materi statistik ii

MATERI STATISTIK II
l Teori Probabilitas
l Variabel Acak dan Nilai Harapan
l Distribusi Teoritis
l Distribusi Sampling
l Pengujian Hipotesis
l Regresi dan Korelasi Linear Sederhana
l Statistik Nonparametrik
Genrawan Hoendarto
Daftar Pustaka
l Dayan, Anto ( 1998 ), “Pengantar Metode
Statistik”, Jilid 2 LP3ES, Jakarta
l Mendenhell, W, J.E. Reinmuth and R.J. Beaver,
(1993), “Statistic for Management and
Economics”, Duxbury Press Belmount, California
l Supranto, J. (1994), “Statistik: Teori dan
Aplikasi”, jilid 2, Penerbit Erlangga, Jakarta
l Walpole, R.E. ( 1998 ), “Pengantar Statistika”,
Edisi 3, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta
l Ir. M. Iqbal Hasan, M.M, ( 2001 ) “Pokok-Pokok
materi Statistik 2”, Edisi kedua, Penerbit Bumi
Aksara
Genrawan Hoendarto
PERMUTASI DAN KOMBINASI
A. Permutasi
Jika kejadian pertama dapat terjadi
dalam n1 cara, kejadian kedua dalam n2
cara, dan seterusnya, maka n1 X n2 X … X
nk cara.
Faktorial
adalah perkalian semua
bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut
mulai dari bilangan 1 sampai dengan
bilangan bersangkutan atau sebaliknya.
Faktorial dilambangkan dengan “ ! ”
Genrawan Hoendarto
Permutasi adalah suatu penyusunan atau
pengaturan beberapa objek ke dalam suatu
urutan tertentu.
1. Permutasi dari n objek tanpa pengembalian :
- Permutasi dari n objek seluruhnya : nPn = n!
- Permutasi sebanyak r dari n objek :
nPr = n!/(n-r)! dimana (n>=r)
- Permutasi melingkar : (n – 1)!
2. Permutasi dari n objek dengan pengembalian
nPr = nr dimana r <= n
3. Permutasi dari n objek yang sama :
nPn1, n2, n3, … = n! / (n1! X n2 ! X n3 ! X…)
dengan n1 + n2 + n3, + … = n
Genrawan Hoendarto
B.
Kombinasi
Kombinasi adalah suatu penyusunan
beberapa objek tanpa memperhatikan
urutan objek tersebut
1. Kombinasi r dari n objek yang berbeda :
cnr = n! / ( r! ( n-r ) ! n >= r
2. Hubungan Permutasi dengan Kombinasi
berbeda :
Pnr = r! cnr atau cnr = Pnr / r !
Genrawan Hoendarto
C.
Probabilitas
Pengertian probabilitas : suatu indeks atau
nilai yg digunakan untuk menentukan
tingkat terjadinya suatu kejadian yg
bersifat random/acak.
1. Pendekatan klasik : hasil bagi dari
banyaknya peristiwa yang dimaksud
dengan seluruh peristiwa yang mungkin
P(A) = X / n
dimana :
P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A
X = peristiwa yang dimaksud
n = banyaknya peristiwa yg mungkin
terjadi
Genrawan Hoendarto
2. Pendekatan frekwensi relatif : proporsi
waktu terjadinya suatu peristiwa dalam
jangka panjang jika kondisi stabil atau
frekwensi relatif dari seluruh peristiwa
dalam sejumlah besar percobaan
P(Xi) = limit fi / n dimana :
n→~
P(Xi) = probabilitas peristiwa i
fi = frekwensi peristiwa i
n = banyaknya peristiwa yg bersangkutan
3. Pendekatan subjektif : tingkat kepercayaan individu yang didasarkan pada
peristiwa masa lalu yang berupa terkaan
saja
Genrawan Hoendarto
1. Percobaan adalah proses pelaksanaan
pengukuran
atau
observasi
yg
bersangkutan, misalnya pelemparan 2
buah uang logam
2. Ruang sampel adalah himpunan semua
hasil yg mungkin pada suatu percobaan,
misalnya {A,G}, {A,A},{G,G}, {G,A}
3. Titik sampel adalah setiap anggota dari
ruang sampel, misalnya G (gambar) dan
A (angka)
4. Kejadian
atau
peristiwa
adalah
himpunan bagian dari ruang sampel
pada suatu percobaan, atau hasil dari
suatu percobaan, misalnya A dengan A,
A dengan G dan G dengan G
Genrawan Hoendarto
Probabilitas beberapa peristiwa
1. Peristiwa saling lepas (mutually exclusive) :
Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa
saling lepas jika kedua atau lebih peristiwa
itu tidak dapat terjadi pada saat yang
bersamaan, disebut juga peristiwa saling
asing.
P(A∪B) atau P(A atau B) = P(A) + P(B)
Genrawan Hoendarto
2. Peristiwa tidak saling lepas (nonexclusive) :
Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa
tidak saling lepas jika kedua atau lebih
peristiwa itu dapat terjadi pada saat yang
bersamaan,
disebut
juga
peristiwa
bersama.
