Judul - Binus Repository

Matakuliah
Tahun
: K0342 / Metode Numerik I
: 2006
DERET TAYLOR dan ANALISIS GALAT
Pertemuan-2
TIK: Mhs dapat menjelaskansumber-sumber
galat dalam metoda numerik serta
mampu menghitung perambatan galat
1
DERET TAYLOR
Teorema Taylor:
Untuk f suatu fungsi yang mempunyai turunan sampai orde (n+1)
dan kontinu dalam selang [a,b], maka f dapat diperluas
(diekspansikan) dalam deret Taylor yaitu:
f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 +
… + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + …
n=~
= 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n
n=o
Dimana:
• f(n)(x0) adalah turunan ke-n dari f(x) untuk x = x0
• x disekitar x0 dan (x, x0)  a,b
2
Secara geometris, deret Taylor mempunyai arti: apabila harga
suatu fungsi diketahui di x = x0, maka harga fungsi tersebut dapat
dihitung disekitar x0
Contoh:
1 = 1; Tentukan 1,01=?
Jawban:
f(x) = x = (x)1/2, dengan x = 1,01 dan x0 = 1
dan x – x0 = 0,01
f(‘)(x) = ½ x-1/2,
f(‘)(1) = ½
= 0,5
f(“)(x) = -1/4 x-3/2,
f(“)(1) = - ¼
= - 0,25
f(3)(x) = 3/8 x-5/2 ,
f(3)(1) = 3/8
= 0,375
f(4)(x) = -15/16 x-7/2 , f(4)(1) = -15/16 = - 0,9375
3
n
0
f(n)(1)
1
1
2
3
4
0,5 -0,25 0,375 - 0,9375
f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 +
… + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + …
= 1 + (0,5)(0,01) + (0,5)(-0,25)(0,01)2 + (0,16667)(0,375)(0,01)3
+ (0,04167)(-0,9375)(0,01)4 + …
= 1,0049875 (perhitungan tujuh desimal)
4
Berikut ini beberapa fungsi yang diekspansikan dalam
deret Taylor di sekitar x0 = 0
1. f(x) = ex = 1 + x + ½! x2 + 1/3! x3 + … + 1/n! xn + …
n=~
=  (1/n!) xn ………………..untuk -~ < x < ~
n=0
2. f(x) = sin x = x – 1/3! x3 + 1/5! x5 + … 1/(2n+1)! X(2n+1) + …
n=~
=  (-1)n {1/(2n+1)! } x(2n+1) ……untuk -~ < x < ~
n=0
5
3. f(x) = Cos x = 1 – 1/2! x2 + 1/4! x4 + … 1/(2n)! X(2n) + …
n=~
=  (-1)n {1/(2n)! } x(2n) …………untuk -~ < x < ~
n=0
4. f(x) = ln (x+1) = x – 1/2 x2 + 1/3 x3 - … 1/n xn + …
n=~
=  (-1)n+1 (1/n) xn ……………..untuk -1 < x < 1
n=1
6
Animasi deret Taylor untuk f(x) = cos x
7
ANALISIS GALAT
Galat atau ralat atau kesalahan (error) yaitu selisih antara nilai
sejati (sebenarnya) dengan nilai hampirannya
Dalam metoda numerik, galat berarti selisih antara nilai hasil
perhitungan analitik (nilai sejati = a) dengan nilai hasil
Perhitungan numerik (nilai hampiran = â)
Galat
Galat mutlak
em= |a - â|
Galat relatif
er = (em/ â) x 100 %
8
Contoh:
Misalkan nilai sejati (a) = 10,45 dan nilai hampiran (â)
= 10,5, maka galat mutlaknya adalah:
em = |a - â| = |10,45 – 10,5|= 0,01
Dengan galat mutlak kita tidak mengetahui seberapa dekat (teliti)
hasil hampiran yang kita peroleh terhadap nilai sejatinya
Contoh:
Perhitungan -1  em1 = |100,5 – 99,8| = 0,7
Perhitungan -2  em2 = |10,5 – 9,8| = 0,7
Dari dua perhitungan tsb, perhitungan mana yang lebih teliti?
Jawaban:
er1 = (0,7/99,8) x 100 % = 0, 7014 %  ketelitian 99,2986 %
er2 = (0,7/9,8) x 100 % = 7,14286 %  ketelitian 92,8571 %
Perhitungan -1 lebih teliti.
9
Sumber galat numerik
1. Galat pemotongan (trancation error)
2. Galat pembulatan (round-off error)
Galat pemotongan timbul akibat penggunaan rumus hampiran
sebagai pengganti rumus eksak
Deret Taylor
f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 +
… + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + Rn(x)
Rn(x) = {1/(n+1)!} f(n+1)() x(n+1),  x0 <  < x
Rn(x) adalah galat pemotongan
10
Contoh:
Cos x = 1 – 1/2! x2 + 1/4! x4 + … 1/(2n)! X(2n) + Rn(x)
= 1 – ½! x2 +R1(x)
= 1 – ½! x2 + ¼! x4 + R2(x)
= 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + R3(x)
= 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + ¼! x8 + R4(x)
R1(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -1
R2(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -2
R3(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -3
R4(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -4
11
Galat pembulatan timbul akibat penggunaan alat hitung
(misalnya, kalkulator, komputer) yang kemampuannya terbatas
Contoh:
1. Kalkulator/komputer dalam menyajikan bilangan 1/3 = 0.3333…
yang tidak pernah tepat 1/3.
Untuk perhitungan tiga desimal, 1/3 = 0.333
Terdapat galat pembulatan = 0.000333…
Untuk perhitungan 6 desimal, 1/3 = 0.333333
Terdapat galat pembulatan = 0.000000333…
2. Dalam sistim bilangan biner,
(0.1)10 = (0.0001100110011001100110011…)2  (0.1)10
12
Penyajian bilangan
Dalam komputasi numerik, pada umumnya bilangan riil
disajikan dalam format “floating point” atau disebut “titik
kambang” yang dinormalkan.
Format floating point ternormalisasi:
x =  m . p
 tanda; m mantisa;  bilangan pokok; p eksponen
m = 0.d1d2d3…dk   -1  m <1
Untuk sistim bilangan desimal, maka  = 10
0.1  m <1; 1  d1 < 9; 0  dk < 9
Untuk sistim bilangan biner, maka  = 2
0.5  m <1; d1=1 ; 0  dk  1
13
Contoh:
1. Sistim bilangan desimal
0.7392.104 sering juga ditulis 0.7392 E+04 (= 7392)
- 0.3246.102 sering juga ditulis - 0.3246 E+02 (= - 32.46)
0.1627.10-3 sering juga ditulis 0.1627 E-03 (= 0.0001627)
2. Sistim bilangan biner
Untuk komputer 32 bit word, 1 bit untuk tanda, 7 bit untuk
eksponen bertanda dan 24 bit untuk mantisa
0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
Pangkat bertanda
Mantisa
Tanda
0=+
1=-
X = 0.100000000000001000110011.2-13
= 0.5000335574.10-7
14
Orde Penghampiran
Bilangan â disebut mendekati a sampai pada d digit-digit yang
signifikan bila d adalah bilangan positif terbesar yang
memenuhi:
d
a  aˆ
10
er 

