bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Persamaan Diferensial Parsial (PDP) digunakan oleh Newton dan para ilmuwan pada abad ketujuhbelas untuk mendeskripsikan tentang hukum-hukum dasar
pada fisika. Jika ilmu-ilmu pada fisika lanjut (Advanced Physics) ditinjau kembali,
maka akan ditemukan bahwa persamaan diferensial parsial berperan penting dalam penggambaran fisis dari benda-benda yang melibatkan besaran-besaran yang
berubah terhadap ruang dan waktu. Salah satu persamaan diferensial yang banyak
digunakan dalam bidang fisika terutama pada bidang mekanika kuantum adalah
persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger lahir dari seorang fisikawan berkebangsaan Australia bernama Erwin Schrödinger pada tahun 1925. Persamaan ini
digunakan untuk mengamati perilaku suatu partikel yang berada dalam tingkatan
atomik atau subatomik.
Dalam mekanika klasik, perilaku suatu benda atau partikel dapat diamati jika fungsi posisi dan momentum dari benda tersebut diketahui. Namun untuk sebuah
partikel yang sangat kecil seperti elektron, fungsi posisi dan momentum tidak dapat
ditentukan dengan pasti dikarenakan oleh bentuknya yang bahkan tidak teramati
langsung oleh mata. Penelitian terkait dengan perilaku elektron lalu dilakukan,
diperoleh beberapa bukti bahwa suatu elektron memiliki sifat serupa dengan partikel dan serupa dengan gelombang yang selanjutnya disebut sebagai sifat dualitas
partikel-gelombang. Elektron yang diasumsikan memiliki sifat seperti partikel ternyata memiliki sifat seperti gelombang juga karena dapat terdifraksi dan bergerak
secara bebas. Pergerakan dari elektron tersebut selanjutnya disajikan dalam fungsi
gelombang. Persamaan Schrödinger digunakan untuk menentukan fungsi gelombang yang sesuai. Jika fungsi gelombang yang terkait telah ditentukan,
1
2
maka informasi lain mengenai pergerakan dan perilaku gelombang selanjutnya dapat ditentukan. Schrödinger mendefinisikan persamaannya dalam dimensi satu sebagai berikut:
i~
~2 ∂ 2 Ψ(x, t)
∂Ψ(x, t)
=−
+ V (x)Ψ(x, t)
∂t
2m̄ ∂x2
dengan ~ merupakan bentuk modifikasi konstanta Planck, m̄ merupakan massa,
V (x) menyatakan energi potensial dan Ψ(x, t) menyatakan fungsi gelombang.
Sedangkan persamaan Schrödinger dalam dimensi dua didefinisikan dalam
Becerril, dkk (2008) sebagai berikut:
~2 ∂ 2 Ψ(x, y, t) ∂ 2 Ψ(x, y, t)
∂Ψ(x, y, t)
=−
+
+ V (x, y)Ψ(x, y, t)
i~
∂t
2m̄
∂x2
∂x2
dengan ~ merupakan bentuk modifikasi konstanta Planck, m̄ merupakan massa,
V (x, y) menyatakan energi potensial dan Ψ(x, y, t) menyatakan fungsi gelombang.
Diperhatikan bahwa persamaan Schrödinger memuat fungsi energi potensial V . Nilai dari V mempengaruhi domain pergerakan dari partikel yang fungsi
gelombangnya akan dicari. Dalam Atkins dan Paula (2006) diberikan ilustrasi singkat mengenai kasus partikel yang bergerak bebas dengan V = 0 dan kasus osilasi
harmonik dengan nilai V = 21 kx2 pada dimensi satu serta kasus osilasi harmonik
dimensi dua dengan fungsi energi potensial V = 21 K (x2 + y 2 ). Dari pembahasan
yang diberikan ternyata diperoleh kesimpulan bahwa nilai V mempengaruhi bentuk
fungsi gelombang yang dihasilkan dan juga daerah pergerakan dari partikel. Untuk
kasus V = 0 baik pada dimensi satu maupun dimensi dua, daerah pergerakan partikel berturut-turut akan dibatasi oleh dinding berbentuk persegi dan kubus yang terbentuk dari syarat batas persamaan yang ditentukan. Untuk kasus osilasi harmonik
dimensi satu dan dimensi dua, daerah pergerakan dari partikel akan berupa parabola
dan paraboloida. Bentuk dari daerah pergerakan ini juga akan mempengaruhi besar probabilitas menemukan partikel di suatu titik di dalam daerah pergerakan yang
terbentuk. Hal ini yang kemudian mendasari penulis untuk membahas dan mengamati pergerakan dari partikel pada dimensi satu dan dua dengan kasus partikel yang
bergerak bebas dan kasus osilasi harmonik.
