Menemukan konsep jarak titik, garis, sudut dan bidang Penyelesaian

GEOMETRI
Disusun oleh:
1. Nyimas Ayu
2. Egi Diasafitri
3. Hesty Monica
4. Ahmad Fadhil
5. Bintang Fajar
6. Icha Apriani
PEMERINTAH KABUPATEN BANGKA BARAT
DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA
SMAN 1 MUNTOK
Jln. Jend Sudirman No. 109 Muntok, Bangka Barat
Tahun Ajaran 2014-2015
Puji syukur kami panjatkan kepada kehadirat Tuhan Yang
Maha Esa, yang telah mencurahkan segala nikmat dan karuniaNya sehingga berkat rahmat dan ridho-Nya kami dapat
menyelesaikan makalah ini dengan baik.
Suatu kebahagiaan yang tidak ternilai bagi kami, yang telah
menyelesaikan makalah ini, dengan judul “GEOMETRI”.
Kami sangat menyadari keterbatasan pengalaman,
pengetahuan, kemampuan dalam penyusunan makalah ini. Oleh
karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun sangat
diharapkan demi kesempurnaan penulisan di dalam karya karya
kami selanjutnya. Akhirnya kami berharap semoga makalah ini
bermanfaat bagi kami dan bagi para pembaca khususnya.
Muntok, 14 April 2015
Penulis
PENGERTIAN GEOMETRI
Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan
antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun ruang. Ada 2
macam geometri, (1) geometri datar dan (2) geometri ruang .
Geometri Datar disebut juga geometri dimensi 2, disebut
bangun datar apabila keseluruhan bangun itu terletak pada
satu bidang . Geometri Ruang disebut juga geometri dimensi
3, disebut bangun ruang apabila titik-titik yang membentuk
bangun itu tidak semuanya terletak pada satu bidang yang
sama.
Geometri bangun datar terdiri dari beberapa unsur yaitu titik
sudut, sisi, bidang, dan sudut. Dan unsur dari geometri
bangun ruang yaitu titik sudut, rusuk, bidang, sudut, diagonal
bidang dan diagonal ruang.
A. Unsur unsur dari bangun datar:
1. Titik sudut
Dalam “dunia menulis” titik merupakan tanda yang
digunakan untuk mengakhiri sebuah kalimat,
sedangkan dalam “dunia matematika” titik
merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi
titik tidak punya ukuran. Sama seperti dalam dunia
menulis, dalam dunia matematika titik
direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”. Hanya
saja dalam dunia matematika titik diberi nama
dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B,
atau C, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini
diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik
Q.
Geometri terbagi atas beberapa macam antara lain : lingkaran,
persegi panjang, persegi, trapesium, jajar genjang, layang layang,
belah ketupat, dan segitiga. Berikut luas dan keliling bangun datar
tersebut.
1. Lingkaran
lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak
tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut
pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana,
membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.
panjang r adalah dari titik pusat lingkaran
ke titik terluar lingkaran, sedangkan D
adalah panjang dati titik terluar lingkaran
dengan titik luar lingkaran lain dengan
melewati titik tengah. Dengan kata lain r
Luas = Panjang x Lebar
Keliling = 2 x (panjang +
lebar) atau K =
panjang + lebar +
panjang + lebar
Luas = sisi x sisi atau L
= s2
Keliling = 4 x sisi atau K
= sisi + sisi + sisi +
sisi
2. Persegi panjang
3. Persegi
Luas = ½ x (diagonal 1 +
diagonal 2) x tinggi
Luas = alas x tinggi
K = sisi + sisi + sisi + sisi
Keliling = (2 x sisi miring)
+ diagonal 1 + diagonal 2
4. Trapesium
5. Jajar Genjang
