Probabilitas

1
KONSEP DASAR
PROBABILITAS
Pengantar :
2



Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang
sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang
akan datang.
Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti,
tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk
menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan
bahwa sesuatu akan terjadi.
Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari
munculnya hasil percobaan statistik disebut
Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.
Konsep dan definisi dasar
3



Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala
kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh.
Ruang sampel adalah himpunan seluruh
kemungkinan outcome dari suatu
eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan
dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan
n(S).
Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari
outcome dalam suatu ruang sampel.
Contoh :
4



Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah sikring
satu persatu secara berurutan dan mencatat kondisi
sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring
yang baik dan R untuk sikring yang rusak.
Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas
pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB,
BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam ruang
sampel S adalah n(S) = 23 = 8.
Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikring
yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome
dalam ruang peristiwa adalah n(A) = 3.
Definisi probabilitas
5

Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara
yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu
mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka
probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :
n( A) m
P( A) 

n( S ) n
Sifat-sifat probabilitas kejadian A :
6



0  P(A)  1 , artinya nilai probabilitas kejadian
A selalu terletak antara 0 dan 1
P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak
terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas
kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa
kejadian A mustahil untuk terjadi.
P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka
probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat
dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.
Contoh (1):
7
Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah
probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka?
Jawab :
 Misal M = Muka , B = Belakang
 Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB,
BM, BB}
 Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah
A = {MM, MB, BM}
Jadi,
 Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka
adalah

P( A) 
n( A) 3

n( S ) 4
Contoh (2):
8
Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3
coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari
salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk
mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat.
Jawab :
 Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat
n( M ) 6
P
(
M
)


(a). Probabilitas mendapatkan mint =

n( S )
(b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =
P(C  T ) 
13
n(C  T ) n(C )  n(T )  n(C  T ) 4  3  0 7



n( S )
n( S )
13
13
PERMUTASI
9

Permutasi sejumlah obyek adalah penyusunan
obyek tersebut dalam suatu urutan tertentu.
Dalil 1 Permutasi : Banyaknya Permutasi n benda
yang berbeda adalah n!
Contoh : Dari huruf A, B, C → permutasi yang
mungkin adalah: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB dan
CBA. P

10

Dalil 2 Permutasi : Banyaknya permutasi r benda
dari n benda yang berbeda adalah :
Contoh :
11
Dalil 3 Permutasi (Permutasi Melingkar):
Banyaknya permutasi n benda yang disusun dalam
suatu lingkaran adalah (n-1)!
Contoh : Enam orang bermain bridge dalam susunan
melingkar. Berapa susunan yang mungkin dibentuk?
n = 6 maka permutasi melingkar = (6-1)! = 5! = 5
× 4 × 3 × 2 ×1 = 120

12

Dalil 4 Permutasi (Permutasi Bersekat) Banyaknya
permutasi untuk sejumlah n benda :
Contoh : Berapa permutasi dari kata STATISTIKA?
S = 2; T = 3; A = 2; I = 2; K = 1
KOMBINASI (C)
13


Kombinasi r obyek yang dipilih dari n obyek
adalah susunan r obyek tanpa memperhatikan
urutan.
Misalkan : Kombinasi 2 dari 3 obyek A, B dan C
adalah
1. A dan B = B dan A
2. A dan C = C dan A
3. B dan C = C dan B
Kaidah perkalian kombinasi
14
Probabilitas kejadian majemuk (1):
15

Bila A dan B kejadian sembarang pada
ruang sampel S, maka probabilitas gabungan
kejadian A dan B adalah kumpulan semua
titik sampel yang ada pada A atau B atau
pada keduanya.
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Probabilitas kejadian majemuk (2):
16

Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada
ruang sampel S, maka probabilitas
gabungan kejadian A, B, dan C adalah :
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( A  B)
 P( A  C )  P( B  C )  P( A  B  C )
Contoh :
17
Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah 2/3
dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bila
probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah
probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari
kedua pelajaran tersebut?
Jawab :
 Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalah
kejadian lulus bahasa inggris, maka :
Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah :
P(M  B) = P(M) + P(B) – P(M  B)
= 2/3 + 4/9 – 1/4
= 31/36

Dua kejadian saling lepas (disjoint
events atau mutually exclusive):
18
Bila A dan B dua kejadian saling lepas,
maka berlaku :

P( A  B)  P( A)  P( B)

Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas,
maka berlaku :
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )
Contoh :
19
Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 bila
sepasang dadu dilemparkan?
Jawab :
 Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A = {(1,6),
(6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}
 Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6),
(6,5)}
 Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11
adalah :
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
= 6/36 + 2/36 – 0
= 8/36

Dua kejadian saling komplementer:
20

Bila A dan A’ dua kejadian dalam S yang saling
komplementer, maka berlaku :
P( A' )  1  P( A)
Contoh:
21
Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya
muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu
yang tidak sama.
Jawab :
 Misal A
= kejadian munculnya muka dua dadu yang sama
= {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
maka P(A) = 6/36
 Sehingga,
Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’)
adalah:
P(A’) = 1 – P(A)
= 1 – 6/36
= 30/36