3
Dalam buku yang ditulis Griffiths (1995) serta Atkins dan Paula (2006), dijabarkan mengenai hal yang melatarbelakangi pembentukan dari fungsi Schrödinger. Dituliskan juga secara singkat mengenai penyelesaian eksak serta interpretasi
dari fungsi gelombang dari persamaan Schrödinger dimensi satu yang dikaitkan dengan pembelajaran mengenai pergerakan elektron.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, perumusan masalah yang akan dibahas
antara lain:
1. Perumusan teori-teori yang mendasari perhitungan guna memperoleh penyelesaian eksak persamaan Schrödinger.
2. Penyelesaian eksak dari persamaan Schödinger untuk permasalahan partikel
dalam kotak dan osilasi harmonik dimensi satu.
3. Penyelesaian eksak dari persamaan Schrödinger untuk permasalahan partikel
dalam kotak dan osilasi harmonik dimensi dua.
4. Simulasi serta interpretasi dari masing-masing fungsi gelombang yang diperoleh yang dikaitkan dengan pergerakan elektron.
1.3. Batasan Masalah
Dalam skripsi ini penulis hanya membahas mengenai penyelesaian eksak
dari persamaan Schrödinger dimensi satu dan dua beserta dengan simulasi menggunakan aplikasi Matlab. Pengembangan pembahasan mengenai permasalahan ini
tidak dilakukan karena dibutuhkan analisa dan pembelajaran yang lebih mendalam
1.4. Maksud dan Tujuan
Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program
Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk memberikan gambaran sederhana mengenai penyelesaian eksak dari persamaan
4
Schrödinger serta simulasi dan interpretasi terkait. Selain itu dapat juga digunakan
sebagai bahan dasar untuk pembahasan-pembahasan lebih lanjut dengan topik yang
hampir sama.
1.5. Tinjauan Pustaka
Literatur utama yang digunakan dalam skripsi ini adalah karya ilmiah dari
Becerril, dkk (2008). Dalam karya tersebut dibahas mengenai Penyelesaian Persamaan Schrödinger begantung waktu dimensi satu dan dua dengan menggunakan
metode analitik dan metode numerik. Skripsi ini hanya akan meninjau penyelesaian
analitik saja yang diberikan dalam karya tersebut.
Sebagai landasan teori, Ross (1984) dan Pinchover dan Rubenstein (2005)
menjelaskan mengenai persamaan diferensial serta klasifikasinya. Selain itu dijelaskan juga mengenai permasalahan syarat batas dan syarat awal serta metodemetode yang digunakan untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial. Persamaan Schrödinger pada pembahasan ini dipandang sebagai permasalahan syarat
batas yang diselesaikan dengan menggunakan metode separasi peubah. Dalam permasalahan syarat batas terdapat kasus khusus yang dinamakan sebagai Masalah
Sturm-Liouville. Definisi dan teorema Sturm-Liouville dijelaskan dalam Humi dan
Miller (1992) dan Pinsky (1940). Selanjutnya, teori distribusi probabilitas yang
mendasari interpretasi fungsi gelombang diberikan dalam Hogg dan Craig (1978).
Definisi fungsi Gamma diberikan dalam Sebah dan Gourdon (2002). Fungsi Gamma merupakan suatu fungsi dengan argumen berupa suatu bilangan. Hasil dari fungsi Gamma dapat dinyatakan dalam bentuk faktorial.
Persamaan Schrödinger diperkenalkan pada tahun 1925 oleh seorang ilmuwan berkebangsaan Australia yang bernama Erwin Schrödinger. Persaman Schrödinger memberikan suatu fungsi gelombang yang digunakan untuk mengamati perilaku partikel yang sangat kecil seperti elektron. Namun fungsi gelombang tersebut tidak dapat menginterpretasikan pergerakan partikel secara tepat sehingga dilakukan
penginterpretasian fungsi gelombang dengan menggunakan konsep distribusi pro-
5
babilitas. Dari interpretasi tersebut akan diperoleh probabilitas keberadaan partikel
pada suatu interval posisi tertentu (Griffiths, 1995). Dalam tulisan yang dikemukakan oleh Becerril, dkk (2008) diberikan penyelesaian persamaan Schrödinger pada dimensi satu dan dimensi dua. Selain itu, dilihat perilaku partikel berdasarkan
fungsi energi potensial yang diberikan yaitu saat V (x) = 0 dan V (x) 6= 0. Fungsi
gelombang yang diperoleh kemudian disimulasikan dengan menggunakan program
Matlab. Penginterpretasian fungsi gelombang untuk permasalahan pergerakan elektron dilakukan dengan mengacu pada karya Atkins dan Paula (2006).
1.6. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur dengan
mengacu pada beberapa pustaka baik berupa buku ataupun karya ilmiah yang berkaitan dengan pembahasan mengenai penyelesaian persamaan Schrödinger bergantung
waktu. Penelitian pada skripsi ini diawali dengan identifikasi persamaan Schrödinger, yang setelah ditelaah merupakan salah satu bentuk persamaan diferensial parsial. Selanjutnya ditentukan fungsi energi potensial yang digunakan dan disubstitusikan ke dalam persamaan sehingga akan diperoleh bentuk yang lebih sederhana
dan dapat ditentukan metode yang sesuai untuk mencari penyelesaiannya. Penyelesaian yang diperoleh ditentukan dengan menggunakan Teorema Masalah SturmLiouville dan Metode Separasi Peubah. Teori mengenai probabilitas juga dipelajari
karena akan mendasari teori mengenai kondisi normal yang akan membantu dalam
menginterpretasi pergerakan serta kemungkinan posisi elektron. Selanjutnya setelah diperoleh penyelesaian yang sesuai dan kondisi normal dipenuhi, dilakukan simulasi dengan menggunakan program Matlab untuk memperoleh gambaran mengenai pergerakan partikel secara umum. Selain itu, fungsi gelombang dan simulasi
yang dilakukan akan dikaitkan dengan permasalahan tentang pergerakan elektron.
1.7. Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut :
6
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakan penulisan skripsi, perumusan masalah,
maksud dan tujuan penulisan, batasan masalah, tinjauan pustaka, metode penelitian
dan sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang mendasari pembahasan permasalahan yang dilakukan.
BAB III PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER
DIMENSI SATU DAN DUA
Pada bab ini dibahas penyelesaian-penyelesaian dari persamaan Schrödinger dengan masing-masing gaya yang diberikan. Penyelesaian eksak dan dari persamaan
Schrödinger bergantung waktu dimensi satu dibahas pada subbab pertama. Pada
subbab kedua dibahas mengenai penyelesaian eksak dari persamaan osilasi harmonik dimensi satu. Selanjutnya, berturut-turut pada subbab ketiga dan keempat dibahas mengenai penyelesaian eksak dari persamaan Schrödinger bergantung waktu
dan osilasi harmonik dimensi dua.
BAB IV PENUTUP
Pada bab ini diberikan kesimpulan berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya
dan disertakan pula saran yang dapat digunakan sebagai bahan untuk penelitian
yang selanjutnya.