Belah ketupat adalah bangun datar dua
dimensi yang dibentuk oleh empat buah
rusuk yang sama panjang, dan memiliki
dua pasang sudut bukan siku-siku yang
masing-masing sama besar dengan
sudut di hadapannya. Belah ketupat
dapat dibangun dari dua buah segitiga
sama kaki identik yang simetri pada
alas-alasnya.
6. Layang-layang
7. Belah Ketupat
8. Segitiga
Segitiga adalah bangun datar yang
memiliki 3 titik sudut dan memiliki
3 sisi. Segitiga memeiliki banyak
bentuk diantaranya segitiga sama
kaki, segitiga sama sisi, segitiga
siku-siku dan segitiga sembarang.
Luas = ½ x alas x tinggi atau L =
(alas x tinggi) / 2
Keliling = sisi + sisi + sisi
Khusus untuk Segitiga Siku-siku,
panjang sisi miring terpanjang
dapat dicari dengan menggunakan
rumus phytagoras yaitu :
A. Unsur unsur dari bangun datar:
1. Titik sudut
Dalam “dunia menulis” titik merupakan tanda yang digunakan untuk
mengakhiri sebuah kalimat, sedangkan dalam “dunia matematika”
titik merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak
punya ukuran. Sama seperti dalam dunia menulis, dalam dunia
matematika titik direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”. Hanya
saja dalam dunia matematika titik diberi nama dengan menggunakan
huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar di
bawah ini diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q.
A. Unsur unsur dari bangun datar:
1. Titik sudut
Dalam “dunia menulis” titik
merupakan tanda yang digunakan
untuk mengakhiri sebuah kalimat,
sedangkan dalam “dunia
matematika” titik merupakan
sesuatu yang punya kedudukan,
tetapi titik tidak punya ukuran.
Sama seperti dalam dunia menulis,
dalam dunia matematika titik
direpresentasikan dengan sebuah
noktah “.”. Hanya saja dalam dunia
matematika titik diberi nama
dengan menggunakan huruf kapital
seperti A, B, atau C, dan
seterusnya. Pada gambar di bawah
ini diperlihatkan dua buah titik,
yaitu titik B dan titik Q.
Dan sudut adalah daerah yang
dibatasi oleh dua garis dan titik.
Untuk menyatakan nama, disertai
suatu sudut dilambangkan dengan
: "<" Huruf-huruf Yunani seperti :
a, B, 0 dan lain-lain. Untuk
mengukur sudut biasanya
digunakan dengan busur.
Jadi, titik sudut adalah titik yang
menunjukan posisi atau daerah
yang dibatasi oleh dua garis dan
titik.
2. SISI
Yang membuat perhitungan kubus menjadi
lebih mudah dibandingkan dengan balok
adalah itu karena semua sisi kubus memiliki
panjang yang sama. Untuk mencari panjang
rusuk sebuah kubus juga menjadi sangat
gampang sekali.
Kubus memiliki 12 sisi yang sama panjang.
Ok, sisi-sisi kubus adalah : AB, BC, CD, AD, EF,
FG, GH, EH, AE, BF, CG dan DH. Misalkan
panjang salah satu sisinya kita misalkan "S",
Karena ada 12 sisi yang sama, maka panjang
sisnya adalah :
= 12 x S
3. BIDANG
Adalah himpunan garis-garis yang
anggotanya terdiri dari lebih dari
satu buah garis. Jadi, pada sebuah
bidang, terdiri dari banyak sekali
garis. Model sebuah bidang adalah
permukaan sebuah kertas yang
dapat diperlebar ke semua arah.
Bidang mempunyai ukuran panjang
dan lebar serta diberi nama
dengan menyebutkan titik-titik
sudut dari bidang tersebut atau
memakai huruf α, β, γ , dan
seterusnya. Pada gambar di bawah
ini diperlihatkan dua buah bidang,
yaitu bidang α dan bidang ABCD.
Demikian konsep titik, garis dan
bidang. Dari pengertian titik,
garis, dan bidang akan
memunculkan aksioma atau
postulat tentang titik, garis dan
bidang yaitu:
=>Melalui dua buah titik
sembarang yang tidak berimpit
