Matematika Teknik Dasar-2 7 – Silinder

Matematika Teknik Dasar-2
7 – Silinder
Sebrian Mirdeklis Beselly Putra
Teknik Pengairan – Universitas Brawijaya
Definisi dan Persamaan
Silinder adalah sebuah permukaan yang didapatkan dari sebuah garis yang
hampir paralel pada sebuah garis tetap dan berpotongan pada sebuah
kurva yang diberikan.
Kurva yang diberikan itu dinamakan kurva pembimbing/ guiding curve
pada silinder dan sebarang garis paralel pada garis yang diberikan dan
berpotongan pada kurva yan diberikan disebut sebagai pembuat silinder
Definisi dan Persamaan
a
Definisi dan Persamaan
Untuk menemukan persamaan dari silinder yang mana pembangkitnya
adalah paralel terhadap garis.
𝑥 𝑦
𝑧
= =
𝑙 𝑚 𝑛
Dan memotong sebuah kurva
𝑎𝑥 2 + 2ℎ𝑥𝑦 + 𝑏𝑦 2 + 2𝑔𝑥 + 2𝑓𝑦 + 𝑐 = 0, 𝑧 = 0
(1)
Diambil (x1, y1, z1) adalah titik sebarang pada silinder sehingga persamaan
dari pembangkit yang melaluinya adalah
𝑥−𝑥1
𝑙
=
𝑦−𝑦1
𝑚
=
𝑧−𝑧1
𝑛
(2)
Definisi dan Persamaan
Titik perpotongan dari garis (2) dengan bidang z=0 adalah
𝑙𝑧1
𝑚𝑧1
𝑥1 −
, 𝑦1 −
,0
𝑛
𝑛
Titik akan berada pada kurva (1), jika
2
𝑙𝑧1
𝑙𝑧1
𝑚𝑧1
𝑚𝑧1
𝑎 𝑥1 −
+ 2ℎ 𝑥1 −
𝑦1 −
+ 𝑏 𝑦1 −
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑙𝑧1
𝑚𝑧1
+ 2𝑔 𝑥1 −
+ 2𝑓 𝑦1 −
+𝑐 =0
𝑛
𝑛
2
Definisi dan Persamaan
Atau bisa disederhanakan menjadi
𝑎 𝑛𝑥1 − 𝑙𝑧1 2 + 2ℎ 𝑛𝑥1 − 𝑙𝑧1 𝑛𝑦1 − 𝑚𝑧1 + 𝑏 𝑛𝑦1 − 𝑚𝑧1
+ 2𝑔𝑛 𝑛𝑥1 − 𝑙𝑧1 + 2𝑓𝑛 𝑛𝑦1 − 𝑚𝑧1 + 𝑐𝑛2 = 0
Lokus dari titik (x1, y1, z1) adalah
𝑎 𝑛𝑥 − 𝑙𝑧 2 + 2ℎ 𝑛𝑥 − 𝑙𝑧 𝑛𝑦 − 𝑚𝑧 + 𝑏 𝑛𝑦 − 𝑚𝑧
+ 2𝑓𝑛 𝑛𝑦 − 𝑚𝑧 + 𝑐𝑛2 = 0
2
2
+ 2𝑔𝑛 𝑛𝑥 − 𝑙𝑧
Dimana rumus tersebut di atas adalah rumus yang diperlukan dari silinder
Contoh - 1
Cari persamaan dari silinder dimana garis pembangkitnya memiliki arah
kosinus (l, m, n) dan dimana melewati keliling lingkaran pada sebuah
lingkaran tetap x2+z2=a2 pada bidang ZOX.
