pertemuan8

Pertemuan 8
INVERS MATRIKS
Mencari
Dengan Menggunakan Matriks Elementer
Matriks bujur sangkar,
dengan
mempunyai invers jika terdapat matriks
dan
, disebut
sedemikian rupa sehingga
Di mana matriks satuan.
Jika
mempunyai invers maka
disebut matriks tak singular. Dan jika
mempunyai invers maka matriksnya disebut matriks singular. Jika
tidak
mempunyai invers
maka inversnya tunggal (unik). Untuk menunjukkan hal ini, perhatikan penjelasan di
bawah ini.
Andaikan
dan
invers dari
sehingga dipenuhi hubungan
dan
,
maka
Jadi,
, atau kedua invers matriks tersebut tunggal.
Sifat-sifat Invers Matriks
a.
b.
c.
, di maka
skalar (bilangan riil).
d.
Untuk mendapatkan invers suatu matriks, salah satu metode yang dapat dilakukan
adalah menggunakan matriks elementer.
Contoh:
Manakah yang merupakan matriks elementer? Tentukan OBE-nya.
Penyelesaian
diperoleh dari matriks satuan berordo 2 x 2 yang dikenai satu operasi baris
elementer yang pertama yaitu mengalikan baris kedua dengan konstanta
.
diperoleh dari matriks satuan 3 x 3 yang dikenai satu operasi baris elementer yang
kedua yaitu menukar baris kedua dengan baris ketiga. Sedangkan
dikenai operasi
baris elementer yang ketiga yaitu menjumlahkan baris pertama dengan kelipatan
baris ketiga. Sementara itu, matriks
bukan matriks elementer karena tidak mungkin
melakukan operasi baris elementer sehingga matriks satuan menjadi matriks yang baris
keduanya menjadi baris nol.
Perkalian matriks elementer dengan sembarang matriks yang sesuai dari sebelah kiri
akan mempunyai pengaruh sebagaimana melakukan operasi baris elementer terhadap
matriks tersebut. Sebagai contoh,
Jika
di dapat
dan
Perkalian matriks elementer dengan sembarang matriks dapat dilakukan asal
memenuhi syarat perkalian dua matriks dari sebelah kanan mempunyai efek
sebagaimana operasi kolom elementer dikenakan pada matriks tersebut.
Keistimewaan yang lain, setiap operasi baris elementer yang mengubah matriks satuan
menjadi matriks elementer mempunyai lawan yang mengubah matriks elementer
menjadi matriks satuan. Kenyataan ini diberikan dalam Tabel 4.1 di bawah ini.
Tabel.1 Operasi Baris Elementer yang Mengubah Matriks Elementer Menjadi Matriks
Satuan, dan Sebaliknya.
OBE yang mengubah I menjadi E
Mengalikan satu baris dengan konstanta
Menukar baris ke- dengan baris ke- .
OBE yang mengubah E menjadi I
.
Mengalikan satu baris dengan
.
Menukar baris ke- dengan baris ke- .
Menjumlahkan baris ke- dengan kelipatan
Menjumlahkan baris ke- dengan kelipatan
kali baris ke- .
kali baris ke- .
Setiap matriks elementer mempunyai invers dan inversnya merupakan matriks
elementer yang diperoleh dari lawan operasinya. Jika matriks bujursangkar
dan
matriks
tersebut ekuivalen baris dengan matriks satuan
maka dapat ditemukan
matriks elementer yang sedemikian rupa sehingga jika dikalikan dengan matriks
maka matriks
tersebut menjadi matriks satuan, sehingga
Karena setiap matriks elementer mempunyai invers maka jika dilakukan perkalian
dengan invers masing-masing matriks elementer didapat
Atau
Persamaan di atas menyatakan bahwa matriks
Sebaliknya jika
mempunyai invers.
mempunyai invers berarti dipenuhi hubungan
Dengan mengambil
Karena matriks invers tunggal, maka diperoleh (jika
mempunyai invers), matriks
ekivalen baris dengan matriks satuan .
Gambar 1. Cara praktis untuk mendapatkan invers matriks bujur sangkar
Dari hasil di atas, cara praktis mendapatkan invers dari suatu matriks bujursangkar
ialah dengan melakukan serangkaian operasi baris elementer secara bersamaan antara
matriks dengan matriks satuan dengan target mengubah matriks menjadi matriks
satuan
dan akibatnya didapatlah perubah matriks
bisa menjadi matriks satuan berarti
menjadi matriks
Contoh 1
Tentukan invers dari matriks berikut.
Penyelesaian:
a.
~
b.
tidak
tidak mempunyai invers. Hal ini dapat diperjelas
dengan Gambar 1.
Jadi
. Jika
Jadi,
c.
Karena baris ketiga beruba baris nol yang berarti pula
baris dengan matriks satuan
tidak akan mungkin ekuivalen
sehingga pada kasus ini matriks
tidak mempunyai
invers.
Jika matriks koefisien suatu sistem persamaan linear mempunyai invers maka
penyelesaian sistem persamaan linear tersebut didapat dengan mengalikan invers
matriks koefisien bersangkutan dengan suku konstantanya, dengan kata lain
persamaan matriks
Jika
ada maka solusinya adalah
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut, dengan menghitung
invers matriks koefisien terlebih dahulu
Penyelesaian:
Matriks koefisien sistem persamaan linear di atas adalah
Dan matriks suku konstannya
Untuk mencari inversnya, bentuklah matriks lengkap yang diperbesar sebagai berikut.