hanya dapat dibuat satu garis
lurus
=>Melalui tiga titik sembarang,
hanya dapat dibuat satu buah
bidang.
=>Melalui satu titik dan garis
yang tidak melewati titik
tersebut dapat dibuat sebuah
bidang
=>Melalui dua buah garis
sejajar atau garis yang saling
berpotongan dapat dibuat
sebuah bidang.
=>Jika suatu garis dan suatu
bidang mempunyai dua titik
persekutuan, maka garis itu
seluruhnya terletak pada
bidang.
4. SUDUT
Sudut adalah daerah yang
dibatasi oleh dua garis dan
titikk. Untuk menyatakan nama,
disertai suatu sudut
dilambangkan dengan : "<"
Huruf-huruf Yunani seperti : a,
B, 0 dan lain-lain. Untuk
mengukur sudut biasanya
digunakan dengan busur.
Cara Mengukur besarnya sudut
dengan busur :
- Letakkan menempel garis 0
derajat pada busur ke salah
satu ruas garis yang akan
diukur besar sudutnya.
- Letakkan titik pusat busur ( titik
pusat 1/2 lingkaran ) pada titik
sudut dan ruas garis yang
terletak didalam
busur.
- Ukur besar sudutnya dengan
menggunakan skala pada busur.
Secara Garis Besar, besarnya suatu sudut terbagi
menjadi tiga bagian, yaitu :
- Sudut lancip yaitu sudut yang besarnya kurang
dari 90 derajat.
- Sudut siku-siku yaitu sudut yang besarnya 90
derajat.
- Sudut tumpul yaitu sudut yang besarnya lebih dari
90 derajat.
B. Unsur unsur bangun ruang:
1. Titik sudut
Dalam “dunia menulis” titik
merupakan tanda yang
digunakan untuk mengakhiri
sebuah kalimat, sedangkan
dalam “dunia matematika”
titik merupakan sesuatu
yang punya kedudukan,
tetapi titik tidak punya
ukuran. Sama seperti dalam
dunia menulis, dalam dunia
matematika titik
direpresentasikan dengan
sebuah noktah “.”. Hanya
saja dalam dunia
matematika titik diberi nama
dengan menggunakan huruf
kapital seperti A, B, atau C,
dan seterusnya. Pada
gambar di bawah ini
diperlihatkan dua buah titik,
yaitu titik B dan titik Q.
Dan sudut adalah daerah
yang dibatasi oleh dua garis
dan titik. Untuk menyatakan
nama, disertai suatu sudut
dilambangkan dengan : "<"
Huruf-huruf Yunani seperti :
a, B, 0 dan lain-lain. Untuk
mengukur sudut biasanya
digunakan dengan busur.
Jadi, titik sudut adalah titik
yang menunjukan posisi atau
daerah yang dibatasi oleh
dua garis dan titik.
2. RUSUK
Yang membuat perhitungan kubus menjadi
lebih mudah dibandingkan dengan balok
adalah itu karena semua sisi kubus memiliki
panjang yang sama. Untuk mencari panjang
rusuk sebuah kubus juga menjadi sangat
gampang sekali.
Kubus memiliki 12 sisi yang sama panjang.
Ok, sisi-sisi kubus adalah : AB, BC, CD, AD, EF,
FG, GH, EH, AE, BF, CG dan DH. Misalkan
panjang salah satu sisinya kita misalkan "S",
Karena ada 12 sisi yang sama, maka panjang
rusuknya adalah :
= 12 x S
3. BIDANG
Adalah himpunan garis-garis yang
anggotanya terdiri dari lebih dari
satu buah garis. Jadi, pada sebuah
bidang, terdiri dari banyak sekali
garis. Model sebuah bidang adalah
permukaan sebuah kertas yang
dapat diperlebar ke semua arah.
Bidang mempunyai ukuran panjang
dan lebar serta diberi nama
dengan menyebutkan titik-titik
sudut dari bidang tersebut atau
memakai huruf α, β, γ , dan
seterusnya. Pada gambar di bawah
ini diperlihatkan dua buah bidang,
yaitu bidang α dan bidang ABCD.
Demikian konsep titik, garis dan
bidang. Dari pengertian titik,
garis, dan bidang akan
memunculkan aksioma atau
postulat tentang titik, garis dan
bidang yaitu:
=>Melalui dua buah titik
sembarang yang tidak berimpit
hanya dapat dibuat satu garis
lurus
=>Melalui tiga titik sembarang,
hanya dapat dibuat satu buah
bidang.
