statistika – sebaran data

MK. STATISTIKA
PEMUSATAN &
SEBARAN DATA
Smno.statistika.agroekotek.fpub.2013
DISTRIBUSI
Distribusi frekuensi adalah pengelompokkna
data ke dalam beberapa kelompok (kelas) dan
kemudian dihitung banyaknya data yang
masuk kedalam tiap kelas.
Statistical distribution - (statistics) an
arrangement of values of a variable showing
their observed or theoretical frequency of
occurrence.
Diunduh dari: http://www.thefreedictionary.com/statistical+distribution …… 12/9/2012
Distribusi Frekuensi Tunggal
Data tunggal seringkali
dinyatakan dalam bentuk
daftar bilangan, namun
kadangkala dinyatakan
dalam bentuk tabel
distribusi frekuensi.
Tabel distribusi frekuensi
tunggal merupakan cara
untuk menyusun data
yang relatif sedikit.
Perhatikan contoh data
berikut.
5, 4, 6, 7, 8, 8, 6, 4, 8, 6, 4,
6, 6, 7, 5, 5, 3, 4, 6, 6
8, 7, 8, 7, 5, 4, 9, 10, 5, 6,
7, 6, 4, 5, 7, 7, 4, 8, 7, 6
Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012
Distribusi Frekuensi Ber-kelas
Tabel distribusi frekuensi bergolong biasa digunakan untuk menyusun
data yang memiliki kuantitas yang besar dengan mengelompokkan ke
dalam interval-interval kelas yang sama panjang.
Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika dari
40 siswa kelas XI berikut ini.
66 75 74 72 79 78 75 75 79 71
75 76 74 73 71 72 74 74 71 70
74 77 73 73 70 74 72 72 80 70
73 67 72 72 75 74 74 68 69 80
Apabila data di atas dibuat dengan menggunakan tabel distribusi
frekuensi tunggal, maka penyelesaiannya akan panjang sekali.
Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012
Distribusi Frekuensi Ber-kelas
Oleh karena itu dibuat tabel distribusi frekuensi ber-kelas
dengan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang
sama panjang, misalnya 65 – 67, 68 – 70, … , 80 – 82. Data
66 masuk dalam kelompok 65 – 67.
2. Membuat turus (tally), untuk menentukan sebuah nilai
termasuk ke dalam kelas yang mana.
3. Menghitung banyaknya turus pada setiap kelas, kemudian
menuliskan banyaknya turus pada setiap kelas sebagai
frekuensi data kelas tersebut. Tulis dalam kolom
frekuensi.
4. Ketiga langkah di atas direpresentasikan pada tabel
berikut ini.
Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012
Distribusi Frekuensi Ber-kelas
Interval Kelas:
Setiap kelompok disebut
interval kelas atau sering
disebut interval atau
kelas.
65 – 67 → Interval kelas
68 – 70 → Interval kelas
71 – 73 → Interval kelas
74 – 76 → Interval kelas
77 – 79 → Interval kelas
80 – 82 → Interval kelas
pertama
ke dua
ke tiga
ke empat
ke lima
ke enam
Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012
b. Batas Kelas
Berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74,
77, dan 80 merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan
angka 67, 70, 73, 76, 79, dan 82 merupakan batas atas dari tiap-tiap
kelas.
c. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)
Untuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini.
Tepi bawah = batas bawah – 0,5
Tepi atas = batas atas + 0,5
Dari tabel di atas maka tepi bawah kelas pertama 64,5 dan tepi
atasnya 67,5, tepi bawah kelas kedua 67,5 dan tepi atasnya 70,5 dan
seterusnya.
d. Lebar kelas
Untuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus:
Lebar kelas = tepi atas – tepi bawah
Jadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 – 64,5 = 3.
Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012
e. Titik Tengah
Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012
Distribusi Frekuensi Kumulatif
Distribusi kumulatif ada dua macam:
a. Distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).
b. Distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).
Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 12/9/2012
HISTOGRAM
Tanaman
berbunga
Dari suatu data yang
diperoleh dapat
disusun tabel
distribusi frekuensi
dan disajikan dalam
bentuk histogram.
Histogram dapat
disajikan dari
distribusi frekuensi
tunggal maupun
distribusi frekuensi
bergolong.
Data banyaknya
tanaman yang
berbunga dalam 8
hari berurutan
sebagai berikut.
Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012
Distribusi Frekuensi Waktu Tunggu
Dari hasil penelurusan alumni, diketahui bahwa rata-rata waktu tunggu alumni kurang
dari 5 bulan untuk mendapatkan pekerjaan pertamanya, bahkan ada alumni yang
bekerja setelah 2 hari dinyatakan lulus dengan gelar sarjana statistika.
Secara umum terlihat mayoritas alumni waktu tunggunya berkisar antara 1 sampai
dengan 6 bulan.
Waktu Tunggu
Persentase
Valid (%)
< 1 Bulan
3.57
1 - 6 Bulan
73.81
7 - 12 Bulan
19.05
13 - 18 Bulan
1.19
19 -24 Bulan
2.38
Total
100.0
Diunduh dari: http://statistika.fmipa.unpad.ac.id/html/index.php?id=profil&kode=102&profil=Waktu%20Tunggu…… 19/9/2012
Contoh Mawar angin (wind rose)
Sumber: sumber gambar : http://alternativeenergyatunc.wordpress.com
Fitting the Distribution
Kalau kita akan membuat distribusi suatu data mentah,
maka ada empat pertanyaan yang harus dijawab:
1. The first relates to whether the data can take on only discrete values
or whether the data is continuous; whether a new pharmaceutical
drug gets FDA approval or not is a discrete value but the revenues
from the drug represent a continuous variable.
2. The second looks at the symmetry of the data and if there is
asymmetry, which direction it lies in; in other words, are positive and
negative outliers equally likely or is one more likely than the other.
3. The third question is whether there are upper or lower limits on the
data; there are some data items like revenues that cannot be lower
than zero whereas there are others like operating margins that
cannot exceed a value (100%).
4. Dalam beberapa data, nilai ekstrim jarang terjadi; dan dalam data
lainnya nilai ekstrim sering terjadi.
Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012
STATISTICAL DISTRIBUTIONS
DISTRIBUSI BINOMIAL
Distribusi Binomial mengukur peluang terjadinya sejumlah
tertentu “sukses” dalam suatu trial tertentu , dimana
kejadian “sukses” mempunyai peluang tertentu.
In the simplest scenario of a coin toss (with a fair coin),
where the probability of getting a head with each toss is
0.50 and there are a hundred trials, the binomial
distribution will measure the likelihood of getting anywhere
from no heads in a hundred tosses (very unlikely) to 50
heads (the most likely) to 100 heads (also very unlikely).
Gambar berikut menyajikan distribusi binomial untuk tiga
skenario, dua skenario dengan peluang “sukses” 50% dan
satu skenario dengan peluang “sukses” 70% , dan ukuran
percobaan (trial)nya berbeda.
Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012
DISTRIBUSI BINOMIAL
Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012
STATISTICAL DISTRIBUTIONS
Distribusi Poisson
Distribusi Poisson mengukur
“likelihood” sejumlah
kejadian yang terjadi di dalam
selang waktu tertentu, dimana
parameter kunci yang
diperlukan adalah rata-rata
banyaknya kejadian dalam
interval tertnetu (l).
Distribusi yang dihasilkan
mirip dengan Binomial,
dengan “skewness” positif
tetapi menurun dengan l.
Gambar menyajikan distribusi
Poisson dengan l berkisar
dari 1 hingga 10.
Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012
STATISTICAL DISTRIBUTIONS
Distribusi
Geometrik
Dalam distribusi ini
yang diukur adalah
“likelihood” terjadinya
“sukses” yang
pertama.
Misalnya, dengan percobaan lempar “coin” yang adil, ada kesempatan
50% “sukses” pertama akan terjadi pada percobaan pertama, kesempatan
25% yang akan terkjadi pada percobaan ke dua, dan kesempatan 12.5%
akan terkadi pada p[ercobaan ke tiga.
Distribusi yang dihasilkan “positively skewed” dan mengikuti tiga
skenario peluang yang berbeda.
Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012
Macam-macam Distribusi
Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012
DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi Normal adalah
model distribusi kontinyu
yang paling penting dalam
teori probabilitas.
Distribusi Normal
diterapkan dalam berbagai
permasalahan. Distribusi
normal memiliki kurva
berbentuk lonceng yang
simetris.
Dua parameter yang
menentukan distribusi
normal adalah rataan /
ekspektasi (μ) dan standar
deviasi (σ).
Fungsi kerapatan
probabilitas dari distribusi
normal :
Grafik fungsi probabilitas distribusi normal
Diunduh dari: aswinsuharsono.lecture.ub.ac.id/files/2011/.../Distribusi-Normal2.doc …….. 19/9/2012
Distribusi Normal
Distribusi peluang yang penting
dalam statistika adalah Distribusi
Normal atau Gaussian.
Jenis Peubah Acak Kontinyu
digunakan untuk mengkaji fenomena
alam, industri, perdagangan,
pendapatan rumahtangga, dll.
DISTRIBUSI NORMAL
Fungsi kerapatan peluang peubah acak X dengan
rataan μ dan ragam σ2 yang memiliki distribusi
normal adalah:
1
n( x;  ,  ) 
e
2 

