Teorema Rantai

Matematika Dasar
TEOREMA RANTAI
Untuk mendapatkan turunan dari fungsi komposisi dapat dilakukan dengan cara
mencari bentuk ekplisit dari hasil komposisi fungsi. Namun dapat juga dicari dengan cara
langsung menggunakan metode atau aturan rantai.
Misal diberikan fungsi : y = f ( u ( x )) . Maka turunan pertama terhadap x yaitu :
dy d ( f ( u) ) d ( u( x) )
=
= f ' ( u) u ' ( x )
dx
du
dx
Bila y = f(u ) dengan u = v(x) maka turunan pertama dari y terhadap x dicari :
dy d ( f ( u) ) d (u( v ) ) d ( v( x ) )
=
= f ' ( u) u ' ( v) v '( x )
dx
du
dv
dx
Metode penurunan di atas dikenal dengan teorema rantai.
Contoh
Cari turunan dari fungsi f ( x ) = sin (3 x)
Jawab:
Misal u(x) = 3x. Maka fungsi f(x) dapat dinyatakan dengan f ( x ) = sin (u ) . Turunan
terhadap x yaitu
df
= f ' (u ) u' ( x ) = 3 cos (3 x )
dx
Contoh
Cari nilai turunan pertama di x = 1 dari fungsi f ( x ) = tan π 2 x
Jawab :
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
2
Misal v(x) = π x dan u (v ) = v ,. Maka fungsi dapat dituliskan dengan f ( x ) = tan u .
Turunan terhadap x,
yaitu f ' (1) =
df
π2
= f ' (u ) u '(v ) v' ( x ) =
sec 2 π 2 x . Nilai turunan di x = 1,
2
dx
2 π x
π
2
Soal latihan
( Nomor 1 sd 7 ) Tentukan turunan pertama dari
1. y = ( 2 x − 3) 10
2. y = sin3 x
(
)
3. y = cos 4 x 2 − x
 x + 1 2
4. y = 

 x − 1
 x 2 − 1

5. y = cos 

x
+
4


2
6. y = sin x tan [ x + 1 ]
7. y = sin [ cos ( sin 2x ) ]
 x 2 + 1 2

8. Hitung f ‘ ( 3 ) bila f ( x ) = 

x
+
2


9. Hitung g ‘ ( ½ ) bila g ( t ) = cos π t sin2 π t
10. Tentukan
( fog ) ' (1)
bila f(x) = cos π x dan g ( x ) =
'
11. Tentukan ( fog ) ( − 1) bila f ( x ) =
1
2 x
1
− 1 dan g ( x ) = x 2 − 4 x
x
(
) 3( x4 + 1) 2 di titik
12. Tentukan persamaan garis singgung dan normal kurva y = x 2 + 1
dengan absis x = 1.
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung