3. Pertemuan

Kalkulus
Pertemuan III
LIMIT FUNGSI
Nina Hairiyah, S.TP., M.Si
Jurusan Teknologi Industri Pertanian
Politeknik Negeri Tanah Laut
E-mail : [email protected]
Hp/WA : 085248751988
LIMIT FUNGSI:
Mendekati hampir, sedikit lagi, atau
harga batas
Limit fungsi:
Suatu limit f(x) dikatakan mendekati
A {f(x)
A} sebagai suatu limit.
Bila x mendekati a {x
Dinotasikan
Lim F(x) = A
X
a
a}
Langkat-langkah mengerjakan limit
fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat
dihindari) adalah ….
1. Subtitusi langsung.
2. Faktorisasi.
3. Mengalikan dengan bilangan sekawan.
4. Membagi dengan variabel pangkat
tertinggi.
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x a
x a
Maka
1. Lim [k.f(x)]
x a
= k Lim f(x)
x a
= k. A
2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x a
x a
x a
=A+B
3. Lim
x a
[f(x) x g(x)]
= Lim f(x) x Lim g(x)
x a
x a
=AxB
4.
f ( x)
Lim
 f ( x) 
A

Lim  g ( x)  
Lim g ( x) B
xa
x a
x a
n


n
 f ( x)   Lim f ( x)  A
Lim
x a
 x a

n
5.
n
6.
n
Lim f ( x)  Lim f ( x) 
xa
xa
n
A
Soal latihan:
1.
Nilai dari Lim 3x adalah….
x 2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Pembahasan 1:
Lim 3x = 3(2)
x
2
=6
Pembahasan 2:
Lim 3x = 3 Lim X
x
2
x
2
= 3(2) = 6
Jawab:
1.
Nilai dari Lim 3x adalah….
x 2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x 2
a. -2
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
Pembahasan:
Lim (2x+4) = 2(2) + 4
x 2
=4+4
=8
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x 2
a. -2
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….
x 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
Pembahasan 1:
Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12
X
3
x
3
Pembahasan 2:
Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x
X
3
x
3
x
= 6(3) – 2(3)
= 18 – 6 = 12
3
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….
x 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
0
Limit fungsi bentuk 0
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)
Lim
xa
f ( x)
( x  a ).h( x)
 Lim
g ( x)
x  a ( x  a ).k ( x )
Maka:
h( x ) h( a )

 Lim
k ( x) k ( a )
x a
Limit Fungsi Bentuk
~
~
Jika diketahui limit tak hingga (~)
Sebagai berikut:
n 1
ax  bx  ...  c
R
Lim
m
m 1
 ...  r
x ~ px  qx
n
Maka:
1. R= 0 jika n<m
2. R= a jika n=m
p
3. R= ~ jika n>m
Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)
a.

Lim
~
x
1. R= ~ jika a>p
2. R= 0

ax  b  px  q  R
jika a=p
3. R= -~ jika a<p
b. Lim  ax
~
2
 bx  c 
x
1. R= ~ jika a>p
2.
bq
R
2 a jika a=p
3. R= -~ jika a<p

px 2  qx  r  R
x  3x  4 x
Lim
3
2
2x  x  2x
x 0
Soal latihan:
4
4. Nilai dari
adalah….
a. 3
b. 2
c. 1
d.
1

2
e. -2
2
Pembahasan:
x  3x  4 x
Lim
3
2
2
x

x
 2x
x 0
4
2
0 4  3 .0 2  4 .0 0


3
2
2 .0  0  2 . 0 0
Jika 0 didistribusikan menghasilkan
(bukan solusi) sehingga soal
diselesaikan dengan cara faktorisasi
0
0
x  3x  4 x
3
2
2x  x  2x
4
Lim
x 0
Maka:
2

 Lim

x 0


x x 3  3x  4
x 2x2  x  2
x  3x  4
 Lim
2
2x  x  2
x 0
004
4


 2
002
2
3
x  3x  4 x
Lim
3
2
2x  x  2x
x 0
4
Soal latihan:
4. Nilai dari
adalah….
a. 3
d.
b. 2
c. 1
e. -2
1

2
2
5. Nilai dari
adalah….
a. 1
4
b.
5
3
c.
5
x 4
Lim
2
x  x6
x 2
2
2
d.
5
e.  1
Pembahasan:
x 4
Lim
2
x  x6
x 2
( x  2)( x  2)
 Lim
( x  2)( x  3)
x 2
x2 22 4


