Lecture I: Introduction A. Masalah Optimisasi Dalam kehidupan

Linear Programming
Introduction of LP
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Lecture I: Introduction
A. Masalah Optimisasi
Dalam kehidupan sehari-hari, manusia cenderung untuk berprinsip
ekonomi, yaitu dengan sumber daya terbatas dapat memperoleh hasil
sebanyak-banyaknya. Banyak hal disekitar kita yang ingin dicari nilai
optimumnya, seperti keuntungan maksimum, biaya minimum, dsb. Halhal tersebut menjadi dasar timbulnya masalah optimisasi.
Jika masalah yang dioptimumkan bersifat kuantitatif, maka masalah
tersebut merupakan masalah ekstrem (maksimum dan minimum).
Banyak hal yang ingin dicari nilai optimumnya memiliki kuantitatif.
Pada kasus ini, istilah optimum dan ekstrem memiliki arti yang sama.
Sebagian materi mengenai ekstrem sudah dibahas dalam mata kuliah
kalkulus. Berikut ini merupakan tinjauan ulang masalah ekstrem untuk
kemudian sampai ke masalah program linear.
1. Optimisasi Fungsi tanpa Kendala
Fungsi Satu Peubah
Jika diberikan fungsi satu peubah = ( ), ∈ yang terdiferensialkan
+ 1 kali, maka melalui deret Taylor di sekitar
dapat disimpulkan
bahwa jika
′( ) = ′′ ( ) = ⋯ =
( ) = 0,
( ) ≠ 0,
a. untuk (n+1) genap: terjadi ekstrem, dan jika
( ) < 0, maka ( ) mencapai maksimum di titik
(i)
( ) > 0, maka ( ) mencapai minimum di titik .
(ii)
b. untuk (n+1) ganjil: terjadi titik infleksi bagi ( ) di titik .
Contoh
a. Diberikan fungsi
′ ( ) = cos
′′ ( ) = − sin
= ( ) = sin , sehingga diperoleh
= , diperoleh
′
= 0
′′
= −1.
(i) Untuk
Karena (n+1) genap dan
maksimum di
= +2
Department of Mathematics FMIPA UNS
.
′′
< 0, maka sin
mencapai
Linear Programming
Introduction of LP
(ii) Untuk
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
=
, diperoleh
′
= 0
′′
= 1.
Karena (n+1) genap dan
minimum di
=
+2
′′
> 0, maka sin
mencapai
.
b. Diberikan fungsi = ( ) = , sehingga diperoleh
′ ( ) = 3
′′ ( ) = 6
′′′ ( ) = 6.
Untuk = 0 diperoleh ′ (0) = 0
′′ (0) = 0
′′′ (0) = 6.
Karena ( + 1) ganjil, maka fungsi =
memiliki titik infleksi
stasioner di titik = 0.
Fungsi Dua Peubah
Diberikan fungsi dua peubah
Jika di titik ( , ) berlaku
= 0,
∆=
= ( , ) yang terdiferensialkan 2 kali.
= 0 (syarat stasioner)
−
maka z akan mencapai ekstrem di titik ( ,
>0
). Selanjutnya,
a.
Jika
> 0 , maka z mencapai maksimum di titik ( ,
b.
Jika
< 0 , maka z mencapai minimum di titik (
,
).
).
Contoh. Suatu perusahaan memproduksi dua macam sepatu ( dan )
dengan fungsi laba (keuntungan) sebagai berikut.
=− −
− 2 + 5 + 13 ,
dengan x : tingkat produksi
y : tingkat produksi .
Tentukan banyak kedua jenis sepatu yang harus diproduksi agar
diperoleh keuntungan maksimum (1 unit = 1000 pasang sepatu).
Penyelesaian:
Syarat stasioner:
= 0 ↔ −2 −
+ 5 = 0
= 0 ↔ − − 4 + 13 = 0
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Introduction of LP
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Dari kedua persamaan di atas diperoleh titik stasioner
Selanjutnya, diperoleh
∆= (−2)(−4) − (−1) = 7 > 0.
(1,3).
= −2 < 0. Akibatnya, L mencapai maksimum di titik
(1,3).
dan
Dengan demikian, perusahaan harus memproduksi 1000 pasang sepatu
dan 3000 pasang sepatu agar diperoleh keuntungan maksimum.
Masalah ekstrem di atas merupakan ekstrem stasioner, karena diperoleh
jika turunan pertama suatu fungsi sama dengan nol. Berikut diberikan
jenis ekstrem selain esktrem stasioner.
