Transformasi Dua atau Lebih Peubah Acak

Dr. Kusman Sadik
Dept. Statistika IPB, 2012
Transformasi Dua atau Lebih Peubah Acak
Misalkan diketahui fkp bersama bagi p.a. X1 dan X2 adalah
f X 1 , X 2 ( x1 , x2 ) . Jika kemudian didefinisikan p.a. lainnya yaitu Y1
dan Y2, dimana Y1 = h1(x1, x2) dan Y2 = h2(x1, x2), maka ingin
diketahui fkp bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu fY1 ,Y2 ( y1 , y2 ) .
Teorema
Misalkan diketahui fkp bersama bagi p.a. X1 dan X2 adalah
f X 1 , X 2 ( x1 , x2 ) yang positif dan kontinu pada gugus S  R2, dan
didefinisikan fungsi h1, h2 : S  R, dan T merupakan bayangan
S sebagai tranformasi satu-satu (one-to-one) dari (h1, h2). Oleh
karena itu, jika y1 = h1(x1, x2) dan y2 = h2(x1, x2) maka inversnya
x1 = h1-1(y1, y2) dan x2 = h2-1(y1, y2), dengan (y1, y2)  T. Anggap
bahwa untuk (y1, y2)  T, dx1/dy1 dan dx2/dy2 ada, kontinu, dan
tidak sama dengan 0. Maka fkp bersama bagi p.a. Y1 dan Y2
adalah:
1
1
fY1 ,Y2 ( y1 , y2 )  f X 1 , X 2 {h1 ( y1 , y2 ), h2 ( y1 , y2 )}. J ,
( y1 , y2 )  T
dimana,
J  Jacobi 
x1
y1
x1
y2
x2
y1
x2
y2
1
Dr. Kusman Sadik
Dept. Statistika IPB, 2012
Kasus 1
Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U(0, 1), sedangkan
X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini.
Apabila didefinisikan Y1 = X1 + X2 dan Y2 = X1 – X2, tentukan:
a. Fungsi kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu
fY1 ,Y2 ( y1 , y2 ) .
b. Fungsi kepekatan marginal bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu
fY1 ( y1 ) dan fY2 ( y2 ) .
Karena X  U(0, 1), sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh
acak bebas dan identik dari sebaran ini maka fkp bersama bagi
X1 dan X2 adalah
f X 1 , X 2 ( x1 , x2 )  1;
0  x1  1 dan 0  x2  1
kemudian didefinisikan bahwa
y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2
y2 = h2(x1, x2) = x1  x2
Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan di
atas, akan diperoleh persamaan berikut:
x1 = h1-1(y1, y2) = (y1 + y2)/2
x2 = h2-1(x1, x2) = (y1  y2)/2
x1/y1 = ½;
x1/y2 = ½;
x2/y1 = ½;
x2/y2 = -½;
J
1
2
1
2
1
2

1
2

1
2
2
Dr. Kusman Sadik
Dept. Statistika IPB, 2012
Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 adalah
1
1
fY1 ,Y2 ( y1 , y2 )  f X 1 , X 2 {h1 ( y1 , y2 ), h2 ( y1 , y2 )}. J
 f X1 , X 2 {( y1  y2 ) / 2, ( y1  y2 ) / 2}. 
 (1).
1
2
1
2
1
 ;
2
( y1 , y2 )  T
Persoalan berikutnya adalah menentukan batas nilai bagi y1 dan
y2 yaitu T,
Untuk 0 < x1 < 1
0 < x1 < 1

0 < (y1 + y2)/2 < 1
0 < y1 + y2
y2 >  y1
dan

0 < y1 + y2 < 2
y1 + y2 < 2
y2 < 2  y1
dan
Untuk 0 < x2 < 1
0 < x2 < 1

0 < (y1  y2)/2 < 1
0 < y1  y2
y2 < y1
dan

0 < y1  y2 < 2
y1  y2 < 2
y2 > y1  2
dan
Sehingga batas nilai bagi y1 dan y2 adalah
y2 >  y1 ;
y2 < 2  y1 ;
y2 < y1 ;
dan
y2 > y1  2
y2
y2 = 2 - y1
y2 = -y1
y2 = y1
y2 = y1 - 2
y1
3
Dr. Kusman Sadik
Dept. Statistika IPB, 2012
y2
y2 = 2 - y1
y2 = y1
y2 = -y1
y2 = y1 - 2
y1
Sebaran marginal bagi y1 adalah

