yang dalam bahasa kongruensi, kita mempunyai a b (mod

A.
Sistem Residu Lengkap
Sebelum membahas proses mencari sisa pembagian bilangan seperti itu, kita akan
mengingatkan kembali pengelompokan bilangan bulat melalui pembagian oleh suatu bilangan bulat
positif n. Sebagai contoh misalkan n = 4. Untuk sembarang bilangan bulat a, akan terdapat tepat
satu bilangan bulat q sehingga
a = 4q,
a = 4q + 1,
a = 4q + 2,
atau
a = 4q + 3
Hal itu mengatakan bahwa bilangan bulat dapat dipartisi ke dalam empat kelas partisi (keempat
himpunan itu saling lepas, dan apabila digabungkan akan menjadi bilangan bulat), yaitu
{4q | q ϵ Z } = {. . . , -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, . . . }
{4q + 1 | q ϵ Z } = {. . . , -11, -7, -3, 1, 5, 9, 13, . . . }
{4q + 2 | q ϵ Z } = {. . . , -10, -6, -2, 2, 6, 10, 14, . . . }
{4q + 3 | q ϵ Z } = {. . . , -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15, . . . }
Karena {0, 1, 2, 3} merupakan semua kemungkinan dari sisa pembagian dengan 4, maka keempat
partisi itu berturut-turut dapat dituliskan dalam pengertian kongruensi sebagai berikut:
[0] = {k ϵ Z | k ≡ 0 (mod 4)}
[1] = {k ϵ Z | k ≡ 1 (mod 4)}
[2] = {k ϵ Z | k ≡ 2 (mod 4)}
[3] = {k ϵ Z | k ≡ 3 (mod 4)}
Sekarang kita perhatikan bahwa untuk setiap bilangan bulat akan tepat berada dalam salah
satu kelas partisi, [0], [1], [2], atau [3]. Atau dengan bahasa lain, bahwa setiap bilangan bulat akan
selalu kongruen dengan salah satu dari bilangan {0, 1, 2, 3} modulo 4. Himpunan {0, 1, 2, 3} ini
akan dinamakan dengan sistem residu lengkap modulo 4. Dikatakan demikian, karena sistem {0, 1,
2, 3} yang merupakan sisa-sisa pembagian (residue) dalam modulo 4 menentukan keberadaan
(complete) setiap bilangan bulat.
Di dalam modulo 4, himpunan {0, 1, 2, 3} bukan satu-satunya sistem residu lengkap. Untuk
itu perhatikan kongruensi-kongruensi berikut:
k ≡ –4 (mod 4),
k ≡ 1 (mod 4),
k ≡ 6 (mod 4),
k ≡ 15 (mod 4)
Silahkan periksa bahwa setiap bilangan bulat akan selalu kongruen ke salah satu dari bilangan {–4,
1, 6, 15} modulo 4. Dengan demikian, himpunan {–4, 1, 6, 15} juga merupakan suatu sistem residu
lengkap modulo 4. Mudah dilihat bahwa {0, 1, 2, 3} merupakan sistem residu non negatif terkecil
modulo 4.
Secara umum kita dapat mendefinisikan sistem residu lengkap sebagai berikut:
Definisi 3.2
Suatu himpunan bilangan bulat dikatakan suatu sistem residu lengkap modulo n
apabila setiap bilangan bulat kongruen dengan salah satu dari himpunan itu
Bilangan bulat a dibagi dengan n akan memiliki sisa pembagian r dengan
0 ≤ r < n.
Karena ada n pilihan untuk r, kita lihat bahwa setiap bilangan bulat adalah kongruen modulo n
ke tepat satu dari bilangan 0, 1, 2, . . . , n – 1. Dengan demikian, {0, 1, 2, . . . , n – 1} merupakan
suatu sistem residu lengkap modulo n. Lebih khusus lagi himpunan itu merupakan sistem residu
lengkap terkecil modulo n.
Sekarang kita amati bilangan-bilangan yang terdapat dalam kelas partisi yang sama, misalnya
kelas
[2] = {k ϵ Z | k ≡ 2 (mod 4)}
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b di [2], maka a dan b memiliki sisa pembagian yang sama
yaitu 2 apabila dibagi dengan 4. Di samping itu, bahwa a juga kongruen dengan b modulo 4,
seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut ini:
Teorema 3.3
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, a  b (mod n) jika dan hanya jika a
dan b memiliki sisa yang sama apabila dibagi dengan n.
Pembuktian
(  ) Misalkan a  b (mod n) dan sisa pembagian b dengan n adalah r, yaitu b = qn + r dengan
0  r < n. Pernyataan dari kiri ke kanan itu mengatakan bahwa tunjukkan bahwa
r juga
merupakan sisa pembagian dari bilangan bulat a dengan n. Untuk itu, tuliskan a  b (mod n) dan
b = qn + r pada kolom premis, sedangkan a = pn + r pada kolom konklusi dengan p bilangan
bulat yang harus dicari.