2. Optimisasi Fungsi dengan Kendala
Kendala Berbentuk Persamaan
Contoh. Kawat sepanjang 24 m akan digunakan untuk memagari sebuah
kandang kambing berbentuk persegi panjang. Tentukan ukuran pagar
tersebut agar luasnya maksimum.
Penyelesaian:
Misalkan p: panjang kandang, dan l : lebar kandang. Sehingga diperoleh
optimisasi: Mencari nilai p dan q yang
memaksimumkan
L = pq
dengan kendala
= 2( + ) = 24
, ≥ 0.
Masalah ini dapat diubah menjadi masalah ekstrem fungsi 1 peubah
tanpa kendala, dengan cara mengeliminasi salah satu peubah. Dari
kendala keliling diperoleh
= 12 −
Sehingga memaksimumkan
= (12 − ).
Melalui syarat stasioner diperoleh titik ( , ) = (6, 6) yang memberikan
luas maksimum sebesar 36
. Berarti kandang kambing tersebut
berbentuk bujur sangkar.
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Introduction of LP
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Kendala Berbentuk Pertidaksamaan
Contoh 1. Tentukan semua ekstrem fungsi ( ) =
untuk −1 ≤ ≤ 2.
Selain = 0 sebagai ekstrem minimum (stasioner), diperoleh juga = 2
yang menyebabkan ( ) maksimum. Ekstrem tersebut bukan ekstrem
stasioner, melainkan ekstrem batas, karena terjadi pada batas daerah
peubah x.
Contoh 2. Diberikan suatu fungsi linear
( , ) = 100 − − .
tidak mempunyai ekstrem stasioner, karena
dan
tidak pernah
sama dengan nol. Tetapi jika diberikan kendala pada kedua peubah:
≤ 40 dan ≤ 20,
maka f mencapai minimum di titik ( , ) = (40, 20) sebesar 40. Ekstrem
ini juga merupakan ekstrem batas.
Jenis ekstrem tersebut yang terutama ditemui dalam program linear.
3.
Masalah Program Linear (Linear Programming)
Secara umum ekstrem dengan kendala berbentuk pertidaksamaan dapat
dirumuskan sebagai berikut.
Mencari
, = 1,2, … ,
yang
mengoptimumkan (maks/min)
= ( , ,…, )
terhadap kendala
( , , … , )(≤, =, ≥)0,
= 1,2, …
.
Tanda (≤, =, ≥) artinya setiap kendala memilih satu di antara ketiga
relasi tersebut dan tidak harus semua sama.
Dalam masalah Program Linear berlaku:
1. Fungsi objektif merupakan persamaan linear.
2. Fungsi kendala , = 1,2, … merupakan pertidaksamaan linear.
3. Peubah harus memenuhi syarat tak negatif: ≥ 0, = 1,2, … , .
Jadi, ekstrem dalam Program Linear selalu berupa ekstrem batas.
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Introduction of LP
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Secara umum, masalah program linear dirumuskan sebagai berikut.
Optimumkan (maksimum/mininimum)
=
+
+⋯+
terhadap kendala
+
+⋯+
(≤, =, ≥)
+
+⋯+
(≤, =, ≥)
..............................................................
+
+⋯+
(≤, =, ≥)
dan kendala tak negatif
, ,…, ≥ 0
Perumusan di atas dapat disingkat sebagai berikut.
Optimumkan (maksimum/minimum)
=∑
terhadap kendala
∑
(≤, =, ≥) ,
= 1, 2, … ,
dan kendala tak negatif
≥ 0,
= 1, 2, … ,
Dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut.
Optimumkan (maksimum/minimum)
=
terhadap kendala
(≤, =, ≥)
dan kendala tak negatif
≥0
dengan = ( , , … , )
=( )
=
⋮ ,
=
Catatan 1:
1. Kendala tak negatif
⋮
≥ 0,
= 1, 2, … ,
sebenarnya tidak mutlak
harus disertakan, tetapi karena metode simpleks menuntut syarat
tersebut. Selain itu, dalam penerapannya, banyak masalah yang
dihadapi juga memuat syarat tak negatif bagi peubah-peubahnya.
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Introduction of LP
2.
3.
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Dalam masalah yang akan kita pelajari, selalu diasumsikan memuat
syarat tak negatif. Masalah Program Linear yang tidak mengharuskan syarat tak negatif akan dipelajari dalam materi Program Linear
tingkat berikutnya.
Masalah ekstrem dengan kendala pertidaksamaan yang umum
(tidak semua fungsinya linear) dapat diselesaikan dengan berbagai
metode yang akan dibahas dalam mata kuliah Program Tak Linear
(PTL). Sedangkan untuk masalah Program Linear tersedia dua
metode penyelesaian (metode grafik dan simpleks).
