuah interval
4. PENDUGAAN TITIK
 Pendugaan titik: menggunakan suatu nilai statistik St untuk
menduga besarnya parameter P
 Bila St adalah statistik (misalnya mean sampel) yang digunakan
untuk menduga parameter P (mean populasi), maka besarnya
kesalahan duga (error), E, adalah sebesar selisih keduanya, atau :
E = (St-P)
 Jika variabel E tersebut diubah ke dalam variabel standard Z, maka:
Z
E

atau Z 
St
St  P
 St
 Untuk populasi terbatas atau sampling without replacement:
 St 

n
.
Nn
N 1
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
24
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
Sehingga besarnya nilai Z untuk St adalah:
Z
E

N n
N 1
.
n
 Untuk populasi Takterbatas atau sampling with replacement:



St
n
Sehingga besarnya nilai Z untuk St adalah:
Z
E

n
 Dari formula tersebut, besarnya E (sampling error) adalah:
E  Z.

n
 Error ini adalah Error maksimal yang dapat diterima bila diinginkan
tingkat kebenaran sebesar (1-). Dengan demikian dapat dicari
besarnya sampel yang diperlukan, yaitu:
E  Z.

n
 Z . 
n  
 E 

 Z . 
n  
 E 

2
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
25
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
 n adalah banyaknya sampel yang harus diambil agar kesalahan
(error) yang terjadi sebesar E atau kurang bila diinginkan tingkat
keyakinan sebesar (Z|P)=(1-)
5. PENDUGAAN INTERVAL
 Pendugaan interval dilakukan dengan menggunakan suatu jajaran
nilai dalam sebuah interval yang di dalamnya terdapat nilai
parameter yang tidak diketahui. Interval ditentukan berdasarkan
nilai statistik dan standar error statistik yang bersangkutan.
 Pendugaan interval disertai dengan probabilitas atau tingkat
keyakinan yang dikehendaki, misalnya : (1-)
Secara umum nilai standar Z adalah:
Z
St  P
 St
 Karena diinginkan tingkat keyakinan sebesar (1-), maka :
P(Z)=(1-)
 Karena Z dapat bernilai negatip maupun positip, maka:
P( Z  . st  St     Z  . st)  (1   )
2
2
Dengan modifikasi sederhana, dapat diubah menjadi:
P( St Z  . st    St  Z  . st )  (1   )
2
2
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
26
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
5.1. Pendugaan Interval Mean Populasi
 Populasi dan Sampel Berdistribusi Normal
1). Standar Deviasi Populasi  diketahui
P( X  Z  . x    X  Z  . x )  (1   )
2
2
Besarnya standar error ditentukan sebagai berikut:

x


n
Nn
; untuk populasi terbatas atau sampling tanpa
N 1
dikembalikan
Atau :

x


n
; untuk populasi takterbatas atau sampling dikembalikan
2). Standar Deviasi Populasi  tidak diketahui
Jika  tidak diketahui, maka standar error samplingnya harus
diduga dari sampel dengan
menggunakan standar deviasi S,
yaitu:
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
27
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
n
S
( X
i 1
i
 X)
2
n 1
sehingga besarnya standar error adalah:
S
x