=>Melalui satu titik dan garis
yang tidak melewati titik
tersebut dapat dibuat sebuah
bidang
=>Melalui dua buah garis
sejajar atau garis yang saling
berpotongan dapat dibuat
sebuah bidang.
=>Jika suatu garis dan suatu
bidang mempunyai dua titik
persekutuan, maka garis itu
seluruhnya terletak pada
bidang.
4. SUDUT
Sudut adalah daerah yang
dibatasi oleh dua garis dan
titikk. Untuk menyatakan nama,
disertai suatu sudut
dilambangkan dengan : "<"
Huruf-huruf Yunani seperti : a,
B, 0 dan lain-lain. Untuk
mengukur sudut biasanya
digunakan dengan busur.
Cara Mengukur besarnya sudut
dengan busur :
- Letakkan menempel garis 0
derajat pada busur ke salah
satu ruas garis yang akan
diukur besar sudutnya.
- Letakkan titik pusat busur ( titik
pusat 1/2 lingkaran ) pada titik
sudut dan ruas garis yang
terletak didalam
busur.
- Ukur besar sudutnya dengan
menggunakan skala pada busur.
Secara Garis Besar, besarnya suatu sudut terbagi
menjadi tiga bagian, yaitu :
- Sudut lancip yaitu sudut yang besarnya kurang
dari 90 derajat.
- Sudut siku-siku yaitu sudut yang besarnya 90
derajat.
- Sudut tumpul yaitu sudut yang besarnya lebih dari
90 derajat.
5. DIAGONAL BIDANG
Diagonal bidang suatu kubus adalah
ruas garis yang menghubungkan dua
titik sudut yang berhadapan pada
setiap bidang atau sisi kubus.
Sekarang coba perhatikan bidang
ABEF pada gambar kubus ABCD.EFGH
di bawah ini.
Ruas garis yang menghubungkan titik
sudut B dan E disebut diagonal
bidang kubus. Setiap bidang pada
kubus mempunyai dua diagonal
bidang. Karena kubus memiliki 6
bidang sisi, maka kubus memiliki 12
diagonal bidang atau diagonal sisi.
Bagaimana cara menghitung panjang
diagonal bidang atau diagonal sisi
pada kubus?
Diagonal bidang atau sisi dapat
ditentukan dengan menggunakan
teorema phytagoras. Sekarang
perhatikan gambar kuubus di bawah ini.
Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas
memiliki rusuk s. Maka panjang BE
dapat dihitung dengan menggunakan
teorema phytagoras, di mana segitiga
ABE siku-siku di A. Sehingga:
BE = √(AB2 + AE2)
BE = √(s2 + s2)
BE = √2s2
BE = s√2
Misalkan diagonal bidang kubus adalah
b maka secara umum diagonal bidang
kubus dapat dirumuskan:
b = s√2
6. Diagonal Ruang Kubus
Diagonal ruang pada kubus adalah
ruas garis yang menghubungkan
dua titik sudut yang berhadapan
dalam suatu ruang di dalam kubus.
Sekarang coba perhatikan gambar
berikut di bawah.
Garis BH disebut diagonal ruang.
Selain garis BH, ada juga garis AG,
garis DF, dan garis CE yang
merupakan diagonal ruang kubus.
Diagonal-diagonal ruang tersebut
akan berpotongan di satu titik.
Suatu kubus memiliki empat buah
diagonal ruang yang sama panjang
dan berpotongan pada satu titik.
Bagaimana menghitung panjang
diagonal ruang balok?
Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk
mencari diagonal ruang juga menggunakan
teorema phyagoras. Sekarang perhatikan gambar
di bawah ini.
Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki
rusuk s. Maka panjang BH dapat dihitung
dengan menggunakan teorema phytagoras.
Tetapi sebelum itu harus cari panjang BD, di
mana BD merupakan diagonal sisi. Sekarang
perhatikan segitiga ABD siku-siku di A.
Sehingga:
BD = s√2
Sekarang cari panjang BH dengan teorema
phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga
BDH siku-siku di D. Sehingga:
BH = √(BD2 + DH2)
BH = √(s√2)2 + s2)
BH = √(2s2 + s2)
BH = √(3s2)
BH = s√3
Misalkan diagonal ruang kubus adalah d,
maka secara umum diagonal ruang kubus
dapat dirumuskan:
d = s√3