Jawaban:
Ambil (x1, y1, z1) pada titik sebarang pada silinder. Kemudian persamaan
pembangkit yang melewati (x1, y1, z1) adalah:
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1
=
=
𝑙
𝑚
𝑛
Contoh - 1
Garis berpotongan dengan lingkaran yang diberikan di:
x2+z2=a2 , y=0
Dengan memasang y=0 di persamaan pembangkit didapatkan:
𝑙𝑧1
𝑛𝑦1
𝑥 = 𝑥1 −
, 𝑧 = 𝑧1 −
𝑛
𝑚
Menyubstitusi nilai dari x,z di x2+z2=a2 , kita bisa mendapatkan:
2
𝑙𝑦1
𝑛𝑦1 2
𝑥1 −
+ 𝑧1 −
= 𝑎2
𝑚
𝑚
Contoh - 1
Atau (mx1-ly1)2+(mz1-ny1)2=a2m2
Lokus dari (x1, y1, z1) berada di permukaan mx1-ly1)2+(mz1-ny1)2=a2m2
Contoh - 2
Cari persamaan silinder yang pembangkitnya adalah paralel dengan garis
𝟏
𝟏
𝒙 = − 𝒚 = 𝒛 dan kurva pembimbingnya adalah elips di x2+2y2=1, z=3
𝟐
𝟑
Jawaban:
Arah perbandingan dari pembangkitan adalah (1, -2, 3)
Persamaan pembangkitan melalui titik-titik (x1, y1, z1) pada silinder adalah:
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1
=
=
1
−2
3
Garis pembangkit ini berpotongan dengan eliptikalnya
Contoh - 2
Dengan meletakkan z=3 pada persamaan sebelumnya bisa didapatkan
𝑥 = 𝑥1 +
3−𝑧1
3
dan 𝑦 = 𝑦1 −
6−2𝑧1
3
Substitusi nilai berikut pada x2+2y2=1 kita bisa mendapatkan
2
2
3 − 𝑧1
6 − 2𝑧1
𝑥1 +
+ 2 𝑦1 −
=1
3
3
lokus dari (x1, y1, z1) adalah 𝑥 −
3−𝑧 2
3
Atau 3x2+6y2+3z2-2xz+6x-24y-18z+24=0
+2 𝑦−
6−2𝑧 2
3
=1
Silinder Lingkaran yang Tepat
Sebuah silinder lingkaran yang tepat adalah sebuah permukaan yang
dibangkitkan dari sebuah garis yang berpotongan pada sebuah lingkaran
dan tegak lurus bidangnya.
Garis normal terhadap bidang dari lingkaran melalui pusatnya disebut
sumbu silinder
Jarak dari titik pada silinder lingkaran tepat dari sumbunya adalah sama
dengan radius pada lingkaran pembimbingnya. Dimana kita dapat
menemukan persamaan dari tipe silinder ini dimana kita memberikan (i)
persamaan sumbunya dan (ii) radius potongan melintang lingkaran.
Persamaan Silinder Lingkaran yang Tepat
Untuk menemukan persamaan dari silinder ini yang mana radius r dan
sumbu adalah garis
𝑥−𝛼 𝑦−𝛽 𝑧−𝛾
=
=
(1)
𝑙
𝑚
𝑛
Diambil P(x,y,z) adalah titik sebarang dari silinder
Kemudian jarak tegak lurus P dari sumbu (1) adalah sama dengan radius r
Kuadrat dari jarak tegak lurus P dari garis (1) adalah
𝑙 𝑥−𝛼 +𝑚 𝑦−𝛽 +𝑛 𝑧−𝛾
2
2
2
𝑥−𝛼 + 𝑦−𝛽 + 𝑧−𝛾 −
𝑙 2 + 𝑚2 + 𝑛2
2
Persamaan Silinder Lingkaran yang Tepat
Dikalikan dengan r2 maka kita bisa mendapatkan persamaan sebagai
berikut:
𝑙 𝑥−𝛼 +𝑚 𝑦−𝛽 +𝑛 𝑧−𝛾
2
2
2
𝑥−𝛼 + 𝑦−𝛽 + 𝑧−𝛾 −
𝑙 2 + 𝑚2 + 𝑛2
= 𝑟2
2
Korelasi: persamaan dari silinder lingkaran yang tepat dimana sumbunya di
sumbu Z dan radius r adalah:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Contoh - 3
Tunjukkan bahwa koordinat dari kaki tegak lurus dari titik P (, , ) pada
garis x=y=-z adalah
𝟏
𝟏
𝟏
𝜶 + 𝜷 − 𝜸 , 𝜶 + 𝜷 − 𝜸 ,− 𝜶 + 𝜷 − 𝜸
𝟑
𝟑
𝟑
Simpulkan persamaan silinder lingkaran yang tepat dengan radiusnya
adalah sebesar garis yang diberikan di atas.