P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P ( A ∩ B )
3 peristiwa A, B, C tidak saling lepas :
P(A∪B ∪C) = P(A) + P(B) + P(C) –
P(A∩B) –P(A∩C)–P(B∩C)+
P(A∩B∩C)
Genrawan Hoendarto
3. Peristiwa saling bebas (independen) : Dua
peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling
bebas jika terjadinya peristiwa yg satu tidak
mempengaruhi terjadinya peristiwa yg lain.
a. Probabilitas marginal atau tak bersyarat,
adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa
yg tidak memiliki hubungan dengan terjadinya
peristiwa lain, jadi tidak saling mempengaruhi
b. Probabilitas gabungan adalah probabilitas
terjadinya dua peristiwa atau lebih secara
berurutan dan peristiwa –peristiwa tersebut
tidak saling mempengaruhi
P(Adan B) = P ( A ∩ B ) = P(A) X P(B)
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) X P(B) X P(C)
c. Probabilitas bersyarat adalah probabilitas
terjadinya suatu peristiwa dengan syarat
peristiwa lain harus terjadi dulu.
P(B/A) = P(B)
Genrawan Hoendarto
3. Peristiwa tidak saling bebas (dependen) :
Dua peristiwa / lebih disebut tdk saling
bebas jika peristiwa yg satu dipengaruhi
terjadinya peristiwa yg lain
a. Probabilitas bersyarat adalah probabilitas
terjadinya suatu peristiwa dgn syarat peristiwa
lain harus terjadi dulu & saling mempengaruhi
: P(B/A) = P(B∩A) / P(A)
b. Probabilitas gabungan adalah probabilitas
terjadinya dua peristiwa atau lebih secara
berurutan/bersamaan & peristiwa – peristiwa
tersebut saling mempengaruhi
P(Adan B) = P ( A ∩ B ) = P(A) X P(B/A)
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) X P(B/A) X P(C/A∩B)
Genrawan Hoendarto
c. Probabilitas
marginal
adalah
probabilitas terjadinya suatu peristiwa
tidak memiliki hubungan dengan
terjadinya peristiwa lain tetapi peristiwa
tersebut saling mempengaruhi :
P(A) = ΣP(B∩A)
ΣP(Ai) X P(B/Ai) , i = 1, 2, 3, …
l Probabilitas Beberapa Peristiwa dengan
Pendekatan Kombinasi :
n
Cr
n!
=
r! ( n – r )!
, r =< n
Genrawan Hoendarto
Peristiwa Komplementer : dua peristiwa
disebut peristiwa komplementer apabila
peristiwa yg satu melengkapi peristiwa
lainnya atau peristiwa yg saling
melengkapi.
P(A) + P(B) = 1
Atau P(A) = 1 – P(B) atau P(B) = 1- P(A)
Genrawan Hoendarto
Harapan
matematika
(ekspektasi
matematis ) / nilai harapan : jumlah dari
semua hasil perkalian antara nilai
variabel random dengan probabilitas yg
bersesuaian dengan nilai tersebut.
E(X) = ΣX . P(X)
E(X)= x1.P(x1) + x2.P(x2) +…+ xn. P(xn)
Genrawan Hoendarto
Distribusi Teoritis
Variabel random (variabel acak) : variabel yg
nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau
varibel yg dapat bernilai numerik yg didefinisikan
dalam suatu ruang sampel.
1. Variabel random diskrit : tidak mengambil
seluruh nilai yg ada pada suatu interval atau
variabel yg hanya mempunyai nilai tertentu,
contohnya angka yg muncul pada pelemparan
dadu, jumlah anak dalam suatu sebuah keluarga
2. Variabel random kontinu : mengambil seluruh
nilai yg ada pada suatu interval atau variabel yg
dapat mempunyai nilai-nilai pada suatu interval
tertentu, contohnya tinggi badan mahasiswa dan
usia orang
Genrawan Hoendarto
Pengertian Distribusi Teoritis
Suatu
daftar
yang
disusun
berdasarkan
probabilitas dari peristiwa bersangkutan dengan
perhitungan (matematis).
Contoh hasil perhitungan pelemparan mata uang logam
sebanyak 4 kali :
X
0
1
2
3
4
Jumlah
P(X)
0,0625
0,25
0,375
0,25
0,0625
1,00
Genrawan Hoendarto
Jenis-jenis Distribusi Teoritis
a. Distribusi teoritis diskrit adalah distribusi dari
semua nilai variabel random diskrit dengan
probabilitas terjadinya masing-masing nilai
tersebut. Suatu fungsi f dikatakan merupakan
fungsi probabilitas/distribusi diskrit bila :
1. f(x) ≥ 0, x Є R
2. f(x) = 1
3. P(X=x) = f(x)
Distribusi yang termasuk ke dalam distribusi
diskrit antara lain :
- Distribusi binomial
- Distribusi hipergeometrik
- Distribusi Poisson
Genrawan Hoendarto
b. Distribusi teoritis kontinu adalah distribusi dari
semua nilai variabel random kontinu dengan
probabilitas terjadinya masing-masing nilai
tersebut. Suatu fungsi f dikatakan merupakan
fungsi probabilitas/distribusi kontinu (fungsi
densitas) bila :
1. f(x) ≥ 0, x Є Rx
2. ∫-~~ f(x)dx = 1
3. P(a<X<b) = ∫ab f(x)dx
Distribusi yang termasuk ke dalam distribusi
kontinu antara lain :
- Distribusi x2
- Distribusi F
- Distribusi t
Genrawan Hoendarto
Nilai Harapan/Rata-rata Hitung
Distribusi Teoritis
Merupakan
nilai
rata-rata
hitung
tertimbang jangka panjang dari distribusi
teoritis yang disimbolkan dengan E(X)
atau µ.