Premis dan Implikasinya
a  b (mod n)
Konklusi dan Kondisi yang mungkin
C1:
a = pn + r
b = qn + r
Satu-satunya premis yang dapat dikembangkan adalah a  b (mod n) yang berdasarkan definisi
kongruensi diperoleh C1: a – b = kn. Sekarang perhatikan fakta-fakta yang diberikan di dalam
premis, dan konklusi yang diharapkan.
a–b=kn
?
a = pn + r
b = qn + r
Dari struktur argumentasi di atas, tampak bahwa gagasan untuk mendapatkan konklusi a = pn + r
diperoleh dengan mensubstitusikan premis b = qn + r ke a – b = kn, dan diperoleh
a = b + kn = (qn + r) + kn = (q + k)n + r
Dari sini kita memperoleh bahwa
a = pn + r
dengan
p=q+k
Ini menunjukkan bahwa sisa pembagian a dengan n sama dengan sisa pembagian b dengan n,
yaitu r.
(  ) Kita misalkan a = q1n + r dan b = q2n + r dengan sisa pembagian yang sama yaitu r (0 
r < n). Kita tuliskan premis yang diberikan dan konklusi a  b (mod n) yang akan dibuktikan itu
ke dalam struktur argumentasi berikut ini
Premis dan Implikasinya
Konklusi dan Kondisi yang mungkin
a = q 1n + r
a  b (mod n)
PC:
b = q2n + r
Untuk dapat membuktikan a  b (mod n), kondisi yang harus dimiliki adalah PC: a – b = n k
untuk suatu bilangan bulat
k
yang harus dicari. Untuk mendapatkan gagasan bagaimana
menentukan PC itu, perhatikan fakta-fakta yang diberikan,
a = q1n + r
?
a–b=nk
b = q2n + r
Berdasarkan struktur argumentasi itu, tampak bahwa kondisi yang harus dimiliki a – b = nk bisa
diperoleh dengan mengurangkan premis pertama dengan premis kedua, dan diperoleh
a – b = (q1n + r) – (q2n + r) = (q1 – q2)n
Dengan memilih k = q1 – q2 akan diperoleh bahwa
a–b=kn
yang dalam bahasa kongruensi, kita mempunyai a  b (mod n).▀
Berikut ini disajikan ilustrasi contoh untuk memahami makna yang terkandung di dalam
teorema di atas.
Contoh 3.1 Bilangan bilangan bulat –56 dan –11 dapat dinyatakan dalam bentuk
–56 = (–7)9 + 7
–11 = (–2)9 + 7
dengan sisa yang sama yaitu 7. Teorema 3.1 mengatakan bahwa –56  –11 (mod 9). Sebaliknya,
kongruensi –31  11 (mod 7) mengakibatkan bahwa –31 dan 11 mempunyai sisa yang sama apabila
dibagi dengan 7; Hal ini jelas dari hubungan
–31 = (–5)7 + 4
B.
11 = 1 . 7 + 4
Sifat Kenselisasi dalam Kongruensi
Di dalam kesamaan kita mengenal sifat kenselisasi, yaitu jika ca = cb, maka untuk c ≠ 0
berlaku a = b. Bagaimana halnya dengan kongruensi. Untuk itu perhatikan beberapa contoh
kongruensi berikut ini:
3.10 ≡ 3.(–4) (mod 7)
⇔
10 ≡ (–4) (mod 7)
4.10 ≡ 4.1 (mod 6)

/
10 ≡ 1 (mod 6)
Tetapi,
Berdasarkan kedua contoh di atas, di dalam kongruensi tidak harus berlaku sifat kenselisasi.
Teorema di bawah ini memberikan suatu kesimpulan yang mirip dengan sifat kenselisasi dalam
kesamaan.
Teorema 3.5. Jika ca  cb (mod n) maka a  b (mod n/d) di mana d = fpb(c, n).
Pembuktian
Pertama, tuliskan kedua premis dan konklusi dari pernyataan itu ke dalam struktur
argumentasi pembuktian seperti berikut:
Premis dan Implikasinya
ca  cb (mod n)
Konklusi dan Kondisi yang mungkin
C1:
a  b (mod n/d)
PC:
fpb(c, n) = d
C2:
Dari premis pertama kita memperoleh C1: ca – cb = np untuk suatu bilangan bulat p, sedangkan
dari premis kedua diperoleh C2: c = dr dan n = ds untuk suatu bilangan bulat r dan s. Kondisi
yang harus dimiliki untuk memperoleh konklusi a  b (mod n/d) adalah PC: a – b = (n/d)k untuk
suatu bilangan bulat k yang harus dicari. Untuk mendapatkan gagasan proses menentukan PC itu,
perhatikan fakta-fakta C1, C2, dan PC dalam struktur pembuktian berikut:
C1: ca – cb = np
?