Jawaban:
𝑥
1
Diambil =
𝑦
1
=
𝑧
−1
=𝑟
Contoh - 3
Koordinat pada titik sebarang Q pada garis adalah (r, r, -r)
Arah rasio PQ adalah
𝑟 − 𝛼, 𝑟 − 𝛽, −𝑟 − 𝛾
Jika Q adalah kaki dari tegak lurus yang bermula dari P ke garis yang
diberikan maka..
𝑟−𝛼 + 𝑟−𝛽 + 𝑟+𝛾 =0
1
𝑟 = 𝛼+𝛽−𝛾
3
Contoh - 3
Koordinat Q adalah
1
3
𝛼+𝛽−𝛾
1
,
3
𝛼+𝛽−𝛾
1
,−
3
𝛼+𝛽−𝛾
Sekarang diambil P (, , ) adalah titik pada silinder lingkaran yang tepat
memiliki garis x=y=-z pada sumbunya. Tegak lurus PQ dari P menuju ke
sumbunya adalah sama dengan radisu a.
2
2
2
1
1
1
∴ 𝛼− 𝛼+𝛽−𝛾
+ 𝛽− 𝛼+𝛽−𝛾
+ 𝛾+ 𝛼+𝛽−𝛾
3
3
3
= 𝑎2
Atau 2 𝛼 2 + 𝛽2 + 𝛾 2 − 2𝛼𝛽 + 2𝛽𝛾 + 2𝛾𝛼 = 3𝑎2
Contoh - 3
Lokus dari P (, , ) adalah persamaan dari silinder
2 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 + 2𝑧𝑥 = 3𝑎2
Contoh - 4
Temukan persamaan dari silinder lingkaran yang tepat dari radius 3
dimana sumbunya melewati (2,3,4) dan memiliki arah kosinus
proporsional dengan 2, 1, -2
Jawaban:
Sumbu silinder adalah tepat di garis
𝑥−2
2
Atau
𝑥−2
2
3
=
=
𝑦−3
1
3
𝑦−3
1
=
=
𝑧−4
−2
3
𝑧−4
−2
(1)
Contoh - 4
Diambil P (x1,y1,z1) adalah titik sebarang dari silinder
Kuadrat dari jarak sebarang titik (x1,y1,z1) dari garis (1) adalah
𝑥1 − 2 2 + 𝑦1 − 3 2 + 𝑧1 − 4 2
2
2
1
2
−
𝑥1 − 2 + 𝑦1 − 3 − 𝑧1 − 4
3
3
3
Menyelsaikan persamaan ini dengan kuadrat dari radiusnya maka
didapatkan:
1
2
2
2
𝑥1 − 2 + 𝑦1 − 3 + 𝑧1 − 4 − 2𝑥1 + 𝑦1 − 2𝑧1 + 1 2 = 9
9
Contoh - 4
Maka lokus dari P adalah
9 𝑥−2 2+ 𝑦−3
2
+ 𝑧−4
2
− 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 1
2
= 81
adalah persamaan silinder yang dibutuhkan.
Jika disederhanakan akan menjadi
5𝑥 2 + 8𝑦 2 + 5𝑧 2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦𝑧 + 8𝑥𝑧 − 40𝑥 − 56𝑦 − 68𝑧 + 179 = 0