Catatan 2:
1. Penyelesaian yang memenuhi semua kendala disebut penyelesaian
fisibel.
2. Himpunan Penyelesaian Fisibel (HPF) merupakan himpunan
konveks.
3. Penyelesaian fisibel yang memenuhi fungsi objektif disebut penyelesaian optimal.
4. Penyelesaian optimal berada di titik ekstrem dari HPF-nya.
Asumsi-asumsi Dasar Linear Programming
1. Proporsionality. Naik turunnya nilai dan penggunaan sumber daya
yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan
perubahan tingkat kegiatan. Misal
a.
=
+
+ ⋯+
Setiap pertambahan 1 unit
akan menaikkan dengan .
Setiap pertambahan 2 unit
akan menaikkan dengan ,
dan seterusnya.
b.
+
+ ⋯+
(≤, =, ≥)
Setiap pertambahan 1 unit
akan menaikkan penggunaan sumber 1 dengan
. Setiap pertambahan 1 unit
akan menaikkan
penggunaan sumber 2 dengan
.
2. Additivity. Nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi,
atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan ( ) yang
diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa
mempenga-ruhi bagian nilai
yang diperoleh dari kegiatan lain.
Misal = 3 + 5 , maka tidak ada korelasi antara
dan .
3. Divisibility. Keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan
dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai yang
dihasilkan. Misal
= 4,3; = 500,75.
4. Deterministic (Certainty). Semua parameter yang terdapat dalam
model LP ( , , ) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun
jarang dengan tepat.
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Introduction of LP
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Teori Pendukung dalam Program Linear
1. Vektor dan matriks
2. Operasi Baris Elementer (OBE).
3. Kombinasi konveks dan himpunan konveks.
B. Perumusan Masalah Nyata
Dalam kehidupan sehari-hari, selalu terdapat masalah yang dihadapi
oleh suatu negara, perusahaan, atau lingkungan tertentu. Jika suatu
masalah nyata bersifat kuantitatif, maka masalah tersebut dapat
dianalisis secara matematik.
Berikut merupakan alur penyelesaian masalah nyata secara matematik.
Masalah nyata
pemodelan
Model matematis
(PL, PTL, dsb)
penyelesaian
Metode penyelesaian matematis
tafsiran
Penyelesaian
matematis
Secara umum, langkah-langkah penyelesaian dalam analisis masalah
adalah sebagai berikut.
1. mengidentifikasi masalah
2. mencari metode penyelesaian
3. memilih metode yang paling cocok
4. melaksanakan (implementasi)
5. mengevaluasi hasil
Contoh:
1. Produksi tekstil. Waktu penggunaan 2 mesin (A &B) dialokasikan
untuk memproduksi 2 jenis tekstil (t.biasa dan t.halus). Dalam satu
periode produksi, mesin A punya waktu 80 jam, mesin B punya
waktu 60 jam. Per kodi, tekstil biasa perlu waktu pengolahan 2 jam
di mesin A dan 3 jam di B, tekstil halus perlu waktu 4 jam di A dan 2
jam di B. Harga jual t.biasa $40/kodi, t.halus $60/kodi. Berapa tiap
jenis tekstil dibuat agar harga jual maksimum?
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Introduction of LP
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Penyelesaian:
Melihat ketentuan-ketentuan yang diketahui lebih baik bila yang
diandaikan sebagai peubah bebas-nya adalah jumlah tekstil biasa dan
halus yang diproduksi. Untuk mempermudah penyusunan model
disusun tabel sebagai berikut.
Mesin A
Mesin B
Harga jual ($)
Tekstil biasa
Tekstil halus
2
3
40
4
2
60
Alokasi waktu
mesin (jam)
80
60
Identifikasi variabel
Misalkan x : jumlah tekstil biasa yang diproduksi (dalam kodi).
y : jumlah tekstil halus yang diproduksi.
Identifikasi fungsi tujuan
Pendapatan total yang harus dimaksimumkan adalah
= 40 + 60
Identifikasi fungsi-fungsi kendala
Keterbatasan alokasi waktu setiap mesin menimbulkan kendala:
Mesin A: 2 + 4 ≤ 80
Mesin B: 3 + 2 ≤ 60
Peubah x dan y mewakili besaran yang tidak boleh bernilai negatif:
, ≥0
Model Program Linear lengkap
Maksimumkan
= 40 + 60
terhadap kendala
2 + 4 ≤ 80
3 + 2 ≤ 60
, ≥0
2. Reddy Mikks. Perusahaan cat memproduksi cat interior dan cat
eksterior. Dua bahan A & B digunakan. Kebutuhan bahan untuk tiap
cat beserta persediaannya terlihat pada tabel di bawah. Survey
menunjukkan bahwa permintaan harian cat interior melebihi cat
eksterior tidak lebih dari 1 ton. Permintaan maksimum cat interior
adalah 2 ton/hari. Harga jual cat eksterior $3000/hari, sedangkan cat
interior $2000. Berapa produksi tiap cat supaya harga jual
maksimum ?
