Metode Numerik Dichotomus

Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Metode Numerik Dichotomus
Rukmono Budi Utomo
Prodi S1 Pendidikan Matematika
UMT
April 4, 2016
Rukmono Budi Utomo
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Rukmono Budi Utomo
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus adalah salah satu metode numerik
yang dapat digunakan untuk menentukan nilai x yang
meminimumkan suatu fungsi dari f (x).
I
Metode Numerik ini analogi nya sama seperti metode numerik
lainnya seperti GR, Fibonacci dan biseksi, namun tentu saja
memiliki karakteristik tersendiri
Rukmono Budi Utomo
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Algoritma Dichotomus
Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut
I
Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x),
dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin
Z = F (x) tersebut
Rukmono Budi Utomo
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Algoritma Dichotomus
Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut
I
Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x),
dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin
Z = F (x) tersebut
I
Tetapkan konstanta > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang
diinginkan
Rukmono Budi Utomo
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Algoritma Dichotomus
Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut
I
Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x),
dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin
Z = F (x) tersebut
I
Tetapkan konstanta > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang
diinginkan
I
Tetapkan interval awal [a1 , b1 ] . Pemilihan interval ini harus
mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) di
atas
Rukmono Budi Utomo
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Algoritma Dichotomus
Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut
I
Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x),
dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin
Z = F (x) tersebut
I
Tetapkan konstanta > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang
diinginkan
I
Tetapkan interval awal [a1 , b1 ] . Pemilihan interval ini harus
mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) di
atas
I
Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan
( 12 )n ≤
Rukmono Budi Utomo
l
b−a
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Algoritma Dichotomus
Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut
I
Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x),
dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin
Z = F (x) tersebut
I
Tetapkan konstanta > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang
diinginkan
I
Tetapkan interval awal [a1 , b1 ] . Pemilihan interval ini harus
mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) di
atas
I
Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan
( 12 )n ≤
Rukmono Budi Utomo
l
b−a
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
lanjutan
I
Penentuan λk dan µk dilakukan dengan cara:
λk =
ak +bk
2
− dan µk =
Rukmono Budi Utomo
ak +bk
2
+
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
lanjutan
I
Penentuan λk dan µk dilakukan dengan cara:
λk =
I
ak +bk
2
− dan µk =
ak +bk
2
+
Kondisi 1 Jika F (λk ) < F (µk ), pilih ak+1 = ak dan
bk+1 = µk
Kondisi 2 Jika F (λk ) > F (µk ), pilih ak+1 = λk dan
bk+1 = bk
Rukmono Budi Utomo
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
lanjutan
I
Penentuan λk dan µk dilakukan dengan cara:
λk =
ak +bk
2
− dan µk =
ak +bk
2
+
I
Kondisi 1 Jika F (λk ) < F (µk ), pilih ak+1 = ak dan
bk+1 = µk
Kondisi 2 Jika F (λk ) > F (µk ), pilih ak+1 = λk dan
bk+1 = bk