1
2
2
(
x


)
2
Peluang dinyatakan sebagai P (a < X < b)
n(x)
0.3
0.25
0.2
0.15
σ
0.1
0.05
0
-6
-4
-2
0μ
x
2
4
6
Sifat Distribusi Normal:
Peubah acak yang mempunyai distribusi
normal :
 pengukuran dalam meteorologi
 pengukuran curah hujan
Dll.
Sifat-Sifat Distribusi Normal:
Mean
Varians
Deviasi Standar
Koefisien momen kemiringan
Koefisien momen kurtois
Deviasi mean
µ
Sifat-Sifat Distribusi Normal:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Rata-rata (mean) = μ, dan simpangan baku = σ
Mode (maximum) terjadi di x = μ
Bentuknya simetrik thd x = μ
Titik belok tepat di x = μ ± σ
Kurva mendekati nol secara asimptotis
semakin x jauh dari x = μ
Total luasnya = 1
Sifat-Sifat Distribusi Normal:
Bentuk kurva distribusi normal ditentukan oleh μ dan σ.
2
1
2
μ1 = μ2 σ1 > σ2
1
μ1 < μ2 σ1 = σ2
2
1
μ1 < μ2 σ1 < σ2
CIRI DISTRIBUSI NORMAL
1. NILAI MEAN, MEDIAN DAN MODUS
adalah SAMA / BERHIMPIT.
2. Bentuk KURVANYA SIMETRIS
3. ASIMPTOTIK (fungsi yang dibatasi oleh
suatu fungsi n N yang cukup besar).
4. LUAS DAERAH YANG TERLETAK DI
BAWAH KURVA dan DI ATAS GARIS
sumbu mendatar = 1
KELUARGA DISTRIBUSI NORMAL
SEMAKIN BESAR NILAI  , MAKA KURVA
AKAN SEMAKIN LANDAI,
SEMAKIN KECIL NILAI  MAKA KURVA
AKAN SEMAKIN MELANCIP
Luas daerah di Bawah Kurva dan Peluang
P(x1< x <x2) = probabilitas variabel random x memiliki
nilai antara x1 dan x2
P(x1< x <x2) = luas di bawah kurva normal antara x=x1
dan x=x2
x1
μ
x2
Luas daerah di Bawah Kurva dan
Probabilitas
Perhitungan integral normal sulit
dilakukan, sehingga disusun tabel nilai
kerapatan peluang.
Akan tetapi karena nilai kerapatan peluang
tergantung pada nilai μ dan σ, senhingga
sangat tidak mungkin mentabelkan untuk
semua nilai μ dan σ
Kurva Distribusi Normal Baku
Distribusi normal baku adalah distribusi normal dengan nilai
rataan μ=0 dan simpangan baku σ =1.
Transformasi
z
x
mengkoversi distribusi normal