Karena target kita adalah mengubah matriks koefisien menjadi matriks satuan maka
langkah paling mudah ialah dengan menjumlahkan baris kedua dengan baris pertama
untuk meng-nol-kan baris kedua kolom ketiga. Perhatikan bahwa matriks satuan
mempunyai satu utama pada setiap kolom dan pada setiap baris serta entri yang
lainnya nol semua. Cara yang diterapkan pada contoh ini tidak mengikuti prosedur
membentuk matriks eselon baris terlebih dahulu yang kemudian diteruskan menjadi
matriks eselon baris tereduksi, namun yang ingin dicapai terlebih dahulu adalah adanya
satu utama pada setiap baris dan kolomnya, setelahnya ditata untuk mendapatkan sifat
ketiga dan keempat dari matriks eselon baris tereduksi. Sehingga matriks tersebut
menjadi
Dengan demikian, invers matriks koefisiennya adalah
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah
Penerapan : Encoding dan Decoding Pesan-pesan Rahasia
Encoding merupakan kegiatan untuk menyembunyikan pesan sehingga orang yang
tidak berhak tidak mampu mengetahui isi pesan yang sebenarnya, sedangkan decoding
adalah kegiatan untuk menterjemahkan pesan yang telah di-encoding sehingga dapat
diterima pesan aslinya.
Perhatikan urutan huruf-huruf berikut:
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
13
14
15
Sebagai contoh, pesan: “Pergi ke pati” oleh urutan huru-huruf di atas disampaikan
dengan pesan tanpa encoding seperti berikut.
16 05 18 07 09 27 11 05 27 16 01 20 09 27
Jika digunakan matriks encoding
Maka pesan yang terkirim akan menjadi
dst
Yang didapat
26 31 32 39 63 89 21 26 59 75 41 61 63 89
Di pihak yang menerima pesan, tentunya, untuk bias membaca pesan tersebut pihak
yang bersangkutan harus mengubah pesan yang diterima dengan melakukan kegiatan
decoding yaitu dengan mengalikan pesan yang terenkoding tadi dengan invers matriks
encoding-nya yaitu
dst
Sehingga pesan aslinya dapat diketahui dengan benar.
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Tentukan Matriks elementer yang menyebabkan matriks elementer di bawah ini
menjadi matriks satuan (atau dengan istilah lain, invers matriks elementer)
a.
b.
c.
Untuk Soal 2 sampai dengan 5 gunakan metode yang diberikan pada subbab ini.
2. Tentukan invers matriks di bawah ini, jika memang ada.
a.
b.
c.
3. Tentukan invers matriks di bawah ini, jika memang ada.
a.
b.
c.
4. Tentukan invers matriks di bawah ini, jika memang ada.
a.
b.
5. Tentukan invers matriks di bawah ini, jika memang ada.
c.
a.
b.
6. Tentukan invers matriks diagonal di bawah ini.
7. Tunjukkan bahwa jika
matriks diagonal, maka
adalah matriks diagonal yang
entri-entri pada diagonal utama adalah invers dari entri-entri pada diagonal utama
matriks .
1. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN
INVERS MATRIKS
Jika sistem persamaan linear
Dengan matriks koefisien berbentuk bujur sangkar dan mempunyai invers, maka
sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu
Akibatnya, jika
linear homogen,
matriks bujursangkar dan mempunyai invers, sistem persamaan
hanya mempunyai penyelesaian trivial saja.
Jika diberikan beberapa sistem persamaan linear, dengan matriks koefisien
bujursangkar, seperti
Dan jika diketahui bahwa
mempunyai invers maka penyelesaian serangkaian
sistem persamaan linear yang demikian ini menjadi mudah dan cukup sedikir
perhitungan yang diperlukan yaitu cukup dengan mencari invers dan kemudian
melakukan operasi perkalian matriks yaitu
Dengan pengalaman ini kita dapat memperbesar matriks lengkap kita untuk
beberapa sistem persamaan linear untuk kasus matriks koefisien sebarang yaitu
Contoh 3
Diberikan
dan diketahui:
.
Tentukan:
a. Penyelesaian SPL-SPL tersebut dengan cara menentukan terlebuh dahulu
.
b. Penyelesaian SPL-SPL tersebut dengan menggunakan matriks lengkap yang
diperbesar.
Penyelesaian:
a.
, sehingga penyelesaian SPL tersebut
,
b.
Jadi,
dan
SOAL-SOAL
1. Tentukan penyelesaian SPL-SPL di bawah ini dengan menggunakan metode
perkalian dengan invers matriks koefisiennya.
Jika:
a.
c.
b.
d.
2. Tentukan penyelesaian SPL-SPL di bawah ini dengan menggunakan metode
perkalian dengan invers matriks koefisiennya.
Jika:
a.
c.
b.
d.
3. Tentukan penyelesaian SPL-SPL pada soal 1 dengan menggunakan matriks
lengkap yang diperbesar.
4. Tentukan penyelesaian SPL-SPL pada Soal 2 dengan menggunakan matriks
lengkap yang diperbesar.
5. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear di bawah ini, dengan
menggunakan matriks lengkap yang diperbesar.
Jika:
. {Soal
ini meminta anda untuk mencari invers matriks koefisien dari sistem persamaan
linear.}
SOAL-SOAL TAMBAHAN
6. Selesaikanlah persamaan matriks di bawah ini,
a.
b.
c.
d.
e.
7. Tunjukkan
syarat
yang
berlaku
atas
matriks
dan
sehingga
, dengan catatan kedua matriks tersebut bujur sangkar.
8. Jika diberikan matriks
seperti di bawah ini, tentukan syarat
tersebut mempunyai invers, dan tentukan pula syarat untuk
tersebut tidak mempunyai invers.
a.
b.
9. Jika invers
seperti di bawah ini
Tentukan matriks .
10. Tunjukkan bahwa
jika dan hanya jika
.
sehingga matriks
sehingga matriks