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Introduction of LP
Bahan A
Bahan B
Harga jual ($)
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Cat eksterior
Cat interior
1
2
3000
2
1
2000
Persediaan
bahan
6
8
Penyelesaian:
Melihat ketentuan-ketentuan yang diketahui lebih baik bila yang
diandaikan sebagai peubah bebas-nya adalah jumlah cat interior dan
eksterior yang diproduksi.
Identifikasi variabel
Misalkan x : jumlah cat eksterior yang diproduksi.
y : jumlah cat interior yang diproduksi.
Identifikasi fungsi tujuan
Pendapatan total yang harus dimaksimumkan adalah
= 3000 + 2000
Identifikasi fungsi-fungsi kendala
Keterbatasan persediaan bahan menimbulkan kendala:
Bahan A: + 2 ≤ 6
Bahan B: 2 + ≤ 8
Permintaan cat interior melebihi cat eksterior tidak lebih dari 1 ton:
− + ≤1
Permintaan maksimum cat interior 2 ton/hari
≤2
Peubah x dan y mewakili besaran yang tidak boleh bernilai negatif:
, ≥0
Model Program Linear lengkap
Maksimumkan
= 3000 + 2000
terhadap kendala
+2 ≤6
2 + ≤8
− + ≤1
≤2
, ≥0
3. Model PL lebih dari 2 variabel. Sebuah bank sedang dalam proses
merumuskan kebijakan pinjaman yang melibatkan jumlah total uang
sebesar $12 juta. Bank tersebut berkewajiban memberikan pinjaman
kepada berbagai nasabah. Tabel berikut memberikan jenis-jenis
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Introduction of LP
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
pinjaman, suku bunga yang dikenakan oleh bank dan probabilitas
pinjaman macet yang diestimasi dari pengalaman masa lalu.
Jenis pinjaman
Pribadi
Mobil
Rumah
Pertanian
Komersial
Suku bunga
0,140
0,130
0,120
0,125
0,100
Probabilitas
pinjaman macet
0,10
0,07
0,03
0,05
0,02
Pinjaman macet diasumsikan tidak dapat diperoleh kembali sehingga
tidak menghasilkan pendapatan bunga. Persaingan dengan lembaga
keuangan lainnya di wilayah tersebut mengharuskan bank itu untuk
mengalokasikan setidaknya 40% dari dana total untuk pinjaman
pertanian dan komersial. Untuk membantu industri perumahan di
wilayah itu, pinjaman perumahan harus setidaknya sama dengan 50%
dari pinjaman pribadi, mobil dan perumahan. Bank tersebut juga
memiliki kebijakan tertulis yang menyatakan bahwa rasio keseluruhan untuk pinjaman macet atas semua pinjaman tidak boleh lebih
besar dari 0,04.
Penyelesaian:
Identifikasi variabel
Misalkan
: pinjaman pribadi
: pinjaman mobil
: pinjaman rumah
: pinjaman pertanian
: pinjaman komersial
Identifikasi fungsi tujuan
Maksimumkan z = 0,14(0,9x1) + 0,13(0,93x2) + 0,12(0,97x3) +
0,125(0,95x4) + 0,1(0,98 x5) –
0,1x1 – 0,07x2 – 0,03x3 – 0,05x4 – 0,02x5
= 0,026 + 0,059 + 0,0864 + 0,06875 + 0,078
Identifikasi fungsi-fungsi kendala
Dana total
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 12
Pinjaman pertanian dan komersial
x4 + x5 ≥ (0,4)( x1 + x2 + x3 + x4 + x5)
Pinjaman perumahan
x3 ≥ 0,5 (x1 + x2 + x3)
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Introduction of LP
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Batas pinjaman macet
0,01x1  0,07 x 2  0,03x3  0,05x 4 0,02 x5
 0,04
x1  x 2  x3  x 4  x5
Non negativitas
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
Model Program Linear lengkap
Maksimumkan
= 0,026 + 0,059 + 0,0864 + 0,06875 + 0,078
terhadap kendala
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 12
0.4x1 + 0.4x2 + 0.4x3 – 0.6x4 − 0.6x5 ≤ 0
0,5x1 + 0,5x2 − 0,5x3 ≤ 0
0,06 + 0,03 − 0,01 + 0,01 − 0,02 ≤ 0
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
Department of Mathematics FMIPA UNS