menjadi distribusi normal baku, sebab distribusi normal
dengan variabel z ini memiliki rataan =0 dan simpangan baku =
1.
Kurva DIstribusi Normal Standard
Transformasi ini juga mempertahankan luas daerah di
bawah kurvanya, artinya:
Luas dibawah kurva
distribusi normal
antara x1 dan x2
=
Luas dibawah kurva
distribusi normal
standard antara z1
dan z2
Dengan z1 = (x1-μ)/σ dan z2 = (x2-μ)/σ.
Sehingga cukup dibuat tabel distribusi normal baku
kumulatif saja!
TRANSFORMASI NILAI X MENJADI Z
Diunduh dari: http://ningsetyamat.files.wordpress.com/2011/04/topics-3.pdf…… 19/9/2012
TRANSFORMASI NILAI X MENJADI Z
Diunduh dari: http://ningsetyamat.files.wordpress.com/2011/04/topics-3.pdf…… 19/9/2012
Diunduh dari: http://www.six-sigma-material.com/Normal-Distribution.html…… 19/9/2012
Diunduh dari: http://ningsetyamat.files.wordpress.com/2011/04/topics-3.pdf…… 19/9/2012
Contoh :
Diketahui data dengan distribusi normal, nilai rataan m =
55 dan simpangan baku = 15
Diunduh dari: http://ningsetyamat.files.wordpress.com/2011/04/topics-3.pdf…… 19/9/2012
Diunduh dari: http://ningsetyamat.files.wordpress.com/2011/04/topics-3.pdf…… 19/9/2012
Hubungan antara Distribusi Binomial dan
Distribusi Normal
Jika N cukup besar dan jika tak satu pun dari p atau q
yang mendekati nol maka distribusi binomial dapat
didekati dengan sebuah distribusi normal dengan
variabel baku :
x  Np
z
Npq
Pendekatan ini semakin baik kalau nilai N semakin
besar. Dalam praktiknya, pendekatannya sangat bagus
jika Np dan Nq kedua-duanya lebih besar dari 5.
Contoh: Menghitung Luas daerah di bawah garis kurva
distribusi normal
Gunakan tabel distribusi normal standard untuk
menghitung luas daerah :
a) Di sebelah kanan z = 1.84
b) Antara z = -1.97 s/d z = 0.86
Jawab.
Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi
normal kumulatif adalah luas dari z=-∞ s/d z0 tertentu:
P(z<z0).
a) P(z>1.84) = 1 – P(z≤1.84) = 1 -0.9671 = 0.0329
b) P(-1.97 <z<0.86) = P(z<0.86) – P(z<-1.97)
= 0.8051 – 0.0244
= 0.7807
Contoh: Mencari Nilai Z
Carilah nilai Z=k pada tabel distribusi normal standard
sehingga
a) P(Z>k) = 0.3015
b) P(k<Z<-0.18) =0.4197
Jawab:
a) P(Z>k) = 0.3015 berarti P(Z<k) = 1- P(z>k) = 1 –
0.3015 = 0.6985
Dari tabel terbaca luas ke kiri = 0.6985 adalah untuk Z =
0.52.
b) P(k<Z<-0.18) = P(Z<-0.18) – P(Z<k) = 0.4197
= 0.4286 – P(Z<k) = 0.4197
Jadi P(Z<k) = 0.4286- 0.4197 = 0.0089
Dari tabel Z = -2.37
Contoh: Luas di bawah kurva distribusi normal
yang tidak baku (non standard)
Contoh.
Variaber X tersebar normal dengan rataan 50 dan simpangan baku
= 10. Carilah peluang untuk menemukan X = 45 - 62?
Jawab.
Dalam soal ini μ = 50 dan σ=10. x1 = 45 dan x2 =62
Pertama-tama kita konversi X menjadi Z (melakukan normalisasi
atau standardisasi):
z1 = (x1 -μ)/σ  z1 = (45-50)/10 = -0.5
z2 = (x2 -μ)/σ  z2 = (62-50)/10 = 1.2
Sehingga:
P(45 <X< 62) = P(-0.5< Z <1.2)
P(-0.5<Z<1.2) = P(Z<1.2) – P(Z<-0.5) = 0.8849-0.3085 = 0.5764
Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan
Diketahui luas daerah di bawah kurva distribusi normal yang
diinginkan yang terkait dengan besarnya peluang, ingin dicari
nilai peubah acak X yang terkait.
Contoh.
Misalkan distribusi normal memiliki μ=40 σ=6, carilah nilai x0
sehingga:
a) P(x<x0) = 45%
b) P(x>x0)=14%
Jawab.
a) Kita mulai dengan mencari nilai Z yang sama luasnya.
P(z<z0) = 45% = 0.45  dari tabel z0 = -0.13
z0 = (x0-μ)/σ  x0 = μ + σz0 = 40 +6*(-0.13) = 39.22
Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan
Jawab.
b) Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.
P(z>z0) = 14%  P(z<z0) = 1- P(z>z0) = 1-0.14 = 0.86
P(z<z0) = 0.86  dari tabel z0 = 1.08
z0 = (x0-μ)/σ  x0 = μ + σz0 = 40 +6*(1.08) = 46.48
Soal:
1) Dalam suatu ujian akhir Matematika, mean nilai
adalah 72 sementara deviasi standarnya adalah 15.
tentukan angka-angka standar (yaitu nilai-nilai
dalam satuan deviasi standar) dari siswa-siswa
yang memperoleh nilai (a) 60
(b) 93
(c) 72
2) Sebuah koin yang seimbang dilemparkan sebanyak
500 kali. Carilah probabilitas bahwa selisih
banyaknya kemunculan tanda gambar dengan 250
kali adalah
(a) tidak lebih dari 10
(b) tidak lebih dari 30
Soal
3)
4)
Diameter ball-bearing yg diproduksi sebuah pabrik memiliki
mean 3cm dengan standard deviasi 0.005 cm. Pembeli hanya
mau menerima jikalau ball bearingnya memiliki diameter
3.0±0.01cm.
a) berapakah persenkah dari produksi pabrik tersebut yg tidak
bisa diterima pembeli?
b) jikalau dalam sebulan pabrik tsb memproduksi 10000 ballbearing, berapa banyak yg harus dibuang tiap bulan karena
ditolak pembeli?
Sebuah pengukur diameter bola besi dipasang secara otomatis
dalam sebuah pabrik. Pengukur tsb hanya akan meloloskan
diameter bola 1.50±d cm. Diketahui bahwa bola produksi pabrik
tersebut memiliki diameter yg terdistribusi normal dengan ratarata 1.50 dan standard deviasi 0.2 cm. Jikalau diinginkan bahwa
95% produksinya lolos seleksi berapakah nilai d harus
ditetapkan?
Soal
5)
Rata-rata nilai kuliah statistik diketahui 65 dengan
standard deviasi 15. a) Jikalau diinginkan 15%
murid mendapat nilai A dan diketahui distribusi
nilai normal, berapakah batas bawah nilai agar
mendapat A? (b) Selanjutanya diinginkan yg
mendapat B adalah sebanyak 25%. Berapakah
batas bawah B? (c) Seandainya diinginkan yg
tidak lulus paling banyak 25%, berapakah batas
bawah agar siswa lulus?
Diunduh dari: …… 12/9/2012
Diunduh dari: …… 12/9/2012
TENDENSI SENTRAL
Tendensi sentral mencerminkan nilai
"middle" atau nilai tipikal dari data,
dan diukur dengan menggunakan
mean, median, atau mode.
Masing-masing ukuran ini dihitung
dengan cara yang berbeda, dan cara
yang terbaik tergantung situasi.
Diunduh dari: http://www.quickmba.com/stats/centralten/ …… 12/9/2012
Kapan menggunakan Mean, Median, dan Mode
Berikut ini adalah metode-metode yang sesuai untuk menentukan
nilai “middle atau typical” dari seperanghkat data berdasarkan
sekala pengukuran data.
Sekala Pengukuran
Ukuran terbaik untuk
"Middle"
Nominal
(Categorical)
Mode
Ordinal
Median
Interval
Symmetrical data: Mean
Skewed data: Median
Ratio
Symmetrical data: Mean
Skewed data: Median
Diunduh dari: http://www.quickmba.com/stats/centralten/ …… 12/9/2012
PEMUSATAN
Ukuran pemusatan data merupakan nilai
tunggal yang mewakili semua data, nilai
tersebut menunjukkan pusat data.
Ukuran pemusatan data:
1. Rata-rata hitung
2. Median
3. Modus
4. Rata-rata ukur
5. Rata-rata harmonis
Diunduh dari: …… 12/9/2012
Mean, median, and mode for a
symmetric histogram and frequency
distribution curve.
Mean, median, and mode for a histogram
and frequency distribution curve skewed to
the right.
Mean, median, and mode for a histogram
and frequency distribution curve skewed to
the left.
RATAAN HITUNG
Rumus :
Jumlah semua nilai data
Rataan hitung 
Banyaknya nilai data
1. Untuk data yang berulang
X
X1  X 2  ...  X n
X