1. Untuk distribusi probabilitas diskrit :
E(X)= µ = Σ x . f(x) atau Σ ( x . P(x) )
2. Untuk distribusi probabilitas kontinu :
E(X)= µ = ∫-~~ x. f(x)dx
Genrawan Hoendarto
Varians dan Simpangan Baku
Distribusi Teoritis
Varians dan simpangan baku dari
distribusi
teoritis/probabilitas
dapat
dihitung dengan menggunakan nilai
harapan :
Var(X)= σ2 = E(X)2 – (E(X))2
Atau Var(X)= σ2 = Σ((x-µ)2 . P(x))
σ = √ Var(X)
Genrawan Hoendarto
Distribusi Binomial
Disebut juga distribusi Bernoulli (krn ditemukan James
Bernoulli)
merupakan
distribusi
teoritis
yang
menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari 2
kejadian yang berkomplemen, seperti sukses–gagal, ya–
tidak, hidup-mati, kepala-ekor. Ciri-ciri distribusi ini :
1. Setiap percobaan memiliki 2 peristiwa seperti ya-tidak
2. Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah
untuk setiap percobaan
3. Percobaannya bersifat independen : peristiwa dari suatu
percobaan tidak mempengaruhi/di-pengaruhi peristiwa
dalam percobaan lainnya
4. Jumlah atau banyaknya percobaan merupakan
komponen percobaan binomial harus tertentu
Genrawan Hoendarto
Probabilitas binomial suatu peristiwa
P(X=x) = b(x;n,p) = Cxn . px . qn-x
x = banyaknya peristiwa sukses
n = banyaknya percobaan
p = probabilitas peristiwa sukses
q = 1 – p = probabilitas peristiwa gagal
Probabilitas binomial kumulatif
n
n . px . qn-x
PBK = Σ
C
x
x=0
n
PBK = Σ
P(X=x)
x=0
PBK = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + .. + P(X=n)
Genrawan Hoendarto
Rata-rata :
n
E(X)= µ = x=0
Σ x (Cxn . px . qn-x)
Varians : n
2 (C n . px . qn-x) - µ2
σ2 = Σ
x
x
x=0
Simpangan Baku :
σ = √ Σ x2 (Cxn . px . qn-x) - µ2
Secara singkat nilai rata-rata, varians dan
simpangan baku dapat dihitung dengan rumus :
1. rata-rata ( µ ) = n .p
2. varians ( σ2 ) = n . p . q
3. simpangan baku ( σ ) = √ n . p . q
Genrawan Hoendarto
Distribusi Hipergeometrik
Juga termasuk distribusi teoritis yang menggunakan varibel
diskrit. Perbedaan utama dengan distribusi Binomial adalah
pengambilan sampelnya tanpa pengembalian.
P(X=x) = h(x; N, n, k) =
Cxk
N-k
n-x
C
CnN
Dimana :
N = ukuran populasi
n = ukuran sampel
k = banyaknya unsur yang sama pada populasi
x = banyaknya peristiwa sukses
Genrawan Hoendarto
Distribusi Poisson
Distribusi ini jarang terjadi, merupakan distribusi nilainilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu
banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu
interval waktu tertentu atau di daerah tertentu. Ciri-ciri
distribusi ini :
1. Banyaknya hasil percobaan yg terjadi dalam suatu
interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak
bergantung pada banyaknya hasil percobaan yg terjadi
pada interval waktu atau daerah lain yg terpisah
2. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu
interval waktu yg singkat atau dalam suatu daerah yg
kecil, sebanding dengan panjang interval atau besarnya
tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya
percobaan yg terjadi pada interval waktu atau daerah
lain yg terpisah
3. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yg terjadi
dalam interval waktu yg singkat atau dalam daerah yg
kecil dapat diabaikan Genrawan Hoendarto
Contoh :
Peristiwa datangnya kendaraan yg lewat dalam suatu
interval waktu di suatu ruas jalan. Dari peristiwa
tersebut dapat diamati :
1. Tingkat kedatangan rata-rata kendaraan dapat dihitung
berdasarkan data masa lalu
2. Tingkat kedatangan rata-rata kendaraan per
satuan waktu adalah konstan
3. Banyaknya kedatangan kendaraan dalam
suatu interval waktu tertentu merupakan
peristiwa independen (bebas)
4. Probabilitas kedatangan kendaraan-kendaraan
itu dalam suatu interval waktu adalah sangat
kecil, dan dapat dikatakan mendekati nol
Genrawan Hoendarto
Distribusi Poisson digunakan dalam hal berikut:
1. Menghitung probabilitas terjadinya perisiwa
menurut satuan waktu, ruang/isi, luas, panjang
tertentu, seperti menghitung probabilitas dari :
a) Banyaknya
penggunaan
telepon/menit,
banyaknya kendaraan yg lewat/10 menit di
suatu ruas jalan
b) Banyaknya bakteri dalam setetes atau seliter
cairan
c) Banyaknya kesalahan ketik perhalaman dari
sebuah buku
d) Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol untuk
suatu periode tertentu
2. Menghitung distribusi binomial apabila
nilai n besar (n≥30) dan p kecil (p<0,1)
Genrawan Hoendarto
Rumus probabilitas Poisson suatu peristiwa:
λx e-λ
P(X=x) =
x!
