integral trigonometri

INTEGRAL
TAK TENTU
1
Rumus umum integral
b
 f (x) dx  F(x)
a
 =lambang integral
f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan)
a dan b = batas pengintegralan
a = batas bawah
b = batas atas
dx = faktor pengintegral
F = hasil integral dari f(x)
2
Perbedaan integral tentu dan tak tentu
b
Integral tentu  f(x) dx  bilangan
a
b
Integral tak tentu  f(x) dx
a
 fungsi
3
Penerapan Integral dalam Ilmu Sains
Jika V(t) adl volume air dlm waduk pada waktu
t, maka turunan V’(t) adl laju mengalirnya air ke
dalam waduk pada waktu t.
t2
 V' (t) dt  V(t 2 )  V(t1 )
t1
perubahan banyaknya air dalam
waduk diantara t1 dan t2
4
Jika [C](t) adl konsentrasi hasil suatu reaksi
kimia pd waktu t,maka laju reaksi adl turunan
d[C]/dt
t2

t1
d[C]
dt  [C](t2)-[C](t1)
dt
perubahan konsentrasi C dari waktu t1 ke t2
Jika massa sebuah batang, diukur dari ujung kiri
ke titik x adalah m(x), maka kerapatan linier
adalah (x)=m’(x)
b
 ρ(x) dx  m(b)  m(a)
a
massa dari ruas batang yg terletak
diantara x=a dan x=b
5
Jika laju pertumbuhan populasi adl dn/dt, maka
t2

t1
dn
dt  n(t2 )  n(t1 )
dt
pertambahan populasi selama periode waktu t1 ke t2
Percepatan benda adl a(t)=v’(t) sehingga
t2
 a(t) dt  v(t2 )  v(t1 )
t1
perubahan dlm kecepatan dari waktu t1 ke t2
6
RUMUS DASAR & SIFAT
1.
2.
3.
4.
d
x n   n x n 1

dx
d
1
 lnx  
dx
x
d
x
x
e

e


dx
d
kx
kx
e

ke


dx
n 1
x
n
x
 dx  n  1  n  1
1
 xdx  lnx  C
x
x
e
dx

e
C

kx
e
kx
e
 dx  k  C
x
a
x
a
 dx  ln a  C
 (kf )(x)dx  k  f (x)dx
 f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx
7
Jika g suatu fungsi yg bisa dideferensialkan dan
r suatu bilangan rasional bukan -1, maka
 g(x)
r
dx 
Contoh :
g(x)
r 1
C
r 1
 x4 dx = ????
g(x) = x
r = 4
 g(x)
r
dx 
g(x)
r 1
C
r 1
x4+1
x5

C=
C
4 1
5
8
Teknik pengintegralan
INTEGRAL SUBSTITUSI
Integral substitusi yaitu menggantikan suatu
variabel dg variabel baru dalam operasi
pengintegralan
Aturan substitusi
Jika U = g(x) adl fungsi terdiferensialkan yang
daerah nilainya berupa selang I dan f kontinu
pada I, maka
f (U) du = f (g(x)) g’(x) dx
u
du
9
1. Hitunglah  2x  1 dx
10
1. Hitunglah  2x  1 dx
u=2x+1
du=2 dx
dx=1/2 du