n
n
2. Untuk data yang berulang dengan frekuensi tertentu
f1X1  f 2 X 2  ...  f n X n
fX
X

f1  f 2  ...  f n
f
RATAAN HITUNG
1. Dalam Tabel Distribusi Frekuensi
Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
Frekuensi
fX
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
45
112
164
432
804
1840
558
Σf = 60
ΣfX = 3955
fX 3955
X

 65,92
f
60
RATAAN HITUNG
2. Dengan Memakai Kode (U)
Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
U
Frekuensi
fU
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
-3
-2
-1
0
1
2
3
3
4
4
8
12
23
6
-9
-8
-4
0
12
46
18
Σf = 60
ΣfU = 55
 fU 
 55 
X  X0  c 
  54  13 
  65,92
 f 
 60 
RATAAN HITUNG
3. Dengan pembobotan
Masing-masing data diberi bobot.
Misal A memperoleh nilai 65 untuk tugas, 76
untuk mid dan 70 untuk ujian akhir.
Bila nilai tugas diberi bobot 2, Mid 3 dan Ujian
Akhir 4, maka rata-rata hitungnya adalah :
(2)65  (3)76  (4)70
X
 70,89
23 4
MEDIAN
Untuk data berkelompok
n

 -F

Med  L 0  c  2
 f 




L 0  batas bawah kelas median
F  jumlah frekuensi semua kelas sebelum
kelas yang mengandung median
f  frekuensi kelas median
MEDIAN
Contoh :
Interval
Kelas
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60
Letak median ada pada data
ke 30, yaitu pada interval 6173, sehingga :
L0 = 60,5
F = 19
f = 12
 60

- 19 

  72,42
Med  60,5  13  2
 12 




MODE = MODUS
Untuk data berkelompok
 b1 

Mod  L 0  c 
 b1  b 2 
L 0  batas bawah kelas modus
b1  selisih antara frekuensi kelas modus dengan
frekuensi tepat satu kelas sebelum kelas modus
b 2  selisih antara frekuensi kelas modus dengan
frekuensi tepat satu kelas sesudah kelas modus
MODE = MODUS
Contoh :
Interval
Kelas
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60
Data yang paling sering
muncul adalah pada interval
74-86, sehingga :
L0 = 73,5
b1 = 23-12 = 11
b2 = 23-6 =17
 11 
Mod  73,5  13 
  78,61
 11  17 
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA
HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS
Ada 3 MACAM kurva distribusi data :
1) Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva
mendekati simetri.
2) Jika Mod<Med<rata-rata hitung, maka kurva
miring ke kanan.
3) Jika rata-rata hitung<Med<Mod, maka kurva
miring ke kiri.
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA
HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS
Jika distribusi data tidak simetri,
maka hubungannya :
Rataan hitung - Modus = 3 (Rata-rata hitungMedian)

X - Mod  3 X  Med

RATAAN UKUR
Digunakan apabila nilai data satu dengan yang lain
berkelipatan.
n
G  X1.X2 ....X n
Untuk data tidak berkelompok
  log X 
G  antilog 

 n 
Untuk data berkelompok
  f log X 
G  antilog 

 f

RATAAN UKUR
Contoh :
Interval
Kelas
Nilai Tengah
(X)
Frekuensi
log X
f log X
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
1,18
1,45
1,61
1,73
1,83
1,90
1,97
3,54
5,8
6,44
13,84
21,96
43,7
11,82
Σf = 60,1
 107