Dimana :
λ= rata-rata terjadinya suatu peristiwa
e = bilangan alam/natural = 2,71828
Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yg mengikuti
proses Poisson dirumuskan :
e-λt (λt)x
P(X=x) =
x!
Dimana :
λ= tingkat kedatangan rata-rata per satuan waktu
t= banyaknya satuan waktu
X= banyaknya kedatangan dalam t satuan waktu
Genrawan Hoendarto
Probabilitas Poisson Kumulatif = probabilitas dari peristiwa
Poisson yang lebih dari satu.
λx e-λ
P(X=x) = Σ
X=0
x!
PPK = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + … + P(X=n)
n
Distribusi Poisson sebagai pendekatan distribusi binomial :
P(X=x) =
(np)x . e-np
x!
Genrawan Hoendarto
Distribusi Normal
Merupakan salah satu distribusi variabel kontinu, disebut
juga Distribusi Gauss sesuai nama penemunya Karl
Gauss.
f(x) =
e -½(x-µ)2 / σ
1
σ √2π
Distribusi normal merupakan distribusi yang simetris dan
berbentuk lonceng. 68,27%
95,45%
99,73%
-3σ
-2σ
-1σ
µ
+1σ +2σ
Genrawan Hoendarto
+3σ
Kurva tersebut dipengaruhi oleh rata-rata (µ) dan
simpangan baku (σ), jika rata-rata dan simpangan
baku besar, maka
kurvanya makin datar (platikurtik),
n
sebaliknya jika kecil kurvanya makin tinggi
(leptokurtik).
Sifat-sifat distribusi normal :
1. Bentuk lonceng dengan satu puncak (unimodal)
2. Rata-rata terletak di tengah sama dengan modus dan
median
3. Ujung-ujung sisi kurva sejajar dengan sumbu X dan
tidak akan pernah memotong sumbu tersebut
•
Jarak ±1σ = 68,26%
•
Jarak ±2σ = 95,46%
•
Jarak ±3σ = 99,74%
Genrawan Hoendarto
Distribusi normal standar mempunyai rata-rata (µ) = 0 dan
simpangan baku (σ) = 1, sehingga :
f(Z) =
n
1 e-½z 2
√ 2π
Sifat-sifatnya :
- Kurva simetris pada sumbu Y
-Mempunyai titik tertinggi (0, (√2π)-1 ), dengan (√2π)-1 = 0,4
-Cekung kebawah mulai X= -1 sampai X=1, cekung ke atas
untuk nilai yang lain
-Luas seluruh daerah di bawah kurva dan di atas sumbu X
=1
-Untuk mengubah distribusi normal menjadi yang standar,
gunakan nilai Z ( angka yang menyatakan penyimpangan
suatu nilai random (X) dari rata-rata dihitung dalam satuan
simpangan baku : dimana Z = (X - µ ) / σ
Genrawan Hoendarto
Penggunaan Kurva Normal Standar
Untuk menentukan luas daerah di bawah kurva normal
n
standar, telah dibuat
tabel luas kurva normal standar
dengan nilai Z tertentu. Dengan tabel tersebut luas dari
distribusi standar dapat dicari. Karena seluruh luas kurva
adalah 1 dan kurva simetris terhadap µ=0, maka luas dari
garis tegak pada titik nol ke kiri maupun ke kanan adalah
0,5 yang diartikan P(Z>0)= 0,5. Luas daerah kurva normal
pada interval tertentu dapat ditulis P(0<Z<b).
Contoh :
P(0<Z<2,13) maka :
2,13 = 2,1 + 0,03
Dengan tabel dicari 2,1 pada kolom Z (kolom paling kiri)
dan 0,03 pada baris pertama (baris paling atas)
Pertemuan baris 2,1 dan kolom 0,03 merupakan nilai Z dari
P(0<Z<2,13), yaitu 0,4834
Genrawan Hoendarto
Menentukan luas kurva normal yang
bukan baku
n :
1. Menghitung nilai Z sampai 2 desimal
2. Menggambarkan kurva normal standarnya
3. Meletakkan nilai Z pada sumbu X dan
tarik garis vertikal memotong kurva
4. Nilai daftar distribusi normal standar
merupakan luas daerah antara garis
tersebut dengan garis vertikal titik nol
5. Cari luas pda tabel sesuai tempat nilai Z
Genrawan Hoendarto
Rata-rata, Varians & Simpangan
Baku Distribusi
Normal :
n
1. Rata-rata :
l
l
µ=
ΣX
n
2. Varians :
σ2 =
Σ(X-µ)2
n
3. Simpangan baku :
√ (Σ(X-µ)2) / n
σ=
Genrawan Hoendarto
Hubungan Distribusi Normal dengan
Distribusi Binomial
:
n
Distribusi binomial akan mendekati distribusi normal jika
nilai p sama dengan ½ dan nilai n besar. Tetapi dalam
prakteknya aturan ini tidak mutlak diperhatikan.
