10. DistProbTeoritis.

STATISTIKA 1
FEUG
DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK TEORITIS
(TEORITICAL RANDOM VARIABLE PROBABILITY DISTRIBUTION)
 Eksperimen statistis : Eksperimen yang menghasilkan dua atau lebih peristiwa (events),
dimana setiap peristiwa tersebut memiliki probabilitas dan hubungan satu peristiwa
dengan peristiwa lainnya bisa independen, mutually exclusive, bersyarat (conditional),
atau inclusive. Suatu eksperimen statistis dapat dilakukan berkali-berkali (repeated
experiment).
Misalnya eksperimen pengundian sebuah dadu akan menghasilkan 6 peristiwa, yaitu
peristiwa muncul muka 1 titik atau M = 1 dengan P(M = 1) = 1/6, peristiwa M = 2 dengan
P(M = 2) = 1/6, ...., peristiwa M = 6 dengan P(M = 6) = 1/6.
 Ruang Sampel (sample space) : Himpunan seluruh hasil (outcomes) yang mungkin
terjadi dari suatu eksperimen statistis.
Pengundian sebuah dadu → S = {M = 1, M = 2, M = 3, M = 4, M = 5, M = 6}
Pengundian sebuah koin yang memiliki muka bergambar angka (A) dan bergambar huruf
(H) → S = {A, H}
Pengundian dua koin yang sama yang memiliki muka bergambar angka (A) dan
bergambar huruf (H) → S = {(A,A), (A,H), (H,A), (A,A)}
 Peristiwa (event) : Himpunan bagian dari ruang sampel, misalnya muncul muka
bergambar angka (A).
 Variabel acak (random variable) : adalah suatu fungsi yang memetakan setiap elemen
(peristiwa) dalam ruang sampel terhadap satu elemen dalam himpunan bilangan riil.
Misalnya eksperimen pengundian tiga koin yang sama yang bergambar angka (A) dan
bergambar huruf (H) akan memiliki ruang sampel :
S = {(A,A,A), (A,A,H), (A,H,A), (A,H,H), (H,A,A), (H,A,H), (H,H,A), (H,H,H)}
Misalkan variabel acak X yang menunjukkan jumlah muka A yang muncul
Ruang Sampel
(A,A,A)
(A,A,H)
(A,H,A)
(A,H,H)
(H,A,A)
(H,A,H)
(H,H,A)
(H,H,H)
Himpunan Bilangan Riil
0
1
2
3
Sehingga X = {0, 1, 2, 3}
Variabel acak adalah variabel yang nilainya bisa terjadi dengan probabilitas tertentu,
misalnya untuk X = 0 → {(H,H,H)} → P(X = 0) = 1/8
 Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang nilainya dinyatakan dengan bilangan
bulat (integer) → hasil penghintungan (counting)
 Variabel acak kontinu adalah variabel acak yang nilainya dinyatakan dengan bilangan
bulat atau desimal → hasil pengukuran (measurement)
 Distribusi probabilitas variabel acak menunjukkan tersebarnya nilai-nilai probabilitas
untuk setiap nilai variabel acak yang dihasilkan dari suatu ekperimen.
©Rina Sugiarti
Page 1
STATISTIKA 1
FEUG
Misalnya eksperimen pengundian (toss) sebuah koin dengan muka bergambar angka (A)
dan muka bergambar huruf (H) sebanyak tiga kali berturut-turut. Juga dimisalkan variabel
acak X menunjukkan jumlah muka A yang muncul dari eksperimen tersebut.
Tentukan distribusi probabilitas variabel acak X tersebut.
A
(A,A,A)
X=3
H
A
(A,A,H)
(A,H,A)
X=2
X=2
H
(A,H,H)
X=1
A
(H,A,A)
X=2
H
A
(H,A,H)
(H,H,A)
X=1
X=1
H
(H,H,H)
X=0
A
A
H
A
H
H
Keseluruhan nilai variabel acak yang muncul dari eksperimen tersebut ada 8, terdiri dari :
X = 0 ada 1 berarti P(X = 0) = 1/8
X = 1 ada 3 berarti P(X = 1) = 3/8
X = 2 ada 3 berarti P(X = 2) = 3/8
X = 3 ada 1 berarti P(X = 3) = 1/8
Jadi distribusi probabilitas untuk variabel acak X tersebut adalah :
X=x
0
1
2
3
Jumlah
P(X = x)
1/8
3/8
3/8
1/8
1
 Rata-rata variabel acak secara teoritis :
Jika X adalah variabel acak dengan nilai-nilai yang mungkin terjadi adalah x1, x2, ... , xn
dan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut adalah P(x1), P(x2), ... , P(xn),
maka rata-rata dari variabel acak X tersebut adalah :
 X  x 1P( x 1 )  x 2 P( x 2 )  ...  x n P( x n )   X 
n
 x P( x ) atau
i
i
  X  E( X) 
i 1
n
 x P( x )
i
i
i 1
dimana E(X) adalah expected value dari variabel acak X yang juga merupakan rata-rata
populasi (population mean).
 Varians dan Standar Deviasi variabel variabel acak secara teoritis :
Jika X adalah variabel acak dengan nilai-nilai yang mungkin terjadi adalah x1, x2, ... , xn
dan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut adalah P(x1), P(x2), ... , P(xn),
maka varians dari variabel acak X tersebut adalah :
 2X  Var ( X)  ( x 1   X ) 2 P( x 1 )  ( x 2   X ) 2 P( x 2 )  ...  ( x n   X ) 2 P( x n )
 2X 
n
 (x
i
  X ) 2 P( x i )
i1
 2X 
n
 (x
2
i
 2x i  X   2X )P( x i )
i1
 2X 
n