Bidang Diagonal Kubus
Bidang diagonal suatu kubus adalah
bidang yang dibatasi oleh dua rusuk
dan dua diagonal bidang suatu kubus.
Perhatikan balok ABCD.EFGH pada
gambar di bawah ini.
Untuk lebih memantapkan
pemahaman Anda tentang
diagonal bidang, diagonal ruang
dan bidang diagonal ruang,
silahkan perhatikan contoh soal
berikut ini.
Contoh Soal
Sebuah kubus memiliki panjang
rusuk 5 cm. Hitunglah panjang
diagonal bidang, diagonal ruang
dan luas salah satu bidang
diagonal kubus tersebut.
Penyelesaian:

Bidang ABGH disebut bidang diagonal.
Kubus memiliki enam bidang diagonal
yang berbentuk persegi panjang dan
tiap pasangnya kongruen. Bagaimana
menghitung luas bidang diagonal?
Untuk menghitung luas bidang diagonal
dapat menggunakan rumus luas persegi
panjang. Sekarang coba perhatikan
kembali gambar kubus ABCD.EFGH di
atas, jika rusuknya s, maka luas bidang
ABGH yakni:
Luas ABGH = AB . BG
Luas ABGH = s . s√2
Luas ABGH = s2√2
Panjang diagonal bidang yakni:
b = s√2
b = 5√2 cm
Panjang diagonal ruang yakni:
d = s√3
d = 5√3 cm
Luas bidang diagonal yakni:
Luas = s2√2
Luas = (5 cm)2√2
Luas = 25√2 cm2







Karena balok dan kubus memiliki sifat yang hampir sama
maka berikut sifat-sifat yang dimiliki oleh kubus juga
dimiliki oleh balok.
Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi yang saling
kongruen. Sisi (bidang) tersebut adalah bidang ABCD, ABFE,
BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH.
Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu AB , BC, CD ,
AD , EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH.
Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H.
Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang, di
antaranya AC , BD , BG , dan CF
Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan
berpotongan di satu titik, yaitu AG , BH , CE , dan DF.
Memiliki 6 bidang diagonal berbentuk persegi panjang yang
saling kongruen, di antaranya bidang ACGE, BGHA, AFGD,
dan BEHC.


Jarak Titik ke Titik
Perhatikan gambar di bawah ini.


Contoh Soal 1
Perhatikan gambar kubus
PQRS.TUVW di bawah ini.


Gambar di atas merupakan dua
buah titik yaitu titik A dan titik B.
Jarak dari titik A dan titik B dapat
dicari dengan cara
menghubungkan titik A ke titik B
sehingga terjadi sebuah garis.
Jarak kedua titik tersebut
ditentukan oleh panjang garis itu.
Jadi, jarak antara dua titik
merupakan panjang ruas garis
yang menghubungkan kedua titik
tersebut






Jika panjang rusuk kubus di
atas adalah 8 cm dan titik X
merupakan pertengahan
antara rusuk PQ. Maka hitung
jarak:
a) titik W ke titik P
b) titik W ke titik X
c) titik W ke titik Q
d) titik T ke titik X
















