Bab II Pemodelan

Bab II
Pemodelan
Bab ini berisi tentang penyusunan model untuk menjelaskan proses penyebaran konsentrasi oksigen di jaringan. Penyusunan model ini meliputi tinjauan fisis pembuluh kapiler, pemodelan daerah kapiler-jaringan, penurunan
persamaan difusi beserta syarat batasnya, serta pemaparan tentang kinetika
laju konsumsi oksigen yang memenuhi prinsip Michaelis-Menten.
II.1
Pembuluh Kapiler
Pembuluh kapiler merupakan pembuluh darah yang berukuran paling kecil
dari sistem sirkulasi darah dan membentuk jejaring yang kompleks. Pembuluh
kapiler beserta pembuluh arteri dan vena dapat dilihat pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1: Pembuluh Darah.
(Sumber: http://www.wikipedia.com)
Dinding kapiler hanya tersusun dari sebuah lapisan sel, yaitu endothelium.
Lapisan ini sangatlah tipis, sehingga molekul-molekul seperti oksigen, karbon
dioksida, dan air dapat melalui dinding ini dan memasuki jaringan dengan
cara difusi.
Kapiler mempunyai diameter 5 − 20µm, dan panjang rata-rata 750µm. Diameter kapiler yang sempit menyebabkan sel darah merah dalam plasma dekat
ke dinding kapiler. Hal tersebut mendorong terjadinya difusi oksigen dari sel
darah merah ke jaringan, ataupun karbon dioksida dari jaringan ke darah.
6
Gambar 2.2: Pembuluh Kapiler.
(Sumber: http://people.eku.edu/ritchisong/RITCHISO/301notes1.htm)
II.2
Model Kapiler-Jaringan
Untuk representasi daerah kapiler-jaringan, digunakan model silinder Krogh.
Model silinder Krogh ini memperkenalkan konsep pengulangan struktur satuan
sebagai representasi dari daerah kapiler-jaringan. Susunan silinder Krogh dapat dilihat pada Gambar 2.3. Sebagai akibat dari prinsip pengulangan struktur satuan, maka setiap kapiler bertanggungjawab untuk menyediakan nutrisi
bagi jaringan yang melingkupi kapiler tersebut. Tentu saja ini adalah suatu penyederhanaan dari keadaan yang sebenarnya, dimana setiap bagian dari
jaringan dapat disuplai oleh kapiler-kapiler lain yang tidak berada didekatnya,
meskipun kapiler yang terdekatlah yang mendominasi suplai nutrisi tersebut.
kapiler
ujung vena
ujung arteri
jaringan
Gambar 2.3: Model Silinder Krogh.
Dengan menggunakan model ini dibuat beberapa asumsi:
1. Diasumsikan silinder Krogh merupakan model yang tepat secara geometri, meskipun pada daerah yang lain, seperti daerah percabangan,
kapiler tidak memiliki struktur geometri yang sederhana.
2. Jaringan yang menyelubungi kapiler sebenarnya terdiri dari material
yang berbeda dan reaksi kimia yang terjadi di dalam sel bertempat pada
7
lokasi-lokasi tertentu. Pada model ini, diasumsikan reaksi kimia yang
terjadi di jaringan terdistribusi secara kontinu.
3. Diasumsikan silinder kapiler-jaringan, mempunyai bentuk yang simetri
terhadap sumbu.
4. Pada dinding luar silinder, material yang masuk ke sebuah silinder, diasumsikan sama dengan material yang keluar dari silinder tersebut, sehingga laju perpindahan material pada dinding luar jaringan adalah nol.
II.3
Penurunan Persamaan Difusi
Proses perpindahan material di kapiler dan jaringan terjadi secara difusi. Difusi dapat terjadi ke berbagai arah, antara lain arah radial, aksial, dan angular.
Pada pembahasan ini diasumsikan difusi terjadi hanya dalam arah radial dan
aksial. Dimisalkan r̃ menunjukkan posisi dalam arah radial, z̃ posisi dalam
arah aksial.
Perhatikan Gambar 2.4. Misalkan J menyatakan fluks oksigen yang disebabkan
oleh proses difusi. Banyaknya molekul oksigen yang mengalir pada titik z̃
tegak lurus permukaan r̃dθdr̃ (per satuan waktu) adalah J r̃dθdr̃|z̃ . Sedangkan
banyaknya molekul oksigen yang keluar dari area tersebut pada posisi z̃ + dz̃
adalah J r̃dθdr̃|z̃+dz̃ . Begitu juga untuk arah radial, dimana banyaknya molekul
oksigen yang melalui titik r̃ dan r̃+dr̃, tegak lurus bidang r̃dθdz̃ masing-masing
adalah J r̃dθdz̃|r̃ dan J(r̃ + dr̃)dθdz̃|r̃+dr̃ .
J ~r +
dr~
J ~z +
d ~r
J ~z
~
r
dθ
d ~z
Gambar 2.4: Difusi.
d~z
8
Banyaknya molekul oksigen yang termuat dalam volume dV = r̃dθdz̃dr̃ adalah
sebanyak konsentrasi oksigen kali volume tersebut, atau c̃ × dV . Di dalam
satuan volume jaringan, terjadi proses metabolisme dan mengkonsumsi oksigen
dengan laju g(c̃).