aˆ
2
15
Contoh:
1. a = 3,141592; â = 3,142
3
3,141592  3,142
10
er 
 0,0001299 
3,142
2
â mendekati a teliti sampai tiga desimal
Pada deret Taylor:
f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 +
… + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + Rn(x)
Rn(x) = {1/(n+1)!} f(n+1)() x(n+1),  x0 <  < x
16
Bila (x-x0) = h atau x = x0 + h, maka:
1 ''
2
f ( x0  h)  f ( x0 )  f ( x0 )h  f ( x0 )h  ...
2!
1 n
n
 f ( x0 )h  Rn (h)
n!
1
n 1
n 1
n 1
n 1
Rn ( h ) 
f ( )h  Mh  O(h )
(n  1)!
'
17
Dapat dituliskan menjadi:
f (h)  p(h)  O(h
n 1
)
p(h) adalah fungsi hampiran untuk f(h) dengan galat O(hn+1).
O(hn+1) disebut sebagai Big-Oh (O-besar).
Pada umumnya 0 < h < 1, jadi semakin besar n semakin dekat
p(h) menghampiri f(h)
Contoh:
Cos h =1 – ½! h2  O(h4)
= 1 – ½! h2 + ¼! h4 O(h6)
= 1 – ½! h2 + ¼! h4 – 1/6! h6  O(h8)
= 1 – ½! h2 + ¼! h4 – 1/6! h6 + ¼! h8  O(h10)
18
Perambatan Galat
Misalkan dua buah bilangan a1 dan a2 dengan nilai hampirannya
masing-masing â1 dan â2
Maka:
a1= â1  e1  er1= e1/ â1
a2 = â2  e2  er2 = e2/ â2
Perambatan galat dari a1 dan a2 pada:
1. Penjumlahan
A = a1  a2 = (â1  e1)  (â2  e2)
= (â1  â2)  (e1 + e2)
= (â1  â2)  eA
eA = e1 + e2 , yaitu galat absolut dari penjumlahan ()
19
2. Perkalian
B = a1 . a2 = (â1  e1).(â2  e2)
= (â1. â2)  (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2)
= (â1. â2)  eB
eB = (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2)  erB = er1+er2
3. Pembagian
a1 aˆ1  e1 (aˆ1  e1 ) aˆ 2
P 

x
a2 aˆ 2  e2 (aˆ 2  e2 ) aˆ 2
 aˆ1 e1  e2   aˆ1   e1 aˆ1 
   1         2 e2 
 aˆ 2 aˆ 2  aˆ 2   aˆ 2   aˆ 2 aˆ 2 
 e1

ˆ1
a


e
2
2
a

ˆ
ˆ
a
2
 2

P= (â1/ â2)  eP  eP = 
20
Contoh:
Hasil pengukuran jari-jari suatu bola adalah: R = (4,50  0,45) m
Hitung galat maksimum dari:
a. Luas permukaan bola
b. Volume bola
Jawaban:
a. Luas permukaan bola S = 4 R2
Galat relatif luas permukaan bola: er(S) = 2 er®
= 2 (0,45/4,50)
= 0,2
Galat mutlak luas permukaan bola:
eS = S er(S) = 4 R2 .2 er® = 4 (3,14) (4,50)2 (0,2) = 50,868
S = (254,340  50,868) m2
21
Volume bola : V = 4/3  R3
Galat relatif volume bola: er(V) = 3 er® = 3 (0,45/4,50)
= 0,3
Galat mutlak volume bola:
eV = V.er(V) = 4/3  R3 er(V)= 4/3 (3,14)(4,50)3 (0,3)
= 114,453
V= (381,51  114,453) m3
22