Nn
; untuk populasi terbatas atau sampling tak
N 1
S
n
dikembalikan
Atau :
S
x

S
n
;
untuk
populasi
tidak
terbatas
atau
sampling
dikembalikan
Karena standar error samplingnya diduga dengan standar deviasi
sampel, maka variabel random standarnya tidak mengikuti distribusi
normal, tetapi mengikuti distribusi Student t. Hanya jika besarnya
sampel 30 atau lebih (n30), maka distribusi t akan mendekati
distribusi normal.
Jadi, jika besarnya  tidak diketahui, ia digantikan dengan S yang
dihitung dari sampel, dan Z/2 diganti dengan t/2, sehingga:
P( X t (  ;V ) . x    X t (  ;V ) . x )  (1   )
2
2
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
28
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
v= derajat kebebasan = (n-1)
 Pedoman penggunaan Distribusi Z dan t
 Gunakan Z jika : populasi beridtribusi normal dan  diketahui atau
distribusi sampling mendekati normal (n30).
 Gunakan t jika : populasi berdistribusi normal dan  tidak
diketahui atau sampel berukuran kecil (n30).
5.2. Pendugaan Interval Beda 2 Mean Populasi
P[( X 1 
X ) Z  .
2
2
x1 x 2
   ( X1
X ) Z  .
2
2
x1 x 2
)]  (1   )
5.3. Pendugaan Interval Proporsi Populasi
1). Standar Error proporsi populasi=  p 
 (1   )
n
2). Standar Error proporsi berdasarkan sampel:
S
p

p(1  p)
n
Nn
; untuk populasi terbatas atau sampling tak
N 1
dikembalikan
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
29
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
S
p

p(1  p)
; untuk populasi tidak terbatas atau sampling
n
dikembalikan
Sp berguna untuk menduga besarnya p .
Dengan demikian pendugaan interval proporsi populasi adalah:
P( p Z  . p    p  Z  . p)  (1   )
2
2
5.4. Pendugaan Interval Beda 2 Proporsi Populasi

P ( p 
 1
p )  Z .S p
2
2

p2  1   2  ( p1 
p )  Z .S p
2
2


p2   (1   )
di mana:

S p1 p2 
p (1  p ) p (1  p )

n 1
n 1
1
2
2
1
2
adalah standar error populasi tak
2
terbatas

S

p1 p 2
p (1  p ) p (1  p )

.
n 1
n 1
1
2
1
2
2
2
N  ( n1  n2)
N 2
; adalah standar error
populasi terbatas
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
30
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
BAGIAN VI
UJI HIPOTHESIS
1. Hipotesis : pernyataan sementara mengenai parameter populasi.
2. Hipotesis harus dibuktikan, tetapi tidak harus terbukti.
3. Macam hipotesis: H0 dan H1
4. Metode Pengujian : 1 sisi (kiri atau kanan) dan 2 sisi (kiri dan
kanan)
5. Titik kritis dan daerah kritis
6. Tipe Kesalahan:
 Kesalahan Tipe I : Berdasarkan hasil observasi sampel kita menolak
H0, padahal kenyataannya H0 BENAR (Kesalahan Tipe ).; Kesalahan
tipe I disebut juga tingkat signifikansi
 Kesalahan
Tipe II : Berdasarkan hasil observasi sampel kita
menerima H0, padahal kenyataannya H0 SALAH (Kesalahan tipe ).
7. Langkah-langkah pengujian hipotesis:
 Formulasikan Hipotesis yang akan diuji
 Tentukan tingkat signifikansi
 Tentukan uji statistik yang sesuai (uji Z atau uji t)
 Tentukan nilai kritis dan kriteria keputusan
 Hitunglah nilai uji statistiknya dan buat keputusan
 Buat kesimpulan
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
31
Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition)
Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)
8. Pengujian Populasi Berdistribusi Normal
 Uji hipotesis untuk sampel besar:
a) Uji Rata-rata:
 H0 : = 0 dan H1 : 0 --------> Uji dua sisi
 H0 :  0 dan H1 :  0 --------> Uji satu sisi kiri
 H0 :  0 dan H1 : 0 --------> Uji satu sisi kanan
Uji statistik :
Z

X 

n
b) Uji Beda dua rata-rata
 H0 : 1-2= 0 atau H0 : 1=2; dan H1 : 1-20 atau H1 : 12 (Uji
dua sisi)

H0 : 1-2 0 atau H0 : 1 2 ; dan H1 : 1-2 0 atau H1 : 1 2; (Uji
satu sisi kiri)

H0 : 1-2 0 atau H0 : 1 2 ; dan H1 : 1-2 0 atau H1 : 12; (Uji
satu sisi kanan)
Department of Management
Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta
32