Berdasarkan hukum kekekalan massa, yang menyatakan bahwa perubahan
jumlah molekul terhadap waktu (t̃) adalah sama dengan laju difusi yang
melewati batas-batas dijumlahkan dengan reaksi kimia yang terjadi di dalam
jaringan satuan, maka:
∂(c̃dV )
= J r̃dθdr̃|z̃ − J r̃dθdr̃|z̃+dz̃ + J r̃dθdz̃|r̃ − J(r̃ + dr̃)dθdz̃|r̃+dr̃ − g(c̃)dV.
∂ t̃
(2.1)
Dengan membagi persamaan (2.1) oleh dV , maka
J|z̃ − J|z̃+dz̃ r̃J|r̃ − (r̃ + dr̃)J|r̃+dr̃
∂c̃
=
+
− g(c̃)
dz̃
r̃dr̃
∂ t̃
∂J
∂(r̃J)
= −
−
− g(c̃).
∂ z̃
r̃∂r̃
(2.2)
(2.3)
Berdasarkan Hukum Fick, yang menyatakan bahwa jumlah molekul oksigen
yang melalui suatu satuan luas dalam tiap satuan waktu berbanding lurus
dengan laju perubahan konsentasi, atau:
J = −Dj
dc̃
,
dr̃
(2.4)
dimana Dj adalah koefisien difusi dengan indeks j menunjukkan daerah jaringan,
maka persamaan (2.3) menjadi:
dc̃
dc̃
∂(Dj dz̃
) 1 ∂(r̃Dj dr̃
)
∂c̃
+
− g(c̃).
=
∂ z̃
r̃
∂r̃
∂ t̃
Dengan mengasumsikan Dj tidak bergantung pada r̃, z̃, dan c̃, maka diperoleh:
∂c̃
∂ 2 c̃
∂ 2 c̃ Dj ∂c̃
+ Dj 2 − g(c̃)
= Dj 2 +
∂z̃
r̃ ∂r̃
∂r̃
∂ t̃
∂ 2 c̃ 1 ∂c̃ ∂ 2 c̃
+
+
− g(c̃).
= Dj
∂ z̃ 2 r̃ ∂r̃ ∂r̃ 2
(2.5)
(2.6)
9
II.4
Persamaan Michaelis-Menten
Berdasarkan Middleman [4], konsumsi oksigen g(c̃) di jaringan mengikuti prinsip kinetika Michaelis-Menten, yaitu:
g(c̃) =
Ac̃
,
B + c̃
(2.7)
dimana A adalah koefisien kesetimbangan reaksi, dan B merupakan konstanta
Michaelis. Berdasarkan (2.7), jika nilai c̃ cukup besar maka laju konsumsi
oksigen di jaringan adalah konstan, yaitu g(c̃) → A. Sedangkan untuk nilai
c̃ mendekati nol, laju konsumsi oksigen di jaringan bersifat linier terhadap
konsentrasi.
Secara fisis, parameter A menggambarkan kecepatan maksimum senyawa mengurai terhadap enzim yang bertindak sebagai katalis. Nilai A dipengaruhi oleh
temperatur, pH, dan kekuatan ion. Jika zat yang berdifusi, di jaringan tidak
bereaksi (pasif) maka A = 0. Parameter B merepresentasikan koefisien kesetimbangan reaksi pengikatan oksigen dengan enzim. Berdasarkan Middleman,
dalam keadaan istirahat, nilai A dan B untuk konsumsi oksigen oleh sel-sel di
otak berturut-turut adalah 5 × 10−4 ml O2 /ml-sec dan 2.5 × 10−6 ml O2 /ml.
II.5
Syarat Batas
Daerah kapiler-jaringan digambarkan pada Gambar 2.5. Dimisalkan a adalah
jari-jari dinding kapiler, dan b adalah jari-jari dinding luar jaringan.
Jaringan
r=b
(Dinding jaringan)
Kapiler
r=a
(Dinding kapiler)
Gambar 2.5: Penampang Kapiler-Jaringan.
Darah merupakan cairan (plasma) yang heterogen, yang terdiri dari sel darah
merah, sel darah putih dan platelets. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa darah
10
merupakan cairan yang homogen, sehingga difusi terjadi secara kontinu. Ratarata koefisien difusi darah dinotasikan dengan Db . Fluks di dinding kapiler
diasumsikan kontinu.
Db
∂c̃
∂c̃
= Dj
∂r̃
∂r̃
pada r̃ = a.
(2.8)
Dikarenakan aliran darah di pembuluh kapiler bersifat fluktuasi, maka nilai
konsentrasi oksigen di dinding kapiler (r̃ = a) merupakan suatu fungsi dari
waktu.
c̃(a, t̃) = f (t̃).
Asumsi simetri terhadap sumbu kapiler, mengakibatkan perubahan konsentrasi
secara radial akan bernilai nol pada r̃ = 0. Dengan kata lain:
∂c̃
=0
∂r̃
pada r̃ = 0.
Kondisi tidak ada aliran yang menembus dinding jaringan, dapat dituliskan:
∂c̃
=0
∂r̃
pada r̃ = b.
(2.9)