VEKTOR DI f13 DAN ILMU UKUR ANALITIK RUANG

VEKTOR DI f13 DAN ILMU UKUR
ANALITIK RUANG
1.1. KOORDINAT SIKU-SIKU DI f13
Di sini kita hanya memandang sistim koordinat siku-siku (Cartesian), yaitu sistim
koordinat dengan sumbu-sumbu X,Y, dan Z yang saling tegak lurus, dan melalui sebuah
titik, yang kita sebut titik awal (origin).
z.
Sebagai vektor-vektor basis adalah :
= [1, 0 , 0] pada sumbu X
J = [0, 1 , 0] pada sumbu Y
K = [0, 0 , 1] pada sumbu Z
{ ..,] ,k } bebas tinier dan kalau dipilih sebagai basis dari R3 , disebut basis natural
(basis alam).
1
Setiap titik di dalam ruang dinyatakan dengan tripel bilangan riil (x , y , z) dan disebut
"koordinat" titik tersebut. Sedangkan setiap vektor E R3 dinyatakan sebagai kombinasi
linier dari I,J , dan k.
Misalnya a = [3 , 2 , 2] berarti
a = 311 , Q '
0]_+ 2[0 , 1 , 0] + 2[0 , 0 , 1]
= 3i + 2j + 2k.
1.2. RANGKUMAN
Dari pembicaraan kita yang umum di bab 1, kita tulis lagi beberapa hasil pembicaraan
tersebut untuk R3. :
(1) Dot produk, dari a = [Xl' YI ' ZI] dan 1) = [x, ' yz ' Z2] :
all = Xl X2 + YI Y2 + ZI Z2 ' atau : s.s = I a I I b I cos e dimana: I a_I dan
I b I adalah panjang vektor a dan b, sedangkan e adalah sudut antara a dan b.
Panjang vektor lal
= ,J
a.a
=,J
X7
+ Y7
+ z7
(2). Sudut antara 2 vektor :
cos
a.b
e =--
lallbl
Syarat
XI x2 + YI Y2 + ZI Z2
,Jx7
,Jx7
+ Y7 + z7·
+ Y7 + z;
a tegak lurus b adalah it . b = 0 atau XI X2 + YI Y2 + ZI Z2 = 0
(3). Jarak antara 2 titik (jarak antara titik-ujung ujung vektor radius)
P(xI ' YI ' ZI) dan Q(x2 ' Y2 ' Z2)
PQ
= d(OP
, OQ)
= ,J
(x2 - X,)2 + (Y2 - YY + (Z2 - zl)2
1.3. SUDUT ARAH, COS/NUS ARAH, B/LANGAN ARAH
Sudut-sudut arah dari suatu vektor v = [X , y, z] yaitu Ct , ~ ,y adalah sudut antara
dengan i , dan k.
Sedangkan cos ex, cos- Si dan cos y disebut cosinus-cosinus arah dari v.
J
z
k
Y
...
'.,,:=[V,y,z]
,,
,,
J
x
2
v
-
-X
...
V.l
Je!",: bahwa
COS
a=
V .j
cos 13 =
cos y =
1
y
I V I Ij I
v.k
=
karena 1= [1 ,0.0] ciardi!
= ---,
I vi 111
Iv I
=
karena "] = [0 , 1, 0] dan 1]1
Iv I
-
z
Iv I I k I
=
karena k = [0 , 0 , 1] dan , k-I = 1
Iv I
y2
Z2
Iv 12
+--=--=1.
Iv 12
Iv 12
I V f2
x2
= --+
I V f2
cos' a + cos213 + cos' y
1
:=
Maka vektor [cos a , cos 13 , cos y] adalab vektor satuan searab v
CATATAN
(1)
Kita dapat teruskan pembicaraan tentang sudut-sudut arab dan cosinus-cosinus arab
sebuab vektor dengan sudut arab dan cosinus arab sebuab garis lurus. Di sini sudutsudut arab dan cosinus-cosinus arab sebuab garis lurus adalab sarna dengan sudutsudut arab dan cosinus-cosinus arab vektor yang dibawanya (vektor arahnya).
a
Contoh (1.1). Carilab cosinus-cosinus arab dari = [2, -2. 1] dan cosinus-cosinus arab
sebuab garis yang melalui titik P(2 , 1 , 3) dan 0(2 , 2 , 3 ).
Jawab : Cosinus-cosinus arab dari a
2
= --;
3
--.14+4+1
1
a
I I
[2 , -2 , 1] ialab :
2
2
cos a = --=
la I
cos Y =
=
1
=
3
-2
cos 13 =
la I
2
=-
3
Dapat diperiksa cos' a + cos- 13 + cos y = 1.
~
Sedangkan garis melalui (2 , 1 , 3) dan (2 , 2 , 3) akan membawa vektor PQ
[2-2 , 2-1 , 3-3] = [0 , 1 , 0] , Jadi cos a = O.
=
1
cos 13 =
= 1 dan cos y = O.
..JO+l+O
Dapat kita catat babwa garis tersebut II sumbu Y (vektor arahnya
= }).