Penggunaan distribusi normal untuk menyelesaikan kasus
distribusi binomial dapat dilakukan dengan menggunakan
aturan/penyesuaian
berupa
faktor
koreksi
yaitu
menambahkan dan mengurangkan variabel X dengan 0,5
sebagai berikut : batas bawah (kiri) variabel X dikurangi 0,5
dan batas atas (kanan) ditambah 0,5, sehingga
i = 1, 2
Zi =
(Xi ± 0,5) - µ
σ
Genrawan Hoendarto
µ=n.p
σ=√n.p.q
Distribusi Sampling
1.Populasi : keseluruhan dari semua objek (individu)
yang memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap
yang akan diteliti. Objeknya disebutnya unit analisis
atau elemen populasi
2.Sampel : bagian dari populasi yang diambil melalui
cara-cara tertentu yg juga memiliki karakteristik, jelas
dan lengkap yang dianggap mewakili populasi.
Objeknya disebutnya unit analisis.
Metode Sampling adalah cara pengumpulan data
yang hanya mengambil sebagian elemen populasi atau
karakteristik yang ada dalam populasi.
Sensus adalah cara pengumpulan data yang
mengambil setiap elemen populasi atau karakteristik yg
ada dalam populasi
Genrawan Hoendarto
Besaran
Lambang
Parameter
(Populasi)
Lambang
Statistik
(Sampel)
Rata-rata
µ
×
Varians
σ2
S2
Simpangan Baku
σ
S
Jumlah Observasi
N
n
Proporsi
P
p
Genrawan Hoendarto
Alasan dipilihnya sampling antara lain :
1. Objek penelitian yg homogen : objek 100% sama,
sehingga tak perlu dilakukan sensus untuk
memperoleh data yg diperlukan, contohnya darah dlm
tubuh manusia, kadar air.
2. Objek penelitian yg mudah rusak : sensus tak
mungkin dilakukan sebab akan merusak objek yg
akan diteliti. Contohnya QC terhadap makanan.
3. Penghematan biaya dan waktu : karena sampling
objeknya lebih kecil, maka biaya yg dikeluarkan juga
kecil dan waktu yg dibutuhkan lebih pendek.
4. Masalah ketelitian : semakin banyak objek, semakin
kurang ketelitiannya
5. Ukuran populasi : jumlah populasi yg sangat besar,
bahkan tak berhingga tak mungkin dilakukan sensus,
6. Faktor ekonomis : hasil penelitian sepadan dengan
biaya, waktu dan tenaga yg dikeluarkan.
Metode sampling pada dasarnya dibedakan atas 2
macam, yaitu sampling random dan sampling
nonrandom.
Genrawan Hoendarto
Sampling random / probabilitas : semua objek
atau elemen populasi memiliki kesempatan yg sama
untuk dipilih sebagai sampel. Jadi bersifat objektif.
1.Sampling random sederhana : tiap sampel yg
berukuran sama memiliki probabilitas sama untuk
terpilih dari populasi. Sampling ini dilakukan jika :
elemen-elemen populasinya homogen dan atau
hanya diketahui identitas dari satuan individu
(elemen) tanpa adanya keterangan derajat
keseragaman, pembagian dalam golongangolongan tak diketahui dsbnya. Sampling random /
probabilitas
a) Metode undian yg prosesnya dilakukan dengan
undian sebagai berikut : memberikan no urut pada
semua elemen populasi pada lembar kertas kecil,
menggulungnya, memasukkan ke dalam kotak,
mengocok dan mengambil satu persatu
b) Metode tabel random yg prosesnya dilakukan dgn
menggunakan tabel bilangan random
Genrawan Hoendarto
2.Sampling berlapis (stratified) : populasinya dibagi dlm
kelompok-kelompok yg disebut strata. Dipilih jika
elemen populasi heterogen, ada kreteria dasar
stratifikasi, adanya data pendahuluan dari data
populasi mengenai kreteria dalam stratafikasi dan
dapat diketahui dgn tepat jumlah satuan-satuan
individu dari setiap strata
3.Sampling sistematis : elemen-elemen yg akan diteliti
diurutkan tertentu dan telah disusun secara teratur.
Dilakukan jika nama dari elemen terdapat dalam suatu
daftar sehingga dapat dilakukan penomoran dan
populasi memiliki pola berurutan seperti rumah dlm
suatu kompleks
4.Sampling kelompok (cluster) : populasi dibagi menjadi
beberapa kelompok dgn aturan tertentu. Caranya bagi
populasi ke sub subkelompok, pilih secara random 1
atau lebih subkelompok dan tentukan sampel dari
subkelompok yg terpilih
Genrawan Hoendarto
Sampling nonrandom/nonprobabilitas : semua
objek atau elemen populasi tidak memiliki
kesempatan yg sama untuk dipilih sebagai sampel.
Jadi bersifat subjektif karena berdasarkan aspek
pribadi seseorang
1.Sampling kuota : merincikan lebih dahulu segala
sesuatu yg berhubungan dgn pengambilan
sampel, petugas hanya mengumpulkan data
mengenai sesuatu yg telah dirinci dan menentukan
unit samplingnya juga
2.Sampling pertimbangan: pengambilan sampelnya
ditentukan peneliti berdasarkan pertimbangan atau
kebijaksanaan, misalnya untuk studi kasus.