PC: a – b = (n/d)k
C2: c = dr, n = ds
Kita substitusikan nilai c dan n pada C1, kemudian bagi kedua ruas dengan d, maka kita
diperoleh
r(a – b) = ps
Karena s = n/d dan berlaku s | r(a – b), maka untuk mendapatkan kondisi dalam PC perlu
memiliki fpb(r, s) = 1. Sehingga berdasarkan Lemma Euclid menghasilkan s | a – b atau a – b =
(n/d)k seperti yang diharapkan.
Untuk memeriksa kebenaran bahwa r dan s relatif prima, perhatikan kombinasi linear dari
fpb(c, n), yaitu ada bilangan bulat x dan y sehingga
d = cx + ny
dengan membagi kedua ruas dengan d, diperoleh
1 = (c/d)x + (n/d)y
atau
1 = rx + sy
Pernyataan terakhir mengatakan bahwa r dan s adalah relatif prima, atau fpb(r, s) = 1. ▀
Kasus khusus untuk bilangan bulat c dan n yang saling relatif prima, maka sifat kenselisasi
dalam kongruensi benar-benar dipenuhi seperti yang diilustrasikan dalam contoh pertama di atas.
Berikut ini pernyataan sifat kenselisasi dalam kongruensi.
Akibat 1 Jika ca  cb (mod n) dan fpb(c, n) = 1 maka a  b (mod n)
Kondisi lain yang harus dipenuhi agar berlaku sifat kenselisasi dinyatakan dalam teorema akibat 2
di bawah ini.
Akibat 2 Jika ca  cb (mod p) dan p | c/ di mana p bilangan prima maka
a  b (mod p)
Pembuktian
Kondisi p |/ c dan p bilangan prima mengakibatkan bahwa fpb(c, p) = 1, sehingga berdasarkan
Akibat 1 diperoleh bahwa a  b (mod p)
Contoh 3.4
Perhatikan kongruensi 33  15 (mod 9). Kita dapat menuliskan kongruensi itu
sebagai 3 . 11  3 . 5 (mod 9). Karena fpb(3, 9) = 3, berdasarkan Teorema 3.3 kita dapat
menyimpulkan bahwa 11  5 (mod 3). Illustrasi yang lainnya, diberikan kongruensi –35  45
(mod 8) yang sama dengan 5 . (–7)  5 . 9 (mod 8). Bilangan bulat 5 dan 8
adalah relatif
prima, maka kita dapat menghilangkan factor 5 dan diperoleh kongruensi –7  9 (mod 8).
LATIHAN 3.1
1. Buktikan masing-masing pernyataan di bawah ini:
(a) Jika a  b (mod n) dan m | n, maka a  b (mod m)
(b) Jika a  b (mod n) dan c > 0 maka ca  cb (mod n)
(c) Jika a  b (mod n) dan bilangan bulat a, b, n semuanya dapat dibagi dengan d > 0 maka
a/d  b/d (mod n/d)
2. Berikan contoh untuk menunjukkan bahwa a2  b2 (mod n) tida perlu mengakibatkan bahwa a
 b (mod n)
3. Jika a  b (mod n), buktikan bahwa fpb(a, n) = fpb(b, n)
4. (a) Carilah sisanya apabila 250 dan 4165 dibagi dengan 7
(b) Carilah sisa pembagian bilangan 10999999999 dibagi dengan 7.
(c) Berapakah sisanya apabila jumlah dari bilangan-bilangan
15 + 25 + 35 + . . . + 995 + 1005
dibagi dengan 4
5. Buktikan bahwa 53103 + 10353 dapat dibagi dengan 39, dan bahwa 111333 + 333111 dapat
dibagi dengan 7
6. Untuk n  1 , gunakan teori kongruensi untuk memeriksa pernyataan pembagian di bawah ini
(a)
7 | 52n + 3 . 25n-2
(b)
13 | 3n+2 + 42n+1
(c)
27 | 25n+1 + 5n+2
(d)
43 | 6n+2 + 72n+1
7. Buktikan pernyataan di bawah ini
(a)
Jika a bilangan ganjil maka a2  1 (mod 8)
(b) Untuk sembarang bilangan bulat a, a3  0, 1, atau 6 (mod 7)
(c) Untuk sembarang bilangan bulat a, a4  0 atau 1 (mod 5)
(d) Jika bilangan bulat a tidak membagi 2 atau 3, maka a2  1 (mod 24)
8. Gunakan teori kongruensi untuk memerika bahwa
89 244 – 1
dan
97 | 248 –1
9. Buktikan bahwa apabila ab  cd (mod n) dan b  d (mod n) dengan fpb(b, n) = 1, maka a 
c (mod n).
10 Jika a  b (mod n1) dan a  c (mod n2), buktikan bahwa b  c (mod n) di mana bilangan
bulat n = fpb(n1, n2)