Deret Fourier - Universitas Brawijaya

TKS 4007
Matematika III
Deret Fourier
(Pertemuan XI)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Perhitungan koefisien-koefisien Fourier sering kali dipermudah,
jika fungsi f(x) yang diuraikan memiliki sifat istimewa tertentu,
yakni genap atau ganjil terhadap sumbu x = 0 (sumbu f(x)).
Keduanya didefinisikan sebagai berikut :
• Sebuah fungsi f(x) adalah :
a. genap, jika berlaku f(-x) = f(x)
b. ganjil, jika berlaku f(-x) = -f(x)
• untuk semua x dalam daerah definisi f(x).
1
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
(lanjutan)
Contoh :
Fungsi x2 dan cos x adalah fungsi genap, karena (-x)2 = x2 dan
cos (-x) = cos x. Sedangkan fungsi x dan sin x adalah fungsi
ganjil, karena (-x) = -(x) dan sin (-x) = -sin (x). Pada umumnya
fungsi pangkat genap dari x seperti (x2, x4, x6, …) merupakan
fungsi genap, sedangkan fungsi pangkat ganjil dari x seperti (x,
x3, x5, …) merupakan fungsi ganjil. Dengan definisi tesebut
dapat dicari contoh-contoh lain dari kedua fungsi tersebut.
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
(lanjutan)
Untuk menentukan koefisien-koefisien Fourier a0, an, dan bn dari
1
1
fungsi periodik genap dan ganjil dengan 𝐿 = 2 𝑇 = 2 periode
dipergunakan perumusan sebagai berikut :
2
𝑎0 =
𝐿
Jika 𝒇 𝒙 genap
𝑎𝑛 =
2
𝐿
𝐿
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
0
𝐿
𝑓 𝑥 cos
0
𝑛𝜋𝑥
𝑑𝑥
𝐿
𝑏𝑛 = 0
Untuk kasus ini, dikatakan f(x) fungsi genap dan teruraikan
dalam deret cosinus (bn = 0).
2
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
(lanjutan)
𝑎0 = 0
𝑎𝑛 = 0
Jika 𝒇 𝒙 ganjil
2
𝑏𝑛 =
𝐿
𝐿
𝑓 𝑥 sin
0
𝑛𝜋𝑥
𝑑𝑥
𝐿
Untuk kasus ini, dikatakan f(x) fungsi ganjil dan teruraikan
dalam deret sinus (an = 0).
Fungsi Jangkauan Setengah
Misalkan suatu fungsi f(x) didenisikan pada interval (0;L).
Fungsi ini dapat diekspansikan kedalam deret Fourier dengan
cara mengembangkan fungsi f pada interval (-L;L). Jadi
diperlukan pendenisian fungsi pada interval (-L;0). Ada dua cara
yang dapat dilakukan, yaitu :
1. fungsi f dikembangkan menjadi fungsi ganjil
2. atau menjadi fungsi genap.
Untuk lebih jelasnya kedua cara ini dapat dilihat pada dua
gambar berikut yang menunjukkan deret Fourier Jangkauan
Setengah.
3
Fungsi Setengah Jangkauan
(lanjutan)
Untuk pengembangan menjadi
fungsi ganjil, maka akan didapat
deret :
∞
𝒏𝝅𝒙
𝒃𝒏 𝐬𝐢𝐧
𝑳
𝒏=𝟏
dengan
𝟐
𝒃𝒏 =
𝑳
𝑳
𝒇(𝒙) 𝐬𝐢𝐧
𝟎
𝒏𝝅𝒙
𝒅𝒙
𝑳
Fungsi Setengah Jangkauan
(lanjutan)
Sedangkan untuk pengembangan
menjadi fungsi genap, maka akan
didapat deret :
∞
𝒂𝟎
𝒏𝝅𝒙
+
𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬
𝟐
𝑳
𝒏=𝟏
dengan
𝟐
𝒂𝒏 =
𝑳
𝑳
𝒇(𝒙) 𝐜𝐨𝐬
𝟎
𝒏𝝅𝒙
𝒅𝒙
𝑳
4
Contoh
Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi pada setengah daerah
seperti gambar berikut :
Kembangkan fungsi tersebut dalam :
a. Deret Fourier fungsi cosinus
(fungsi genap).
b. Deret Fourier fungsi sinus (fungsi
ganjil).
c. Deret Fourier fungsi cosinus-sinus
(fungsi setengah jangkauan).
Contoh (lanjutan)
Penyelesaian
Dari gambar tersebut, fungsi yang dimaksud adalah :
𝒙,
𝟎<𝒙<𝟏
𝒇 𝒙 =
𝟏,
𝟏<𝒙<𝟐
a. Untuk pengembangan fungsi dalam deret Fourier cosinus
(fungsi genap), maka selang dasar (0 < x < 2) diperluas ke
selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas
menjadi fungsi periodik genap {f(-x) = f(x)} dengan periode
T = 2L = 4 (karena L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar
berikut :
5
Contoh (lanjutan)
Untuk fungsi genap  bn = 0, sedangkan a0 dan an ditentukan
sebagai berikut :
Contoh (lanjutan)
6
Contoh (lanjutan)
Selanjutnya akan diperoleh pernyataan deret Forier cosinus
untuk f(x) sebagai berikut :
Contoh (lanjutan)
b. Untuk pengembangan fungsi dalam deret Fourier sinus
(fungsi ganjil), maka selang dasar (0 < x < 2) diperluas ke
selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas
menjadi fungsi periodik genap {f(-x) = -f(x)} dengan periode
T = 2L = 4 (karena L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar
berikut :
7
Contoh (lanjutan)
Untuk fungsi ganjil  a0 = 0, bn = 0, dan bn ditentukan sebagai
berikut :
Contoh (lanjutan)
Selanjutnya akan diperoleh pernyataan deret Forier sinus untuk
f(x) sebagai berikut :
8
Contoh anjutan)
c. Untuk pengembangan fungsi dalam deret Fourier cosinussinus (fungsi setengah jangkauan), maka tinggal memperluas
f(x) ke kiri dan ke kanan sumbu x dengan periode T = 2L = 2
(karena L = 1) seperti ditunjukkan pada gambar berikut :
Untuk fungsi setengah jangkauan  a0, b0, dan bn
ditentukan sebagai berikut :
Contoh (lanjutan)
9
Contoh (lanjutan)
Contoh (lanjutan)
Selanjutnya akan diperoleh pernyataan deret Forier cosinus-sinus
(fungsi setengah jangkauan) untuk f(x) sebagai berikut :
10
Latihan
Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi seperti berikut :
𝒙,
jika 𝟎 < 𝒙 < 𝟒
𝒇 𝒙 =
𝟖 − 𝒙, jika 𝟒 < 𝒙 < 𝟖
Kembangkan fungsi tersebut (jika ada) ke dalam :
a. Deret Fourier fungsi genap.
b. Deret Fourier fungsi ganjil.
c. Deret Fourier fungsi setengah jangkauan.
dan gambarkan fungsi tersebut dan pengembangannya!
Terima kasih
dan
Semoga Lancar Studinya!
11