2x  1 dx 

u
du 1 1/2
 u
du
2
2
1 u 3/2
1

 C  u 3/2  C
2 3/2
3
1
 (2x  1)3/2  C
3
11
INTEGRAL PARSIAL
Bila integral substitusi GAGAL  integral parsial
Integral parsial : suatu metode yg didasarkan
pd pengintegralan rumus
turunan hasilkali dari dua fungsi
Andaikan u=u(x) dan v=v(x), maka
Dx[u(x) v(x)] = u(x) v’(x) + v(x) u’(x)
dengan mengintegralkan dua ruas, diperoleh
u(x) v(x) =  u(x) v’(x) dx +  v(x) u’(x) dx
12
atau  u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) -  v(x) u’(x) dx
krn dv=v’(x) dx dan du=u’(x)dx, persamaan
menjadi:
Pengintegralan Parsial Tak Tentu
 u dv = u v - v du
Pengintegralan Parsial Tentu
b
b
b
a
a
a
 u(x) v' (x) dx  u(x) v(x)   v(x)  u' (x) dx
b
b
b
a
a
a
 u dv  u v    v du
13
Gambar diagram u dv=uv-vdu
14
1. Tentukan lnx dx
15
1. Tentukan
 lnx dx
u = ln x
du = 1/x dx
dv = dx
v=x
1
 ln x dx   x lnx   x xdx
 x ln x 
 dx
 x ln x  x  C
16
INTEGRAL TRIGONOMETRI
 sin x dx = - cos x + C
 cos x dx = sin x + C
 sec x dx = tan x + C
 co sec x dx = -cotan x + C
 tan x sec x dx = sec x + C
 cotan x cosec x dx = -cosec x + C
2
2
17
INTEGRAL TRIGONOMETRI
Strategi untuk menghitung  sinmx cosnx dx
1. Jika pangkat kosinus bil.ganjil (n=2k+1),
simpan satu faktor kosinus dan gunakan
cos2x=1-sin2x utk menyatakan faktor yg tersisa
dalam sinus
sinm x cos2k+1 x dx = sinmx (cos2x)k cos x dx
= sinmx (1-sin2x )k cos x dx
kemudian substitusikan u=sinx
du=cosx dx
18
2. Jika pangkat sinus bil.ganjil (m=2k+1),
simpan satu faktor sinus dan gunakan
sin2x=1-cos2x utk menyatakan faktor yg tersisa
dalam kosinus
sin2k+1 x cosn x dx = (sin2x)k cosnx sin x dx
= (1-cos2x)k cosnx sin x dx
kemudian substitusikan u = cosx
du= -sin x dx
NB : Jika pangkat sinus maupun kosinus
adalah ganjil, gunakan point (1) atau (2)
19
3. Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah
bilangan genap, gunakan persamaan sudutparuh
sin2x = ½ (1-cos 2x)
cos2x = ½ (1+cos2x)
sinx cosx = ½ sin 2x
20
1. Tentukan cos3x dx
21
1. Tentukan cos3x dx
untuk mempermudah dijabarkan menjadi:
cos3x = cos2x . cos x = (1-sin2x) cos x
cos3x = cos2x . cos x dx
= (1-sin2x) cos x dx
misal :
u = sin x
du= cos x dx
cos3x =  (1-u2) du
= u - 1/3 u3 + C
= sin x – 1/3 sin3x + C
22
Strategi untuk menghitung  tanmx secnx dx
1. Jika pangkat secan  bil.genap (n=2k),
simpan satu faktor sec2x dan gunakan
sec2x=1+tan2x utk menyatakan faktor yg
tersisa dalam tan x
tanm x sec2k x dx = tanmx (sec2x)k-1 sec2 x dx
= tanmx (1+ tan2x )k-1 sec2x dx
kemudian substitusikan u = tan x
du=sec2 x dx
23
2. Jika pangkat tangen bil.ganjil (m=2k+1),
simpan satu faktor sec x tan x dan gunakan
tan2x=sec2x-1 utk menyatakan faktor yg tersisa
dalam sec x
 tan2k+1 x secn x dx = (tan2x)k secn-1 x sec x tan x dx
=  (sec2x-1 )k secn-1x sec x tan x dx
kemudian substitusikan u = sec x
du=tan x sec x dx
24
Hitunglah tan6 x sec4 x dx
25
Hitunglah tan6 x sec4 x dx
ingat, sec2x = 1 + tan2x
6
4
6
2
2
tan
x
sec
x
dx

tan
x
sec
x
sec
x dx


  tan6 x (1  tan2 x) sec2 x dx
misal u=tan x
du = sec2x dx
6
4
6
2
tan
x
sec
x
dx

u
(1

u
) du


  u 6  u 8 du
7
1 u 9du
 1
u

7
9
7
1 tan9 x  C
 1
tan
x

7
9
26