I
Iterasi berhenti ketika bk − ak < l
Rukmono Budi Utomo
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Contoh Soal
Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = 2x 2 − 5x + 3
dengan selang awal [0, 2], = 0.01 dan l = 0.1
Solusi
I
Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan
l
1
= 20
, didapatkan n = 5
( 12 )n ≤ b−a
Rukmono Budi Utomo
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Contoh Soal
Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = 2x 2 − 5x + 3
dengan selang awal [0, 2], = 0.01 dan l = 0.1
Solusi
I
Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan
l
1
= 20
, didapatkan n = 5
( 12 )n ≤ b−a
I
λ1 = 0+2
2 − 0.01 dan µ1 =
dan µ1 = 1.01
Rukmono Budi Utomo
0+2
2
+ 0.01 , didapatkan λ1 = 0.99
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Contoh Soal
Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = 2x 2 − 5x + 3
dengan selang awal [0, 2], = 0.01 dan l = 0.1
Solusi
I
Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan
l
1
= 20
, didapatkan n = 5
( 12 )n ≤ b−a
I
λ1 = 0+2
2 − 0.01 dan µ1 =
dan µ1 = 1.01
I
F (λ1 ) = 0.0102 > F (λ2 ) = −0.0098, dengan demikian
a2 = 0.99 dan b2 = 2
Rukmono Budi Utomo
0+2
2
+ 0.01 , didapatkan λ1 = 0.99
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
Contoh Soal
Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = 2x 2 − 5x + 3
dengan selang awal [0, 2], = 0.01 dan l = 0.1
Solusi
I
Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan
l
1
= 20
, didapatkan n = 5
( 12 )n ≤ b−a
I
λ1 = 0+2
2 − 0.01 dan µ1 =
dan µ1 = 1.01
I
F (λ1 ) = 0.0102 > F (λ2 ) = −0.0098, dengan demikian
a2 = 0.99 dan b2 = 2
I
b1 − a1 = 2 > 0.1 = l, iterasi dilanjutkan sampai terpenuhinya
kondisi bk − ak < l
Rukmono Budi Utomo
0+2
2
+ 0.01 , didapatkan λ1 = 0.99
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
lanjutan
Hasil perhitungan disajikan dalam tabel di bawah ini:
ak
0
0.99
0.99
...
...
1.2375
bk
2
2
1.505
...
...
1.319375
λk
0.99
1.485
1.2375
...
...
...
Rukmono Budi Utomo
µk
1.01
1.505
1.2575
...
...
...
F (λk )
0.0102
-0.01455
-0.1247
...
...
...
Metode Numerik Dichotomus
F (µk )
-0.0098
0.00505
-0.1249
...
...
...
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
lanjutan
Hasil perhitungan disajikan dalam tabel di bawah ini:
ak
0
0.99
0.99
...
...
1.2375
bk
2
2
1.505
...
...
1.319375
λk
0.99
1.485
1.2375
...
...
...
µk
1.01
1.505
1.2575
...
...
...
F (λk )
0.0102
-0.01455
-0.1247
...
...
...
F (µk )
-0.0098
0.00505
-0.1249
...
...
...
Terlihat bahwa pada iterasi ke 6, bk − ak < 0.1 = l dengan
demikian iterasi berhenti dan nilai x yang meminimumkan fungsi
F (x) = 2x 2 − 5x + 3 ada pada selang [1.2375, 1.319375] dengan
hampiran solusi x ∗ = 1.2784375 dan nilai F (x ∗ ) = −0.123383
Rukmono Budi Utomo
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
lanjutan
Apabila solusi analitik dicari, maka nilai x asli yang yang
meminimumkan fungsi F (x) = 2x 2 − 5x + 3 adalah x = 1.25
dengan F (x ∗ ) = −0.125. Eror kesalahan nilai hampiran numerik
adalah = |1.2784375 − 1.25| = 0.0284375 dengan eror nilai
F (x ∗ ) terhadap F (x) adalah 0.001617
Rukmono Budi Utomo
Metode Numerik Dichotomus
Metode Numerik Dichotomus
Algoritma Metode Numerik Dichotomus
Contoh Soal
lanjutan
Apabila solusi analitik dicari, maka nilai x asli yang yang
meminimumkan fungsi F (x) = 2x 2 − 5x + 3 adalah x = 1.25
dengan F (x ∗ ) = −0.125. Eror kesalahan nilai hampiran numerik
adalah = |1.2784375 − 1.25| = 0.0284375 dengan eror nilai
F (x ∗ ) terhadap F (x) adalah 0.001617
Tugas Tentukan nilai x yang meminimumkan F (x) = X 3 − 3X 2
dengan selang awal [0, 4] , = l = 0 + JumlahanNim. Kumpulkan
Minggu depan.
Rukmono Budi Utomo
Metode Numerik Dichotomus