Dua kejadian saling bebas (independent):
22



Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling
mempengaruhi.
Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan
saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi
probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian
B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A.
Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :
P( A  B)  P( A) . P( B)
Contoh:
23

Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka
dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas?
Jawab :

Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)}

Misalkan,
A
= kejadian muncul muka dari uang logam 1  P(A) = 2/4 = ½
= {(m,m), (m,b)}
B
= kejadian muncul muka dari uang logam 2  P(B) = 2/4 = ½
= {(m,m), (b,m)}
AB
= kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2
= {(m,m)}  P(A  B) = ¼

P(A  B)
Bila A dan B saling bebas berlaku :
Jadi, A dan B saling bebas.
= P(A). P(B)
¼
= ½ . ½
¼
=
¼
Probabilitas bersyarat (conditional probability):
24


Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi
dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi
atau akan terjadi atau diketahui terjadi.
Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca
“probabilitas dimana B terjadi karena A
terjadi”
P( A  B)
P( B A) 
,
P( A)
jika P( A)  0
Contoh :
25


Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya rusak.
Bila 2 sekering diambil dari kotak satu demi satu secara acak tanpa
mengembalikan yang pertama ke dalam kotak. Berapakah peluang
kedua sekering itu rusak?
Jawab :
Misalkan A = kejadian sekering pertama rusak
B = kejadian sekering kedua rusak
Maka peluang kedua sekering itu rusak = P(A  B)
P(A  B) = P(A). P(BA)
= 5/20 . 4/19
= 1/19
Aturan Bayes :
26


Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian
saling lepas dalam ruang sampel S.
B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S.
S
B
A1
A2
A3
27
probabilitas kejadian B adalah :
P(B)
= P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3)
=
3
 P( B A ).P( A )
i 1
i
i
disebut Hukum Probabilitas Total
28

Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian
saling lepas dalam ruang sampel S dan B
kejadian lain yang sembarang dalam S, maka
probabilitas kejadian bersyarat AiB dirumuskan
sebagai berikut :
P( B Ai ).P( Ai )
P( B  Ai )
P( Ai B) 
 n
P( B)
 P( B Ai ).P( Ai )
i 1
disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).
Contoh:
29



Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1
berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola
putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup
Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan
kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang
terambil itu..
Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah?
Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?
Jawab
30

P(bola yang terambil berwarna merah) =
P(M )  P(1).P(M 1)  P(2).P(M 2)  P(3).P(M 3)
1 2 1 1 1
2 1 3
 .  .  .0 
  0.5
3 2 3 2 3
6
6

P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =
P(2 M ) 
P(2).P( M 2)
P( M )
1 .1
1
1
3
2
6


  0.33
3
3
3
6
6
31
LATIHAN SOAL
Soal 1:
32




Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih,
dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak,
tentukanlah probabilitas terpilihnya bola :
Merah
Tidak biru
Merah atau putih
Soal 2:
33

Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok, diketahui :
Sarjana teknik pria 1 orang, Sarjana teknik wanita 3 orang, , dan
Sarjana ekonomi pria 2 orang, dan Sarjana ekonomi wanita 4 orang
Dari 10 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang untuk menjadi
manajer pemasaran.


Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian bahwa manajer
adalah seorang wanita?
Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian bahwa manajer
adalah seorang sarjana teknik?

Hitunglah P(AB).

Hitunglah P(AB).
Soal 3:
34





Ada 3 kotak yaitu 1, 2, dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan
putih, seperti yang dituliskan dalam tabel di bawah ini
Mula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak yang
terpilih diambil 1 bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai
kesempatan yang sama untuk terpilih.
Berapa peluang bahwa bola itu merah ?
Berapa peluang bahwa bola itu putih ?
Bila bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak
1?
Bila bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak
2?
Kotak 1
Kotak 2
Kotak 3
Jumlah
Bola merah
5
7
8
20
Bola putih
4
3
9
16
Jumlah
9
10
17
36
Soal 4
35

Sebuah sistem mekanik memerlukan dua fungsi sub-sistem yang
saling berkaitan. Skema penyederhaan sistem tersebut terlihat
dalam gambar di bawah. Terlihat bahwa A harus berfungsi dan
sekurangnya salah satu dari B harus berfungsi agar sistem mekanik
itu bekerja baik. Diasumsikan bahwa komponen-komponen B bekerja
dengan tidak bergantung satu sama lain dan juga pada komponen
A. Probabilitas komponen berfungsi baik adalah untuk A = 0.9 dan
masing-masing B = 0.8. Hitunglah probabilitas sistem mekanik
tersebut berfungsi dengan baik.
B1
Input
A
Output
B2
Soal 5
36

Mesin produksi dari PT Sukses Jaya ada 2. Kapasitas produksi mesin
pertama adalah 30% dan mesin kedua adalah 70%. 40% dari
produksi mesin pertama menggunakan komponen lokal dan sisanya
menggunakan komponen impor. Sedangkan 50% dari mesin kedua
menggunakan komponen lokal dan sisanya menggunakan komponen
impor. Apabila dipilih secara random sebuah produksi, berapa
probabilitas:


Produk yang terambil menggunakan komponen lokal
Bila diketahui produk yang terambil menggunakan komponen lokal,
berapa probabilitas produk tersebut dari mesin pertama.