x i2P( x i )  2 X
i1
©Rina Sugiarti
n

i1
x iP( x i )   2X
n
 P( x )
i
i1
Page 2
STATISTIKA 1
n
Karena

FEUG
x i2P( x i )  E( X 2 ) ;
i1
n

x iP( x i )   X ; dan
n
 P( x )  1
i
i1
i1
Maka  2X  E( X 2 )  2 2X   2X →  2X  E( X 2 )   2X →  2X  Var ( X)  E( X 2 )  {E( X)} 2
Standar deviasi variabel X tersebut adalah :
 X  Var ( X)   X  E( X 2 )  {E( X)} 2
 Misalnya eksperimen pengundian (toss) sebuah koin dengan muka bergambar angka (A)
dan muka bergambar huruf (H) sebanyak tiga kali berturut-turut. Juga dimisalkan variabel
acak X menunjukkan jumlah muka A yang muncul dari eksperimen tersebut. Tentukan :
(a) Tentukan distribusi probabilitas variabel acak X
(b) Rata-rata dan varians untuk variabel acak X tersebut.
Jawab :
(a) Distribusi probabilitas variabel acak X tersebut adalah :
X=x
0
1
2
3
Jumlah
P(X = x)
1/8
3/8
3/8
1/8
1
(b) Rata-rata variabel acak X tersebut adalah :
 X  E( X)  0(1/ 8)  1(3 / 8)  2(3 / 8)  3(1/ 8)  12 / 8  3 / 2  1.5
Varians variabel acak X tersebut adalah :
Var ( X)  E( X 2 )   2X
Var ( X)  {0 2 (1/ 8)  12 (3 / 8)  2 2 (3 / 8)  3 2 (1/ 8)}  (3 / 2) 2  3 / 4
Var ( X)  0.75   X  0.75  0.866
Jadi μX = 1,5 dan σX = 0.866
 Jika X adalah variabel acak diskrit, maka rata-rata dan variansnya adalah :
 X  E( X) 
n
 x P( x )
i
i
i1
 2X  Var ( X)  E( X 2 )  {E( X)} 2 dengan E( X 2 ) 
n
 x P( x )
2
i
i
i1
 Jika X adalah variabel acak kontinu, maka rata-rata dan variansnya adalah :
 X  E( X)  xf ( x)dx dimana f(x) adalah probability density function variabel acak X


 2X  Var ( X)  E( X 2 )  {E( X)} 2 dengan E( X 2 )  x 2 f ( x)dx
©Rina Sugiarti
Page 3
STATISTIKA 1
©Rina Sugiarti
FEUG
Page 4