 Lim
x3 23 5
x 2
2
x 4
Lim
2
x
 x6
x 2
2
5. Nilai dari
a. 1
adalah….
4
b.
5
3
c.
5
2
d.
5
e.  1
4 x  3x  6
Lim
2
2 x  8x  1
x~
2
6. Nilai dari
adalah ….
a. -6
d. 16
b. 2
e. 32
c. 10
Pembahasan 1:
4 x  3x  6
Lim
2
2 x  8x  1
x~
2
2
4x
3x
6
3
 2  2
4 
2
x
x 
x
 x2
8
2x
8x
1
2 
 2  2
2
x
x
x
x
6
2
x
1
2
x
Pembahasan 1:
3
6
4  2
400
~
~


8
1
2

0

0
2  2
~ ~
4
 2
2
Pembahasan 2:
4 x  3x  6
Lim
2
2
x
 8x  1
x~
2
Perhatikan bahwa pangkat diatas sama
dengan pangkat bawah sehingga p = q
(p dibagi q)
p 4
L  2
q 2
4 x  3x  6
Lim
2
2 x  8x  1
x~
2
6. Nilai dari
adalah ….
a. -6
d. 16
b. 2
e. 32
c. 10
7. Nilai dari
{
Lim
~
x
adalah….
a. -3
d. 0
b. -2
e. 1
c. -1
4 x  2 x  6  4 x  2 x  1}
2
2
Pembahasan:
bq 22 4
R


2.2
2 a
2 4
4

 1
4
7. Nilai dari
2
2
{
4
x

2
x

6

4
x
 2 x  1}
Lim
x~
adalah….
a. -3
d. 0
b. -2
e. 1
c. -1
(8 x  2)
Lim
2
x  ~ (4 x  1)
2
8. Nilai dari
adalah….
a. -4
d. 4
b. 0
e. 8
c. 2
Pembahasan:
(8x  2)
64 x  32 x  4
 Lim
Lim
2
2
x

~
16 x  8x  1
x  ~ (4 x  1)
2
2
64

4
16
(8 x  2)
Lim
2
x  ~ (4 x  1)
2
8. Nilai dari
adalah….
a. -4
d. 4
b. 0
e. 8
c. 2
9. Nilai dari
x x
Lim
2
x
 2x
x o
2
adalah….
a. -~ d. 0
b. -2
c.
1

2
e.
1
2
Pembahasan:
x x
x( x  1)

Lim
Lim
2
x  2x
x( x  2)
x 0
x 0
2
x 1 0 1
1
 Lim


02
2
x 0 x  2
9. Nilai dari
x x
Lim
2
x
 2x
x o
2
adalah….
a. -~ d. 0
b. -2
c.
1

2
e.
1
2
6x  4x  2x 1
Lim
4
3
x  ~ 3x  2 x  5 x  2
2
10. Nilai dari
adalah….
a.
b. 0
1 d. 2

2 e. 3
c.
1
2
2
Pembahasan:
6x  4x  2x 1
Lim
4
3
x  ~ 3x  2 x  5 x  2
2
2
Perhatikan
Pangkat tertinggi diatas 3
Pangkat tertinggi dibawah 4
Jadi
n<m
Nilai R = 0
6x  4x  2x 1
Lim
4
3
x  ~ 3x  2 x  5 x  2
2
10. Nilai dari
adalah….
a.
b. 0
1 d. 2

2 e. 3
c.
1
2
2
11. Nilai dari
adalah….
5
a.
13
8
b.
13
11
c.
13
2 x  5 x  12
Lim
2
x 4 3x  13x  4
2
12
d.
13
14
e.
13
Pembahasan:
2 x  5 x  12
Lim
2
x 4 3x  13x  4
(2 x  3)( x  4)
Lim
x 4 (3 x  1)( x  4)
2 x  3 2(4)  3

Lim
3(4)  1
x 4 3 x  1
 11 11


 13 13
2
2 x  5 x  12
11. Nilai dari Lim
2
x 4 3x  13x  4
2
adalah….
5
a.
13
8
b.
13
11
c.
13
12
d.
13
14
e.
13
12. Nilai dari
2 x  4 x  10
Lim
2
4x  7
x~
2
adalah….
1
a.
2
d. -1
b. 0
e. -6
1
c.  2
Pembahasan:
2 x  4 x  10
Lim
2
4x  7
x~
2
Pangkat diatas = Pangkat dibawah
Maka
2 1

4 2
12. Nilai dari
2 x  4 x  10
Lim
2
4x  7
x~
2
adalah….
1
a.
2
d. -1
b. 0
e. -6
1
c.  2
SELAMAT
BELAJAR