3.Sampling seadanya : pengambilan sampelnya
dilakukan seadanya atau berdasarkan kemudahan
mendapatkan data, jadi mengabaikan faktor
representatif.
Genrawan Hoendarto
Teknik Penentuan Jumlah Sampel
1.Untuk pengambilan sampel dgn pengembalian :
elemen sampel yg terambil dikembalikan lagi ke
populasi sehingga ada kemungkinan terambil
kembali.
Nm
Secara teoritis populasi berhingga yg dilakukan
sampling dgn pengembalian dianggap populasi
tak berhingga karena populasi tak akan habis
2.Untuk
Pengambilan
sampel
tanpa
pengembalian : elemen sampel yg terambil
tidak dikembalikanNlagi keN !populasi.
Cn =
N = jumlah populasi
n!( N − n)!
Genrawan Hoendarto
n = jumlah sampel
Distribusi Sampling adalah distribusi dari
besaran-besaran statistik, seperti rata-rata,
simpangan baku, proporsi (persentasi) yg
mungkin muncul dari sampel-sampel.
Distribusi dari rata-rata sampel disebut
distribusi sampling rata-rata atau distribusi ratarata sampel, distribusi dari proporsi sampel
disebut distribusi sampling proporsi atau distribusi
proporsi sampel dan sebagainya.
JENIS--JENIS DISTRIBUSI SAMPLING
JENIS
1.Distribusi Sampling Rata-rata (distribusi ratarata sampel) adalah distribusi dari besaran ratarata yg muncul dari sampel-sampel.
a.Pemilihan sampel dari populasi terbatas
Bila populasi terbatas yg berukuran N dan
berdistribusi normal dgn besaran-besaran statistik
dgn sampel random berukuran n, mempunyai
distribusi normal dgn rata-rata dan simpangan baku :
Genrawan Hoendarto
1.Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian
n/N >5% :
σ N −n
µx = µ
σ =
x
n
N −1
2.Untuk pengambilan sampel pengembalian n/N
σ
≤5% :
µx = µ
σ =
x
n
b.Pemilihan sampel dari populasi tak terbatas
¡ Jika populasi jumlahnya tak berhingga dan
didistribusikan secara normal dgn rata-rata µ dan
simpangan baku σ, maka rata-rata sampel X akan
berlaku :
σ
¡
µx = µ
σdan=
x
n
Genrawan Hoendarto
b.Daftar distribusi normal untuk distribusi
sampling rata-rata
¡ Penggunaan daftar distribusi normal untuk distribusi
sampling rata-rata dapat digunakan rumus :
χ −µ
Z=
σχ
1.Untuk populasi terbatas atau n/N >5% :
χ −µ
χ −µ
l
Z=
atau Z =
σχ
σ N −n
n
N −1
2.Untuk pengambilan sampel pengembalian n/N
≤5% :
χ −µ
χ −µ
Z
=
atau
Z
=
l
σ
σ
χ
Genrawan Hoendarto
n
Teori Limit Sentral
Yaitu normalitas dari distribusi sampling yg
dinyatakan sebagai berikut :
1.Jika populasi cukup besar dan berdistribusi
secara normal maka distribusi sampling rataratanya akan normal.
2.Jika distribusi tidak normal maka distribusi
sampling rata-ratanya akan mendekati normal,
bila jumlag sampel cukup besar (n≥30)
3.Distribusi normal dari rata-rata sampel memiliki
rata-rata yg sama dengan rata-rata harapan
E(X) dan simpangan baku σx. Ini dapat dihitung
dari rata-rata populasi (µ) dan simpangan baku
populasi (σ).
Genrawan Hoendarto
Distribusi Sampling Proporsi
Yaitu distribusi dari proporsi (persentasi) yg
diperoleh dari semua sampel sama besar dari
satu proporsi. Distribusi ini digunakan untuk
perbandingan antara 2 hal yg berkomplemen
(peristiwa binomial). Proporsi dari populasi
dinyatakan dgn P=X/N dan proporsi untuk sampel
dinyatakan dgn p=X/n.