G  antilog 
  60,95
 60 
Σf log X = 107,1
RATAAN HARMONIS
Biasanya digunakan apabila data dalam bentuk
pecahan atau desimal.
Untuk data tidak berkelompok RH  n
1
 
X
Untuk data berkelompok
f
RH 
f 
 
X
RATAAN HARMONIS
Contoh :
Interval
Kelas
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
Nilai Tengah Frekuensi
(X)
15
28
41
54
67
80
93
60
RH 
 53,52
1,121
f/X
3
4
4
8
12
23
6
0,2
0,143
0,098
0,148
0,179
0,288
0,065
Σf = 60
Σf / X = 1,121
KUARTIL, DESIL, PERSENTIL
1. Kuartil
Kelompok data yang sudah
diurutkan (membesar atau
mengecil) dibagi empat bagian yang
sama besar.
Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama
(Q1) atau kuartil bawah, kuartil
kedua (Q2) atau kuartil tengah, dan
kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas.
KUARTIL
Untuk data tidak berkelompok
Qi  nilai ke -
in  1
, i  1,2,3
4
Untuk data berkelompok
 in

F


 , i  1,2,3
Qi  L 0  c 4
 f 




L0 = batas bawah kelas kuartil
F = jumlah frekuensi semua
kelas sebelum kelas kuartil Qi
f = frekuensi kelas kuartil Qi
KUARTIL
Contoh :
Interval
Kelas
Nilai
Tengah
(X)
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60
Q1 membagi data menjadi 25 %
Q2 membagi data menjadi 50 %
Q3 membagi data menjadi 75 %
Sehingga :
Q1 terletak pada 48-60
Q2 terletak pada 61-73
Q3 terletak pada 74-86
KUARTIL
Untuk Q1, maka :
 1.60

- 11 

  54
Q1  47,5  13 4
8






Untuk Q2, maka :
 2.60

- 19 

  72,42
Q 2  60,5  13 4
 12 




Untuk Q3, maka :
 3.60

31


4
  81,41
Q3  73,5  13
 23 




DESIL
2. Desil
Kelompok data yang sudah
diurutkan (membesar
atau mengecil) dibagi
sepuluh bagian yang
sama besar.
DESIL
Untuk data tidak berkelompok
Di  nilai ke -
in  1
, i  1,2,3,...,9
10
Untuk data berkelompok
L0 = batas bawah kelas desil Di
 in

F = jumlah frekuensi semua
F


kelas sebelum kelas desil Di
Di  L 0  c 10  , i  1,2,3,...,9
f = frekuensi kelas desil Di
 f 




DESIL
Contoh :
Interval
Kelas
Nilai
Tengah
(X)
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60
D3 membagi data 30%
D7 membagi data 70%
Sehingga :
D3 berada pada 48-60
D7 berada pada 74-86
DESIL
 3.60

- 11 

  58,875
D3  47,5  13 10
8






 7.60

31


  79,72
D 7  73,5  13 10
 23 




KUARTIL, DESIL, PERSENTIL
3. Persentil
Untuk data tidak berkelompok
in  1
Pi  nilai ke , i  1,2,3,...,99
100
Untuk data berkelompok
 in

F


100
 , i  1,2,3,...,99
Pi  L 0  c
f






DISPERSI = SEBARAN
Dalam statistika, dispersi statistik (juga disebut
keragaman statistik atau variasi) merupakan
variabilitas atau sebaran suatu peubah atau
suatu distribusi peluang.
Contoh ukuran dispersi statistik adalah ragam
(variance), simpangan baku (standard
deviation) dan kisaran inter-quartil.
Dispersion is contrasted with location or central
tendency, and together they are the most used
properties of distributions.
Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion …… 12/9/2012
UKURAN SEBARAN
Ukuran dispersi statistik merupakan bilangan riil non-negatif,
sehingga nilainya nol kialau semua data sama dan nilainya
meningkat kalau datanya mernjadi lebih beragam.
Most measures of dispersion have the same scale as the quantity
being measured. In other words, if the measurements have units
such as metres or seconds, the measure of dispersion has the
same units.
Ukuran dispersi meliputi:
Standard deviation = Simpangan Baku
Interquartile range or Interdecile range
Range = Kisaran = Jangkauan
Mean difference = Rataan
Median absolute deviation
Rataan simpangan absolut (atau simpangan rata-rata)
Jarak simpangan baku
Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion …… 12/9/2012
UKURAN SEBARAN
Ukuran lain dari “dispersion” tidak berdimensi (bebas sekala).
Dengan kata lain, ukuran dispersi itu tidak mempunyai satuan,
meskipun peubahnya mempunyai satuan.
Ukuran dispersi ini meliputi:
Coefficient of variation = Koefisien Keragaman
Quartile coefficient of dispersion = Quartil
Relative mean difference, equal to twice the Gini coefficient
Ukuran dispersi yang lainnya :
RAGAM (kuadrat simpangan baku) — lokasinya tidak beragam
tetapi sekala tidak linear.
Variance-to-mean ratio — mostly used for count data when the
term coefficient of dispersion is used and when this ratio is
dimensionless, as count data are themselves dimensionless:
otherwise this is not scale-free.
Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion …… 12/9/2012
SUMBER SEBARAN
Dalam ilmu-ilmu biologis, kuantitas yang diukur
biasanya tidak stabil, dan variasi yang terjadi dapat
bersifat intrinsic pada fenomenanya:
It may be due to inter-individual variability, that is,
distinct members of a population differing from each
other.
Also, it may be due to intra-individual variability, that
is, one and the same subject differing in tests taken at
different times or in other differing conditions.
Tipe-tipe variabilitas seperti itu juga tampak di arena
produk-produk manufaktur; bahkan para sarjana
“meticulous” juga menemukan adanya variasi.
Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion …… 12/9/2012
SEBARAN DATA
Ukuran penyebaran data adalah
suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai
data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya
atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan
nilai pusatnya.
1. Jangkauan ( Range )
Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum
yang terdapat dalam data.
Jangkauan dapat dihitung dengan rumus:
R = X maks – X min
Contoh :
Tentukan range dari data : 10, 6, 8, 2, 4
Jawab :
R = Xmaks – Xmin = 10 – 2 = 8
Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012
SEBARAN DATA
2. Simpangan Rata-rata
Simpangan rata-rata dari sekumpulan bilangan adalah:
nilai rata-rata hitung harga mutlak simpangan-simpangannya.
a. Data tunggal
SR =
 xx
n
Contoh :
Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa adalah : 7,
5, 6, 3, 8, 7.
Tentukan simpangan rata-ratanya!
Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012
SEBARAN DATA
b. Data berbobot / data kelompok
SR =
f x x
f
x = data ke-i (data berbobot )
= titik tengah kelas interval ke-i (data kelompok )
f = frekuensi
Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012
SEBARAN DATA
3.Simpangan Baku / standar deviasi
Simpangan Baku (S) dari sekumpulan bilangan adalah akar dari
jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan
banyaknya bilangan atau akar dari rata-rata deviasi kuadrat.
a. Data Tunggal
 x  x 
2
S =
S =
atau
i
n
x
 x 


