penerapan peluang

PENERAPAN PELUANG
by Andi Dharmawan
Penerapan Hukum Probabilitas dengan Probabilitas
Kegagalan dari Sebuah Rangkaian Listrik
• Komponen dalam Seri
– Kita menunjukkan 'Kemungkinan bahwa A tidak
gagal' sebagai p (A).
– Probabilitas bahwa S gagal adalah p (S`) = 1 - p (S).
– S akan berfungsi jika kedua A dan fungsi B: S = A ∩
B.
– Oleh karena itu p (S) = p (A ∩ B) sebagai A dan B
adalah independen
Penerapan Hukum Probabilitas dengan Probabilitas Kegagalan dari Sebuah Rangkaian Listrik
(lanjutan)
•
Komponen Secara Paralel
– Jika sistem S terdiri dari dua komponen A dan B secara paralel, seperti pada Gambar IX.3, maka S gagal jika kedua A
dan B gagal.
– Sekali lagi menunjukkan 'Kemungkinan bahwa A tidak gagal' sebagai p (A). Maka probabilitas bahwa S adalah gagal
–
Karena mereka secara paralel, S akan berfungsi jika salah satu fungsi A atau B: S = A ∪ B. Oleh karena itu
–
A dan B adalah independen, tapi tidak menguraikan. Mereka tidak memisah karena kedua A dan B dapat berfungsi
secara bersamaan. Dari hukum penambahan probabilitas diberikan sebelum
–
Karena A dan B independen,
–
Sehingga
–
Karena ini adalah ekspresi yang bertele-tele mungkin lebih berguna untuk melihat masalah sebaliknya. S gagal hanya
jika kedua A dan B gagal: S `=` A ∩ B `. Jadi
–
–
sebagai A dan B adalah independen. Akhirnya, p (S `) = p (A`) p (B `).
Ini adalah bentuk yang lebih sederhana bahwa kita dapat menggunakan dalam preferensi untuk ekspresi sebelumnya
kita berasal. Itu harus setara dengan hasil kita sebelumnya, jadi kita hanya harus memeriksa bahwa dengan
menggantikan p (A `) = 1 - p (A) dan p (B`) = 1 - p (B). karenanya
–
yang sama seperti yang kita miliki sebelumnya.
Gambar IX.1 Komponen dalam seri. S
gagal jika salah satu A atau B gagal.
Gambar IX.3 Dua komponen secara paralel.
S gagal jika kedua A dan B gagal.
Pemodelan Statistik
• Sebuah cara yang lebih cepat untuk melakukan
suatu permasalahan statistik adalah dengan
menggunakan suatu model statistik.
• Artinya, kita bisa menebak histogram akan
terlihat seperti apa berdasarkan pengalaman kita.
• Untuk menggunakan model seperti itu kita
mungkin hanya perlu tahu mean dari populasi, μ,
dan deviasi standar dari populasi, σ.
Distribusi Normal
• Distribusi normal adalah simetris terhadap mean-nya,
berbentuk "lonceng" dimana kegemukan "lonceng"
tergantung pada standar deviasi.
• Distribusi normal sangatlah penting karena hal-hal
berikut:
– Banyak distribusi praktis perkiraan dengan distribusi
normal.
– Teorema limit sentral.
– Banyak distribusi umum lainnya menjadi seperti distribusi
normal dalam kasus khusus. Misalnya, distribusi binomial,
dapat didekati dengan normal ketika jumlah uji coba
sangat besar.
Distribusi Normal (lanjutan)
• Menemukan Probabilitas dari Grafik Kontinyu
• Kurva Normal Standar
– Kurva normal standar diperoleh dari kurva normal
dengan substitusi z = (x - μ) / σ dan mengubah
distribusi asli menjadi satu dengan mean nol dan
standar deviasi 1.
• Menemukan Probabilitas bahwa X Terletak di
Antara Kisaran Tertentu dari Nilai-Nilai
Distribusi Eksponensial
• fungsi tingkat kegagalan,
– karena dapat digunakan untuk memodelkan laju kegagalan komponen.
• Peningkatan proporsi jumlah kegagalan diberikan oleh tingkat kegagalan
dikalikan dengan jumlah masih berfungsi, jika λ adalah tingkat kegagalan
ini, maka
• Persamaan diferensial ini dapat diselesaikan dengan:
• Distribusi kumulatif dari distribusi eksponensial sebagai
dimana λ adalah tingkat kegagalan, yaitu, proporsi yang akan gagal dalam satuan
waktu.
• Distribusi probabilitas dapat ditemukan dari distribusi kumulatif dengan
mendiferensiasikan, berupa
Distribusi Eksponensial (lanjutan)
• Mean dan Deviasi Standar dari Distribusi Kontinu
– Nilai rata-rata diberikan oleh
di mana integrasi adalah seluruh nilai dalam ruang sampel untuk x.
– Untuk distribusi eksponensial ini diberikan
yang dapat ditemukan dengan menggunakan integrasi bagian demi bagian
menjadi 1 / λ.
– Deviasi standar diberikan oleh
– di mana integrasi adalah seluruh nilai x. Untuk distribusi eksponensial
ini memberikan
• Perbandingan Data dengan Model
Distribusi Binomial
• Mean dan Varians dari Percobaan Tunggal
– Mean dari distribusi diskrit dapat ditemukan
dengan menggunakan
,
dan varians adalah
di mana penjumlahan lebih dari ruang sampel.
– Standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians:
Distribusi Binomial (lanjutan)
• Mean dan Deviasi Standar dari Distribusi
Binomial
– rata-rata dari untuk percobaan sebanyak n dari
distribusi binomial diberikan dengan jumlah
percobaan × mean untuk percobaan tunggal = nθ.
– Varians diberikan oleh nθ (1 - θ) dan oleh karena
itu standar deviasi
Distribusi Poisson
• digunakan untuk model proses di mana distribusi
jumlah incident yang terjadi dalam interval apapun
tergantung hanya pada panjang interval tersebut.
• Mean dan Varians dari Distribusi Poisson
– Varians dari distribusi Binomial adalah nθ (1 - θ).
– Mengganti θ = λh kita mendapatkan varians sebagai nλh
(1-λh).
– Sebagai n cenderung tak terhingga dan h ke 0 kita
mendapatkan batas λt.
– Oleh karena itu, perbedaan dalam satuan waktu adalah λ.
Latihan Soal
• Panggilan telepon diterima di sebuah pusat panggilan pada
tingkat 0,2 per detik rata-rata. Hitung probabilitas bahwa
lebih dari 11 panggilan yang diterima dalam 1 menit.
• Sebuah kota tertentu memiliki 50 mesin dispenser uang
tunai tetapi karena tidak dapat diaksesnya hanya dikunjungi
untuk perbaikan seminggu sekali setelah semua mesin
bekerja. Tingkat kegagalan dari mesin adalah sekitar 0,05
per 24 jam. Seorang anggota dewan kota membuat keluhan
publik di surat kabar bahwa rata-rata setidaknya satu di 10
dari mesin tidak berfungsi. Asumsikan model eksponensial
dan menghitung jumlah yang tidak berfungsi 1 hari, 2 hari,
..., 7 hari setelah hari kunjungan. Ambil rata-rata hasil ini
untuk menilai apakah anggota dewan sudah benar.