Pada distribusi sampling proporsi berlaku :
1. Untuk pengambilan sampel dgn pengembalian atau
jika perbandinganPpopulasi
dan
PQ sampel n/N ≤5% :
(1 − P)
µp = p
σp =
=
n
n
2. Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian atau
jika perbandinganP(populasi
dan
>5%
1 − P)
N − nsampel
PQ n/N
N−
n :
µp = p
σp =
=
=
n
N −1
n
N −1
Genrawan Hoendarto
3. Daftar distribusi normal untuk distribusi sampling
dapat ditentukan sebagai berikut :
p−P
Z=
a. Jika n besar, maka nilai Z adalah
σp
¡
b. Jika n sangat kecil, maka nilai Z adalah
1
Z=
p±
2n
−P
σp
Distribusi Sampling yang Lain
a.Distribusi sampling beda dua rata-rata yaitu distribusi
dari perbedaan dua besaran rata-rata yg muncul dari
sampel-sampel dua populasi. Misalkan dua populasi
normal N1 dan N2, maka :
Rata-rata :µ χ1 − χ 2 = µ1 − µ 2
Simpangan baku :
σ χ −χ =
1
2
Genrawan Hoendarto
σ
2
1
n1
+
σ2
2
n2
Untuk n1 dan n2 yg lebih besar dari 30, distribusi
sampling beda rata-rata akan mendekati distribusi
normal, dgn rumus Z-nya :
Z=
( χ1 − χ 2 ) − ( µ1 − µ 2 )
σ χ −χ
1
2
b.Distribusi sampling beda dua proporsi yaitu distribusi
dari perbedaan dua besaran proporsi yg muncul dari
sampel dua populasi. Misalkan ada dua populasi N1
dan N2 (2 populasi binomial) yg diambil sampel
random n1 dan n2 dgn P1 dan P2, maka beda antara
kedua sampel proporsi (p1-p2) membentuk distribusi
sampling beda proporsi.
µ
=
P
−
P
p
−
p
1
2
1
2
Rata-rata :
Simpangan baku :
σ p −p
1
2
P1 (1− P1 ) P2 (1 − P2 )
=
+
n1
n2
Genrawan Hoendarto
Untuk n1 dan n2 yg lebih besar dari 30, distribusi
sampling beda proporsi akan mendekati distribusi
normal, dgn rumus Z-nya :
Z=
( p1 − p2 ) − ( P1 − P2 )
σ p −p
1
2
X1 X 2
Catatan : p1 − p2 =
−
n1 n2
Genrawan Hoendarto
Pengujian Hipotesis
Hipotesis adalah suatu pernyataan yg masih
lemah kebenaran dan perlu dibuktikan, atau dugaan yg
sifatnya masih sementara.
Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan
mengenai keadaan populasi yg sifatnya masih
sementara atau lemah kebenarannya. Hipotesis statistik
dapat berbentuk suatu variabel seperti binomial, Poisson
dan normal atau nlai suatu parameter seprti rata-rata,
varians, simpangan baku dan proporsi. Hipotesis perlu
diuji karena itu harus berbentuk kuantitas untuk dapat
diterima atau ditolak. Keputusan pengujian hipotesis
bisa salah atau benar, sehingga menimbulkan resiko.
Besar kecilnya resiko dinyatakan dalam bentuk
probabilitas. Pengujian hipotesis merupakan bagian
terpenting dari statistik inferensi (induktif), karena
berdasarkan hasil uji dapat dibuat keputusan
(pemecahan) persoalan sebagai dasar penelitian lebih
lanjut dapat diselesaikan.
Genrawan Hoendarto
Prosedur Pengujian Hipotesis
Prosedur (langkah-langkah yg digunakan dlm
menyelesaikan) pengujian hipotesis Sebagai berikut:
1. Menentukan formulasi hipotesis:
a.Hipotesis nol (nihil)
Disimbolkan dgn H0, yaitu hipotesis yg dirumuskan
sbg suatu pernyataan yg akan diuji. Disebut nol
karena
tidak
memiliki
perbedaan
atau
perbedaannya nol dgn hipotesis sebenarnya.
b.Hipotesis alternatif (tandingan)
Disimbolkan dgn H1 atau Ha, yaitu hipotesis yg
dirumuskan sbg lawan (tandingan) dari hipotesis
nol. Terdapat 3 keadaan dalam penyusunan
hipotesis ini :
- H1 yg menyatakan harga parameter lebih besar
daripada harga yg dihipotesiskan. Pengujian ini
disebut pengujian satu sisi (satu arah), yaitu
pengujian sisi (arah) kanan.
Genrawan Hoendarto
- H1 yg menyatakan harga parameter lebih kecil
daripada harga yg dihipotesiskan. Pengujian ini
disebut pengujian satu sisi (arah), yaitu pengujian
sisi (arah) kiri.
- H1 yg menyatakan harga parameter tidak sama
dengan harga yg dihipotesiskan. Pengujian ini
disebut pengujian dua sisi (arah), yaitu pengujian
sisi (arah) kanan dan kiri sekaligus.
H 0 : θ = θ0
Apabila hipotesis nol diterima (benar),
maka hipotesis altertnatif ditolak.
H1 : θ > θ 0
H1 : θ < θ 0
H1 : θ ≠ θ 0
Genrawan Hoendarto
2. Menentukan taraf nyata , yaitu besarnya batas
toleransi dlm menerima kesalahan hasil hipotesis
terhadap nilai parameter populasinya. Dinyatakan
dgn α. Semakin tinggi taraf nyata yg digunakan
semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol (diuji).
Padahal hipotesis nol benar. Besaran yg digunakan
%, yaitu 1% (0,01), 5%(0,05) dan 10% (0,1) sehingga
ditulis : α0,01, α0,05 dan α0,1. Besarnya nilai α
tergantung keberanian pembuat keputusan yg dlm
hal ini berapa besarnya kesalahan (yg menyebabkan
resiko) yg akan ditolerir. Besarnya kesalahan
tersebut dinamai daerah kritis pengujian atau daerah
penolakan.