Penyelesaian:
a) titik W ke titik P merupakan
panjang garis PW. Garis PW
merupakan panjang
diagonal sisi kubus, maka
dengan menggunakan teorema
phytagoras:
PW =√(TW2 + PT2)
PW =√(82 + 82)
PW =√(64 + 64)
PW =√128
PW =8√2
b) titik W ke titik X merupakan
panjang garis WX. Panjang PX
sama dengan setengah panjang
rusuk PQ, maka:
PX = ½ PQ = ½ 8 cm = 4 cm
Dengan menggunakan teorema
phytagoras:
WX =√(PW2 + PX2)
WX =√((8√2)2 + 42)
WX =√(128 + 16)
WX =√144
WX =12 cm













c) titik W ke titik Q merupakan
panjang garis QW. Garis QW
merupakan panjangdiagonal
ruang kubus, maka dengan
menggunakan teorema
phytagoras:
QW =√(PW2 + PQ2)
QW =√((8√2)2 + 82)
QW =√(128 + 64)
QW =√192
QW =8√3 cm
d) titik T ke titik X merupakan
panjang garis TX. Panjang PX
sama dengan setengah panjang
rusuk PQ, maka: PX = ½ PQ =
½ 8 cm = 4 cm
Dengan menggunakan teorema
phytagoras:
TX =√(PT2 + PX2)
TX =√(82 + 42)
TX =√(64 + 16)
TX =√80
TX =4√5 cm



Jarak Titik ke Garis
Perhatikan gambar di bawah
ini.
Pada gambar di atas
merupakan sebuah titik A dan
sebuah garis g. Jarak antara
titik A dan garis g dapat
dengan membuat garis dari
titik A ke garis g, memotong
garis di titik P sehingga terjadi
garis AP yang tegak lurus garis
g. Jarak titik A ke garis g adalah
panjang dari AP. Jadi, jarak
antara titik dengan garis
merupakan panjang ruas garis
yang ditarik dari titik tersebut
tegak lurus terhadap garis itu.






Contoh Soal 2
Perhatikan gambar kubus
PQRS.TUVW di bawah ini.
Jika panjang rusuk kubus di
atas adalah 8 cm dan titik X
merupakan pertengahan antara
rusuk PQ. Maka hitung jarak:
a) titik X ke garis ST
b) titik X ke garis RT

Penyelesaian:

Perhatikan gambar di bawah ini








a) titik X ke garis ST merupakan
panjang garis dari titik X ke titik
M (garis MX) yang tegak lurus
dengan garis ST, seperti gambar
berikut.




ST = PW dan MT = ½ ST = ½ PW
= 4√2




Dengan menggunakan teorema
phytagoras:
MX =√(TX2 – MT2)
MX =√((4√5)2 – (4√2)2)
MX =√(80 – 32)
MX =√48
MX =4√3 cm
b) titik X ke garis RT merupakan
panjang garis dari titik X ke titik N
(garis NX) yang tegak lurus dengan
garis RT, seperti gambar berikut.
RT = QW dan NT = ½ RT = ½ QW =
4√3
Dengan menggunakan teorema
phytagoras:
NX =√(TX2 – NT2)
NX =√((4√5)2 – (4√3)2)
NX =√(80 – 48)
NX =√32
NX =4√2 cm


Jarak Titik ke Bidang
Perhatikan gambar di bawah ini.


Contoh Soal 3
Perhatikan gambar kubus
PQRS.TUVW di bawah ini.


Gambar di atas merupakan
sebuah tiktik A dan bidang α.
Jarak titik A ke bidang α dapat
dicari dengan menghubungkan
titik A secara tegak lurus
dengan bidang α. Jadi, jarak
suatu titik ke suatu bidang
adalah jarak dari titik tersebut
ke proyeksinya pada bidang
tersebut.

Jika panjang rusuk kubus di
atas adalah 8 cm dan titik X
merupakan pertengahan antara
rusuk PQ. Maka hitung jarak
titik X ke bidang RSTU

Penyelesaian:

Perhatikan gambar di bawah ini

titik X ke bidang RSTU merupakan panjang garis
dari titik X ke titik Z (garis MX) yang tegak lurus
dengan bidang RSTU. XZ = ½ PW =4√2 cm
Sekian Persentasi Kami
Bila ada kesalahan dalam persentasi,
kami minta maaf, terima kasih,
Wassalamualaikum wr wb