struktur aljabar - Binus Repository

STRUKTUR ALJABAR
GRUPOID, dan HUKUM
PENCORETAN
TUJUAN
• Mahasiswa akan dapat membuktikan
bahwa suatu sistem adalah struktur
aljabar, grupoid, semigrup, monoid,
kuasigrup dan loop
Cakupan
– Komposisi biner
– Struktur aljabar
– Grupoid
– Unsur kesatuan
– Komutatif
– Daftar Cayley
– Hukum Pencoretan
STRUKTUR ALJABAR
• Adalah himpunan tak kosong dengan
sebuah/beberapa
operasi
tertutup
(komposisi biner).
• Beri contoh-contoh struktur aljabar dan
yang bukan struktur aljabar
GRUPOID
• Adalah struktur aljabar dengan satu
operasi tertutup (komposisi biner).
• Simbol (G, )
• Beri contoh-contoh grupoid dan yang
bukan grupoid
Operasi Komutatif
• Grupoid (G, ) disebut komutatif jika xy =
yx, untuk setiap x,y G.
• Beri contoh-contoh grupoid yang komutatif
dan yang tidak komutatif.
Daftar Cayley
• A = {0, 1, 2, 3} dengan operasi tambah
modulo 4
• B={1, 2, 3, 4} dengan operasi perkalian
modulo 5
• Buatlah daftar Cayleynya.
Unsur Kesatuan
• Grupoid G mempunyai unsur kesatuan
kiri=e jika ex = x untuk setiap xG.
• Grupoid G mempunyai unsur kesatuan
kanan=f jika xf =x untuk setiap xG.
Teorema
• Jika grupoid G mempunyai unkes kiri=e
dan unkes kanan=f, maka e=f.
Akibat:
• Jika suatu grupoid punya unkes kiri lebih
dari sebuah, maka tdk ada unkes kanan.
• Jika suatu grupoid punya unkes kanan
lebih dari sebuah, maka tdk ada unkes kiri.
Ciri tertutup, unkes & komutatif
pada Daftar Cayley
•
•
•
•
•
•
Apa ciri grupoid yang tertutup?
Apa ciri grupoid yang tidak tertutup?
Apa ciri adanya unkes kiri?
Apa ciri adanya unkes kanan?
Apa ciri berlakunya sifat komutatif?
Apa ciri adanya invers untuk setiap
elemen?
Hukum Pencoretan
• Grupoid (G,) memenuhi pencoretan kiri jika
ab = ac mengakibatkan b=c.
• Grupoid (G,) memenuhi pencoretan kanan jika
ba = ca mengakibatkan b=c.
• Jika (G,) komutatif dan memenuhi pencoretan
kiri, maka pasti memenuhi pencoretan kanan.
Sebaliknya? Mengapa?
• Beri contoh-contoh grupoid yang memenuhi dan
yang tidak memenuhi hukum pencoretan.
Ciri pencoretan kiri dan kanan
• Apa ciri grupoid yang memenuhi
pencoretan kiri dilihat dari tabel Cayley?
• Apa ciri grupoid yang memenuhi
pencoretan kanan dilihat dari tabel
Cayley?
• Apa ciri grupoid yang memenuhi
pencoretan kiri dan kanan (sekaligus)
dilihat dari tabel Cayley?
Contoh:
• Beri contoh tabel Cayley untuk grupoid
yang memenuhi pencoretan kiri, tetapi
tidak memenuhi pencoretan kanan.
• Beri contoh yang sebaliknya.
• Beri contoh yang memenuhi keduanya.
• Bilamana suatu grupoid memenuhi hukum
pencoretan terbatas? Tak terbatas?
• Beri contoh-contoh untuk terbatas dan tak
terbatas.
Penutup
– Komposisi biner: tertutup
– Struktur aljabar: sistem dengan satu atau
lebih operasi tertutup
– Grupoid: sistem dengan satu operasi tertutup
– Unsur kesatuan: ae=ea=a
– Komutatif: ab=ba
– Daftar Cayley: daftar yang menunjukkan
operasi antar elemen pada sistem berhingga
– Hukum Pencoretan ab=ac berarti b=c, juga
ba=ca berarti b=c