3. Menentukan kriteria pengujian, yaitu bentuk
pembuatan keputusan dalam menerima atau
menolak hipotesis nol (H0) dgn cara membandingkan
nilai α dgn nilai uji statistiknya , sesuai dgn bentuk
pengujiannya (sisi dan arah pengujian).
Penerimaan H0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih
kecil atau lebih besar daripada nilai positif atau
Genrawan Hoendarto
Penerimaan H0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih
kecil atau lebih besar daripada nilai positif atau
negatif dari tabel α. Penolakan H0 terjadi jika nilai uji
statistiknya lebih besar atau lebih kecil daripada nilai
positif atau negatif dari tabel α. Atau nilai uji statistik
berada di dalam nilai kritis.
4. Menentukan nilai uji statistik, uji statistik merupakan
perhitungan untuk menduga parameter data sampel
yg diambil secara random dari sebuah populasi
menggunakan rumus-rumus yg berhubungan dgn
distribusi tertentu dlm pengujian hipotesis.
5. Membuat kesimpulan untuk menetapkan keputusan
dlm hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol
(H0) sesuai dgn kreteria pengujiannya. Penerimaan
H0 terjadi jika nilai statistik berada di luar nilai
kritisnya, dan penolakan H0 terjadi jika nilai uji
statistik berada di dlm nilai kritisnya.
Genrawan Hoendarto
Ke-5 langkah tadi dapat diringkas menjadi :
1. Menentukan formulasi hipotesis nol (H0) dan
hipotesis alternatifnya (H1)
2. Memilih suatu taraf nyata (α) dan menentukan nilai
tabel
3. Membuat kreteria pengujian berupa penerimaan dan
penolakan H0
4. Melakukan uji statistik
5. Membuat kesimpulannya dalam hal penerimaan dan
penolakan H0
Jenis-Jenis Pengujian Hipotesis
1. Berdasarkan jenis parameternya
a. Pengujian hipotesis tentang rata-rata, yaitu
pengujian hipotesis mengenai rata-rata populasi
yang berdasarkan informasi sampelnya. Contohnya
Pengujian hipotesis satu rata-rata, Pengujian
hipotesis beda dua rata-rata, Pengujian hipotesis
Genrawan Hoendarto
b. Pengujian hipotesis tentang proporsi adalah
pengujian hipotesis mengenai proporsi populasi yg
didasarkan atas informasi (data) sampel, contohnya
pengujian hipotesis satu proporsi, pengujian
hipotesis beda dua proporsi dan pengujian hipotesis
beda tiga proporsi
c. Pengujian hipotesis tentang varian adalah
pengujian hipotesis mengenai varians populasi yg
didasarkan atas informasi sampelnya, contohnya
pengujian hipotesis tentang satu varians dan
pengujian hipotesis tentang kesamaan dua varians
2. Berdasarkan jumlah sampelnya
a. Pengujian hipotesis sampel besar
b. Pengujian hipotesis sampel kecil
3. Berdasarkan jenis distribusinya
a. Pengujian hipotesis dgn distribusi Z,contohnya
pengujian satu dan beda dua rata-rata sampel besar
dan pengujian hipotesis satu dan beda dua proporsi
Genrawan Hoendarto
b. Pengujian hipotesis dgn distribusi t (t-student),
contohnya pengujian hipotesis rata-rata (satu dan
dua beda rata-rata) sampel kecil
c. Pengujian hipotesis dgn dstribusi χ2, contohnya
pengujian hipotesis beda tiga proporsi, pengujian
hipotesis indenpendensi dan pengujian hipotesis
kompatibilitas
d. Pengujian hipotesis dgn distribusi F (F-ratio)
contohnya pengujian hipotesis beda tiga rata-rata
dan pengujian kesamaan dua varians
4. Berdasarkan
arah
atau
bentuk
formulasi
hipotesisnya.
a. Pengujian hipotesis dua pihak ( two tail test)
b. Pengujian hipotesis pihak kiri atau sisi kiri
b. Pengujian hipotesis pihak kanan atau sisi kanan
Genrawan Hoendarto
Pengujian Hipotesis Rata-rata
1. Pengujian hipotesis satu rata-rata
a. Sampel besar (n>30), menggunakan distribusi Z
dgn prosedur sebagai berikut :
1. Formulasi hipotesis
a. H0 : µ = µ0 H1: µ > µ0
b. H0 : µ = µ0 H1: µ < µ0
c. H0 : µ = µ0 H1: µ ≠ µ0
2. Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai Z tabel
(Zα), yaitu menentukan nilai sesuai soal, kemudian
nilai Zα atau Zα/2 ditentukan dari tabel
3. Kreteria pengujian :
a. Untuk H0 : µ = µ0 H1: µ > µ0
(1) H0 diterima jika Z0 ≤ -Zα
(2) H0 ditolak jika Z0 > -Zα
Genrawan Hoendarto
b. Untuk H0 : µ = µ0 H1: µ < µ0
(1) H0 diterima jika Z0 ≥ -Zα
(2) H0 ditolak jika Z0 < -Zα
c. Untuk H0 : µ = µ0 H1: µ ≠ µ0
(1) H0 diterima jika -Zα/2 ≤ Z0 ≤ Zα/2
(2) H0 ditolak jika Z0 > Zα/2 atau Z0 < -Zα/2
Genrawan Hoendarto