n
n


2
2
In statistics, standard deviation
(represented by the symbol
sigma, σ) shows how much
variation or "dispersion" exists
from the average (mean, or
expected value).
A low standard deviation
indicates that the data points
tend to be very close to the mean,
whereas high standard deviation
indicates that the data points are
spread out over a large range of
values.
Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012
SEBARAN DATA
Contoh :
Tentukan simpangan baku dari data :
2, 3, 5, 8, 7.
x
Jawab :
x=
2358 7
5
=5
S =
2


x

x
 i
n
=
=
26
5
x  x  x  x 
2
2
-3
9
3
-2
4
5
0
0
8
3
9
7
2
4
26
5,2
Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012
SEBARAN DATA
b. Data berbobot / berkelompok
S =
 f x  x 
f
S =
 fx
f
2
2
  f.x 


  f 
atau
2
Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012
Aturan Distribusi Normal
Teori “central limit” menyatakan bahwa distribusi ratarata peubah acak independent yang terdistribusi secara
identik cenderung ke arah distribusi normal berbentul
lonceng, dengan fungsi kerapatan peluang :
where μ is the expected value of the random variables, σ equals their
distribution's standard deviation divided by n1/2, and n is the number
of random variables. The standard deviation therefore is simply a
scaling variable that adjusts how broad the curve will be, though it
also appears in the normalizing constant.
Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation…… 12/9/2012
Aturan Distribusi Normal
Zone biru tua kurang dari
satu SD dari nilai rataan.
For the normal
distribution, this accounts
for 68.27 percent of the
set; while two standard
deviations from the mean
(medium and dark blue)
account for 95.45 percent;
three standard deviations
(light, medium, and dark
blue) account for 99.73
percent; and four standard
deviations account for
99.994 percent.
Dua titik pada kurva yang
satu SD dari rata-rata ,
juga merupakan titik-titik
belok.
Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation…… 12/9/2012
Aturan Distribusi normal
Diunduh dari: http://www.six-sigma-material.com/Normal-Distribution.html…… 19/9/2012
SEBARAN DATA
4.Kuartil
Kuartil adalah nilai yang membagi kelompok data atas empat bagian
yang sama setelah bilangan-bilangan itu diurutkan.
Dengan garis bilangan letak kuartil dapat ditunjukkan sebagai berikut:
Q1
Q2
Q3
Menentukan nilai Kuartil
a. Data tunggal
Letak Qi = data ke
i (n  1)
4
dengan i = 1, 2, 3
dan n = banyaknya data
Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012
SEBARAN DATA
Contoh :
Hasil pendataan usia, dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui
sebagai berikut : 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2,1, 3, 3, 4 , tentukan :
a. Kuartil bawah (Q1)
b. Kuartil tengah (Q2)
c. Kuartil atas (Q3)
Jawab :
Data diurutkan : 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4
a. Letak Q1 = data ke –
1(12  1)
4
= data ke- 3 ¼
Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012
SEBARAN DATA
Nilai Q1 = data ke-3 + ¼ (data ke4 – data ke3)
= 1 + ¼ (2 – 1) = 1¼
b. Letak Q2 = data ke
2(12  1)
4
= data ke 6½
Nilai Q2 = data ke 6 + ½ (data ke7 – data ke6)
= 3 + ½ (3 – 3) = 3
Diunduh dari:
Hal.: 94
STATISTIK
iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012
SEBARAN DATA
c. Letak Q3 = data ke
= data ke 9 ¾
Nilai Q3 = data ke 9 + ¾ (data ke10 - data ke 9)
= 4 + ¾ (4 – 4) = 4
Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012
SEBARAN DATA
Jangkauan Semi Inter Kuartil /Simpangan Kuartil (Qd)
didefinisikan sebagai berikut:
Qd = ½ (Q3 – Q1)
b. Data Kelompok
 i.n


F
 4

Nilai Qi = b + p  f 




dengan i = 1, 2, 3
b = tepi bawah kelas Qi
p = panjang kelas
F = jumlah frekuensi sebelum kelas Qi
f = frekuensi kelas Qi
n = jumlah data
Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012
SEBARAN DATA
5. Persentil
Persentil dari sekumpulan bilangan adalah nilai yang membagi
kelompok bilangan tersebut atas 100 bagian yang sama banyaknya
setelah bilangan bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil
sampai yang terbesar.
a. Data tunggal / berbobot
i ( n  1)
100
dengan i = 1, 2, …, 99
Letak Pi = data ke
Contoh :
Diketahui data : 9, 3, 8, 4, 5, 6, 8, 7, 5, 7
Tentukan P20 dan P70
Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012
SEBARAN DATA
Jawab :
Data diurutkan : 3 ,4, 5, 5, 6, 7, 7 ,8, 8, 9
Letak P20 = data ke 20(10  1) = data ke 2
100
1
5
Nilai P20 = data ke 2 + 1 (data ke 3 – data ke2)
5
1
= 4 + (5 – 4)
5
1
=4
5
Diunduh dari: …… 12/9/2012
SEBARAN DATA
Letak P70 = data ke 70(10  1)
100
= data ke 7 7
10
Nilai P70
7
= data ke 7 +
(data ke 8 - data ke7)
10
7
=7+
(8–7)
10
7
=7
10
Diunduh dari: …… 12/9/2012
SEBARAN DATA
b. Data kelompok
 in