Untuk 0 < y1  1
y1
f
fY1 ( y1 ) 
Y1 ,Y2
( y1 , y2 )dy2 
 y1

y1
1
  2 dy
2
 y1
 y1
Untuk 1 < y1 < 2
fY1 ( y1 ) 
2  y1

fY1 ,Y2 ( y1 , y2 )dy2 
y1  2
2  y1
1
 dy2  2  y1
2
y1  2  

Sehingga
; 0  y1  1
 y1

fY1 ( y1 )  2  y1 ; 1  y1  2
 0
; y1 lainnya

4
Dr. Kusman Sadik
Dept. Statistika IPB, 2012
y2
y2 = 2 - y1
y2 = y1
y2 = -y1
y2 = y1 - 2
y1
Sebaran marginal bagi y2 adalah

Untuk -1 < y2  0
f Y2 ( y 2 ) 
y2  2
f
Y1 ,Y2
( y1 , y2 )dy1 
 y2

y2  2

 y2
1
 dy1  y2  1
2
Untuk 0 < y1 < 1
f Y2 ( y2 ) 
2 y2
f
y2
Y1 ,Y2
( y1 , y2 )dy1 
2 y2

y2
1
 dy1 1  y2
2
Sehingga
 y2  1 ;  1  y2  0

fY2 ( y2 )  1  y2 ; 0  y2  1
 0
; y2 lainnya

5
Dr. Kusman Sadik
Dept. Statistika IPB, 2012
Kasus 2
Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut
f X ( x)  e  x ,
x0
sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan identik
dari fkp ini. Ingin ditentukan fkp p.a. Y = X1/(X1 + X2).
Karena X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan identik
dari sebaran ini maka fkp bersama bagi X1 dan X2 adalah
f X 1 , X 2 ( x1 , x2 )  e  x1 e  x 2  e  ( x1  x 2 ) ;
x1  0 dan
x2  0
Perlu didefinisikan satu peubah acak lain agar transformasi
terjadi dari ruang berdimensi dua ke ruang berdimensi dua.
Misalkan Z = X1 + X2, sehingga diperoleh sepasang transformasi
yaitu y = x1/(x1 + x2) dan z = x1 + x2. Trasformasi ini bersifat
satu-satu untuk seluruh daerah fungsi.
y = x1/(x1 + x2) dan
z = x1 + x2
Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan di
atas, akan diperoleh persamaan berikut:
x1 = yz
x2 = (1 – y)z
x1/y = z;
x2/y = - z;
z
x1/z = y;
x2/z = 1- y;
y
J
z
z
1 y
6
Dr. Kusman Sadik
Dept. Statistika IPB, 2012
Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y dan Z adalah
fY , Z ( y, z )  f X 1 , X 2 ( x1 , x2 ). J
 e  ( yz  (1 y ) z ) . z
 ze  z ,
( y, z )  T
Selanjutnya menentukan batas nilai bagi y dan z yaitu T.
Perhatikan, karena x1  0 dan x2  0, maka
0  y = x1/(x1 + x2)  1

0y 1
z = x1 + x2  0

z 0
sehingga
fY , Z ( y, z )  ze  z ,
0  y  1 dan z  0
Sebaran marginal bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah

 ze
z
dz  1
0
Dengan demikian, fkp bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah
1

fY ( y )  
0

;
0  y 1
;
y lainnya
Kasus 3
Lihat Example 4, Roussas, Sub-bab 6.2, hlm. 173 - 175
7
Dr. Kusman Sadik
Dept. Statistika IPB, 2012
Kasus 4
Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai fkp
Eksponensial Negatif dengan  = 1, dan didefinisikan U = (X +
Y)/2 dan V = (X – Y)/2.
a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v).
b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v).
Lihat Roussas, Bab 6, Exercise 2.3, hlm. 183.
Sebaran Eksponensial Negatif adalah:
f X ( x)  e  x , x  0,   0
Kasus 5
Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai fkp
Normal(0, 1), dan didefinisikan U = X + Y dan V = X – Y.
a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v).
b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v).
c. Tunjukkan bahwa U dan V independen.
d. Hitung peluang P(U < 0, V > 0).
Kasus 6
Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai fkp
Normal(0, 2). Tunjukkan bahwa peubah acak U = X2 + Y2
mempunyai fkp Eksponensial Negatif dengan =1/(22).
8