PERPANGKATAN DUA DAN TIGA SUATU BILANGAN

PERPANGKATAN DUA
DAN TIGA SUATU
BILANGAN
OLEH :
SUTIYONO
GURU SD 2 BESITO
UPTD PENDIDIKAN KECAMATAN GEBOG
KABUPATEN KUDUS
Pangkat Dua Suatu Bilangan
42 = 4 × 4 = 16
= (4 – 1) × (4 + 1) + 12 = 3 × 5 + 1 = 16
= (4 – 2) × (4 + 2) + 22 = 2 × 6 + 4 = 16
= (4 – 3) × (4 + 3) + 32 = 1 × 7 + 9 = 16
82 = 8 × 8 = 64
= (8 – 1) × (8 + 1) + 12 = 7 × 9 + 1 = 64
= (8 – 2) × (8 + 2) + 22 = 6 × 10 + 4 = 64
= (8 – 3) × (8 + 3) + 32 = 5 × 11 + 9 = 64
= (8 – 4) × (8 + 4) + 42 = 5 × 12 + 16 = 64
122 = 12 × 12 = 144
= (12 – 1) × (12+ 1) + 12 = 11 × 13 + 1
= (12 – 2) × (12 + 2) + 22 = 10 × 14 + 4
= (12 – 3) × (12 + 3) + 32 = 9 × 15 + 9
= (12 – 4) × (12 + 4) + 42 = 8 × 16 + 16
= 144
= 144
= 144
= 144
962 = 96 × 96 = 9216
= (96 – 4) × (96 + 4) + 42 = 92 × 100 + 16 = 9216
Secara umum diperoleh :
a2 = (a – b) × (a + b) + a2
9992 = 999 × 999 = 998.001
= (999 – 1) × (999 + 1) + 12
= 998 × 1000 + 1 = 998.001
1032 = 103 × 103 = 10.609
= (103 – 3) × (103 + 3) + 32
= 100 × 106 + 9 = 10.609
Penarikan Akar Pangkat Dua
• Teknik Perkiraan
• Faktorisasi prima
• Teknik Calandra
Teknik Perkiraan
• Fakta Dasar Penarikan
Akar Pangkat Dua
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 =100
529  ....
• Puluhannya 20 → 202 = 400
30 → 302 = 900
• Gunakan 20 yang ≤ 529
• Satuannya → Nilai satuan
angka 9 adalah 3 dan 7
• Dicoba yang hasilnya benar
232 = 529
272 = 729
• Jadi 232 = 529
529  23
Faktorisasi Prima
2.704  ....
2704
2
1352
2
676
2
338
2
169
13
13
2.704  2  2  2  2 13 13
 2  2 13
2
2
 2  2 13
 52
2
Penarikan Akar Pangkat Tiga
• Teknik Perkiraan
• Faktorisasi Prima
• Teknik Calandra
1. Teknik Perkiraan
Harus hafal
bilangan
kubik
di ≤ 1000
13 = 1
1–1
23 = 8
2–8
33 = 27
3–7
43 = 64
4–4
53 = 125
5–5
63 = 216
6–6
73 = 343
7–3
83 = 512
8–2
93 = 729
9–9
103 = 1000
10 - 0
3
4.096  ...
13 = 1(mendekati 4) 6
16
3
19.683  ...
2 3 = 8 (mendekati 19) 7
27
3
1.728 
3
13.824 
3
17.576 
3
46.656 
3
103.823 
3
79.507 
12
24
3
262.144 
3
314.432 
26
36
47
43
3
389.017 
3
592.704 
3
636.056 
3
941.192 
64
68
73
84
86
98
3
2. Faktorisasi Prima
3
8 ?
1000
2
500
2
250
2
125
5
25
5
5
8
2
4
2
2
3
8  3 2 2 2
 2
3
2
3
1000  ?
3
1000  3 2  2  2  5  5  5
 2 5
3
3
3
 2  5  10
3. Teknik Calandra
Hitunglah
3
12812904
• Kelompokkan tiga angka dari belakang
12 812 904
• Cari bilangan terbesar yang jika dipangkatkan
tiga hasilnya ≤12. bilangan itu adalah 2 sebab
23 ≤ 12
3 12 812 904
3
=2
23 = 8
4 812
• 2 artinya 2 puluhan atau 20
• Cari bilangan terbesar yang memenuhi
hubungan :
[(3 × 202) + 3 × 20 × … + …2] × …≤ 4812
Bilangan tersebut adalah 3, sebab
(1200 + 60 × 3 + 32] × 3 ≤ 4812
3
12 812 904
23 = 8
4 812
(1200 + 60 × 3 + 32) × 3 = 4
617
645 904
= 23
•
•
•
•
23 artinya 23 puluhan (230).
Cari bilangan terbesar yang memenuhi hubungan :
[(3  2302) + (3  230)  … + …2]  …≤ 195904
Bilangan itu adalah 4, karena :
• (158700 + 690  4 + 42)  4 ≤ 195904
Jadi 12812904  234
3
Teknik calandra secara singkat
12812904 
3
22 = 8
[(3 × 202) + 3 × 20 × … + …2] × … ≤ 4812
(1200 + 60 × 3 + 32) × 3 = 4617
[(3  2302) + (3  230)  … + …2]  … ≤
(158700 + 690  4 + 42)  4
=
195904
195904
0