 100  F 
Nilai Pi = b + p 
 , dengan i = 1,2,..,99
f




Jangkauan Persentil = P90 – P10
Diunduh dari: …… 12/9/2012
STANDARD ERROR = SALAH BAKU
Salah baku merupakan simpangan baku dari distribusi sampling suatu
data.
Istilah ini juga digunakan untuk menyatakan suatu estimasi
simpangan baku, yang berasal dari sampel tertentu yang dipakai
untuk menghitung estimasi tersebut.
For example, the sample mean is the usual estimator of a
population mean. However, different samples drawn from
that same population would in general have different
values of the sample mean.
Salah baku rata-rata (yaitu menggunakan rataan sampel sebagai
metode untuk estimasi rataan populasi) merupakan simpangan baku
dari semua rata-rata sampel yang mungkin diambil dari populasi.
Salah baku rata-rata juga mencerminkan estimasi simpangan baku,
yang dihitung dari sampel data yang dianalisis pada waktu tertentu.
Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_error_%28statistics%29…… 12/9/2012
SALAH BAKU RATA-RATA
The standard error of the mean (SEM) is the standard deviation of the
sample-mean's estimate of a population mean. (It can also be viewed as
the standard deviation of the error in the sample mean relative to the true
mean, since the sample mean is an unbiased estimator.)
SEM is usually estimated by the sample estimate of the population
standard deviation (sample standard deviation) divided by the square root
of the sample size (assuming statistical independence of the values in the
sample):
Where:
s is the sample standard deviation (i.e., the
sample-based estimate of the standard
deviation of the population), and
n is the size (number of observations) of the
sample.
Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_error_%28statistics%29…… 12/9/2012
VARIANCE = RAGAM
Ragam merupakan parameter yang mencerminkan
bagian dari distribusi peluang aktual dari populasi
“angka” yang diamati, atau distribusi peluang
teoritis suatu sampel “angka’.
Sampel data dari distribusi dapat digunakan untuk
menghitung estimasi ragamnya:
Dalam hal yang paling sederhana, estimasi ini
dapat menjadi ragam sampel.
Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Variance …… 12/9/2012
KK = KOEFISIEN KERAGAMAN
6. Koefisien Variasi = Koefisienj Keragaman =KK
Koefisien variasi adalah perbandingan antara simpangan
baku dengan nilai rata-rata yang dinyatakan dengan
persentase.
Koefisien variasi berguna untuk melihat sebaran data dari
rata-rata hitungnya.
Besarnya Koefisien Keragaman dinyatakan dengan rumus,
KK =
S
x 100%
x
KK = koefisien keragaman
S = simpangan baku
x = rataan
Diunduh dari: …… 12/9/2012
SEBARAN DATA
Contoh 1:
Nilai rata-rata matematika Kelas III Mesin1 adalah 80 dengan
simpangan
standar 4,5. Jika nilai rata-rata Kelas III Mesin 2 adalah 70
dengan simpangan standar 5,2.
Hitunglah koefisien variasi masing-masing.
Jawab :
S
KV III Mesin 1 =
x
=
4,5
80
KV III Mesin 2 =
5,2
70
x 100%
x 100% = 5,6%
x 100% = 7,4%
Diunduh dari: …… 12/9/2012
SEBARAN DATA
Contoh 2 :
Standar deviasi sekelompok data adalah 1,5 sedang
koefisien variasinya adalah 12,5%. Mean kelompok
data tersebut adalah….
Jawab :
KV =
S x 100%
x
12,5% = 1,5 x 100%
x
x
150%
12,5=%
= 12
Diunduh dari: …… 12/9/2012
ANGKA BAKU
7. Angka Baku
Angka Baku digunakan untuk mengetahui kedudukan suatu
objek yang sedang diselidiki dibandingkan terhadap nilai
rata-rata kumpulan objek tersebut.
Angka Baku (nilai standar) dapat dihitung dengan menggunakan
rumus :
Z
x = nilai data
x = nilai rata-rata
s = standar deviasi
=
xx
s
Diunduh dari: …… 12/9/2012
ANGKA BAKU
Contoh 1:
Seorang siswa mendapat nilai matematika 70 dengan rata-rata 60
dan standar deviasi12, nilai Bahasa Inggris 80 dengan rata rata 75
dan simpangan bakunya 15, manakah kedudukan nilai yang
paling baik ?
Jawab :
Zm =
70  60
12
= 0,83
Zb = 80  75 = 0,33
15
Jadi kedudukan nilai matematika lebih baik dari pada nilai Bahasa
Inggris.
Diunduh dari: …… 12/9/2012
UKURAN KURTOSIS
Ukuran Keruncingan / Kurtosis
Kurtosis adalah derajat kelancipan suatu distribusi jika
dibandingkan dengan Distribusi normal
Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva
(koefisien kurtosis) dapat
Digunakan rumus :
KK =
Q3  Q1
2( P90  P10 )
Diunduh dari: …… 12/9/2012
UKURAN KURTOSIS
Keterangan :
Jika nilai KK > 3 kurva leptokurtis (puncaknya runcing sekali)
KK < 3 kurva platikurtis (puncaknya agak mendatar)
KK = 0 kurva mesokurtis (puncaknya tidak begitu runcing atau
distribusi normal)
Contoh :
Dari sekelompok data yang disusun dalam tabel distribusi
frekuensi diketahui nilai Q1 = 55,24 ; Q3 = 73,64 ; P10 = 44,5
;P90 = 82,5. Besarnya koefisien kurtosis kurva data tersebut
adalah….
Diunduh dari: …… 12/9/2012
UKURAN KURTOSIS
Jawab :
KK =
=
73,64  55,24
2(82,5  44,5)
18,4
2(38)
= 0,242
Karena KK < 3 maka kurva distribusi tersebut platikurtik.
Diunduh dari: …… 12/9/2012
RAGAM = VARIANS = VARIANCE
Dalam teori PELUANG dan statistika, varians (dari
bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu
perubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah
ukuran bagi sebaran data.
Hal yang diukur adalah seberapa jauh data
tersebar di sekitar nilai rataannya).
Ragam merupakan salah satu parameter bagi
distribusi normal.
Akar dari ragam adalah simpangan baku
(standard deviation).
Diunduh dari: http://id.wikipedia.org/wiki/Varians …… 19/9/2012
RAGAM = VARIANS = VARIANCE
Jika sebuah variabel random X mempunyai
nilai rata-rata μ = E[X], maka ragam dari X
adalah:
Diunduh dari: http://id.wikipedia.org/wiki/Varians …… 12/9/2012
Ragam untuk Data Tunggal
Misalnya data x1, x2, x3, …, xn mempunyai
rataan
, ragam atau varians
dapat
ditentukan dengan rumus:
Dengan :
S2 = ragam atau varians
n = banyaknya data
xi = data ke-i
=rataan hitung
Ragam untuk Data Berkelompok
Untuk ragam data berkelompok, nilai ragam
dapat ditentukan dengan rumus :
Dengan :
S2 = ragam atau varians
n = banyaknya data
k = banyaknya kelas ke-i
fi = frekuensi kelas ke-i
xi = data ke-i
=rataan hitung
Contoh :
Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut :
Skor
Frekuensi
40-49
1
50-59
4
60-69
8
70-79
14
80-89
10
90-99
3
Diunduh dari: …… 12/9/2012
Jawab:
Skor
fi
40-49
1
50-59
4
60-69
8
70-79 14
80-89 10
90-99
3
Jumlah 40
xi
fixi
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
44,5
218
516
1083
845
283,5
2950
-29,25
-19,25
-9,25
0,75
10,75
20,75
855,56
370,56
85,56
0,56
115,56
430,56
855,56
1. 482,25
684,48
7,88
1.155,63
1.291,69
5.477,49
Jadi, nilai ragamnya
136,94 dan nilai
simpangan bakunya
11,70
SOAL
1. Tentukan ragam untuk data berikut : 10, 44, 56,
62, 65, 72, 76
2. Pada tabel berat badan anak berikut tentukan
ragam (varians) nya
Berat Badan
Frekuensi
21-25
2
26-30
8
31-35
9
36-40
6
41-45
3
46-50
2
ANALISIS RAGAM
Ragam mencerminkan perbedaan antara hasil aktual
dengan hasil yang diharapkan.
Proses menganalisis total perbedaan antara hasil baku
dan hasul aktual disebut ANALISIS RAGAM.
Analisis ragam merupakan analisis penampilan
ragam.
When actual results are better than the expected
results, we have a favourable variance (F).
If, on the other hand, actual results are worse than
expected results, we have an adverse (A).
Diunduh dari: http://www.globusz.com/ebooks/Costing/00000015.htm …… 12/9/2012
ANALISIS RAGAM
Dalam statistika, analisis ragam (Sidik Ragam = ANOVA)
merupakan sekumpulan model-model statistik, dan
prosedur-prosedurnya, dimana ragam pada peubah
tertentu dipilah m,enjadi komponen-komponenya sesuai
dengan sumber keragamannya.
In its simplest form, ANOVA provides a statistical test of
whether or not the means of several groups are all equal,
and therefore generalizes t-test to more than two groups.
Melakukan uji-t dua sampel ganda menghasilkan
peningkatan peluang melakukan kesalahan Tipe I. Oleh
karena itu, ANOVAs merupakan pembandingan yang
bagus bagi dua nilai rata-rata atau elebih.
Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Analysis_of_variance…… 12/9/2012
ANALISIS RAGAM
Analisis ragam merupakan suatu cara yang dapat
digunakan untuk menguji rataan populasi.
Teknik analisis ragam digunakan untuk menganalisis
atau menguraikan total ragam menjadi bagian-bagian
yang bermakna.
Analisis ragam digunakan untuk menguji k buah
rataan populasi (k > 2).
Populasi-populasi itu dianggap saling bebas dan
menyebar normal dengan nilai rataan 1,2,…,k dan
ragamnya sama dengan 2.
Diunduh dari: …… 12/9/2012
ERROR = GALAT
Kata “error” Mengandung beragam makna dan pengertian.
Makna konkrit dari kata Latin "error" adalah "wandering"
atau "straying".
Misalnya, seseorang yang menggunakan terlalu banyak
bahan campuran dalam suatu “resep” dan ternyata
produknya tidak berhasil, maka ia dapat mempelajari jumlah
bahan yang tepat untuk digunakan dan dapat menghindari
terulangnya kesalahan.
Akan tetapi, beberapa “error” dapat terjadi meskipun
seseorang telah berkompeten untuk melaksanakan tuga
dengan benar.
Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Error…… 12/9/2012
ERROR = GALAT
Dalam statistika dan matematika stokastik, galat (bahasa
Inggris: error) adalah sumber variasi data yang tidak dapat
dimasukkan ke dalam model.
Dalam literatur statistika, galat dikenal pula sebagai sesatan,
pengotor, sisa, residu, atau noise.
Pada suatu model data sederhana, masing-masing nilai
pengamatan dapat dipilah menjadi rataan (mean) dan
simpangannya (deviation). Dalam hal ini, galat sama dengan
simpangan. Galat yang demikian ini disebut sebagai galat
pengamatan.
Dalam pengambilan contoh (sampel) data dari suatu
populasi, galat diukur dari penyimpangan nilai rerata contoh
dari rerata populasi. Galat ini dikenal sebagai galat
pengambilan contoh (sampling error) atau galat contoh saja.
Diunduh dari: http://id.wikipedia.org/wiki/Galat…… 12/9/2012
BERGALAT
SILAP
CACAT
GALAT
SALAH
KELIRU
Diunduh dari: …… 12/9/2012
CELA
Terima
kasih
atas
perhatian
nya