3
CATATAN
(2)
Bilangan arah dari sebuab garis lurus adaIab bilangan-bilangan yang sebanding dengan
cosinus-cosinus arab garis lurus tersebut. Kita sebut bilangan-bilangan arab terse but
a , b , c maim: cos a
cos ~
cos y ,
-a-
=
atau a : b : c
=
=
b
c
cos a : cos ~ : cos y
Hubungan antara bilangan arab dan cosinus arab adalah sebagai berikut :
cos a
a
=
cos ~
b
=
cos y
--misalkan ; )., , jadi cos a = a).,
c
cos ~ = b)"
cos y = c).,
dan cos- a + cos- ~ + cos2 y
).,
1
=
cox ~
± -Ja2 + b2 + c2
=
b
± -Ja2 + b2 + c2
=
).,2
(a2 + b2 + c2) = 1 berarti
jadi cos a
=
dan cos y
=
a
±-Ja2 + b2 + c2
,
c
±-Ja2 + b2 + c2
CATATAN (3). Kita lihat babwa cosinus-cosinus arah dari suatu vektor sebanding
x
y
dengan komponen-komponennya, cos a = x ~,
cos ~ = --=Iv I
Iv I
dan cos y
= --
Z
I vi
;
berarti x: y :
Z
= cos a
: cos ~ : cos y ,
maka komponen-komponen vektor x , y , z mernpakan bilangan-bilangan arab garis
Iurus yang membawanya.
CONTOH (1.2). Car!!F bilangan arab garis yang melalui titik P(3 , 2 , 1) dan Q(1 ,
2 , 3). Garis, PQ = [1-3 , 2-2, 3-1] = [-2 , 0 , 2] sebagai vektor arabnya, jadi
bilangan-bilangan arabnya adalab -2,0 dan 2.
1.4. KOORDINAT TITIK YANG MEMBAGI SEGMEN GARIS
ATAS PERBANDINGAN TERTENTU
P(x1
' YI '
z.) , Q(x2
~
' Y2 ' Z2)
dan titik R(xR
~
' YR ' ZR)
~
Q , membagi IPQIatas perbandingan IPRI : IPQI =
4
pada garis lurus melalui P dan
).,
--7
--7
Jadi PR = A. PQ = A.
oR = oP + PR = [XI'
Jadi:
[X2 - XI '
YI
= XI + A. (X2 Y R = Y I + A. (y2 ~ = ZI + A. (z, XR
' ZI]
Y2- YI '
~ - ZI]'
+ A. [x, -Xl' Y2
-
YI
' Z2 - ZI].
XI)
Y I)
ZI)
Bila R terletak pada perpanjangan QP, maka A. negatip.
Bila R titik tengah PQ, berarti A. = 1/2 ' diperoleh :
XR
=
CONTOH (7.3). Carilah koordinat titik R pada garis PQ, bila PR = 2RQ
dan P(1 , 2 , 0) , Q(3 , 1 , 2).
Jadi A.
= 2/3
, berarti :
xR = 1 + 2/3.(3-1) = 7/3 ;
P
Z
R
=
0 + 2/3. (2-0)
Q
= 4/3.
xR
Jadi R
=
= 2 + 2/3.(1-2) = 4/3
;
(7/3, 4/3, 4/3).
1.5. CROSS PRODUCT (PRODUK VEKTOR)
Produk vektor a X b (baca : "a cross b") menghasilkan sebuah vektor (sebutlah c) yang
panjang adalah perkalian panjang vektor I I serta I b I dan sinus sudut antara dengan
~ dikalikan dengan vektor dari c yakni ue' sedangkan arah dari c adalah tegak lurus a dan
b menurut sistem tangan kanan :
a
a
Z
5
a x b = { Ia I
Ib I
sin 9 } Uc
Dc = vektor satuan terarah Co
(0
s 9 ~ 1t ).
CATATAN (4). Cross produk hasilnya adalab sebuab vektor. Untuk mengbituDI cross
produk a = [at ' ~ , ~] dangan b = [bl ' b, ' b3] kita pakai determinan :
-r-
1
axb
=
al
bl
CONTOH (1.4).
j
~
b2
k
~
b3
a = [1 , 1 , 3] , b = [2 , 0 , 3] maka :
axb=Tj
Panjang
I~ ~1-11~~I +kl~ ~I
k
= 1
113
-2 0 - 3
= 3i + 3j - 2k = 3[1 , 0 , 0] + 3[0, 1 , 0] -2[0, 0 , 1]
= [3 , 3 , -2] ,
I x b I = ~":""9"'-+---::-9-+-=-4 = -{22.
a
CATATAN (5). Cross produk tidak komutatip : a x b ':f. b x a melainkan
axb=-bxa.
Hal ini jelas karena determinan i j
k
i j
k
= b,
b,
b,
al ~ ~
,bl b, b,
al ~ ~
1.6. B/DANG RATA
Kita telah tabu bahwa persarnaan umum sebuah bidang rata V adalab: V == Ax + By
+ Cz + D = 0 , atau secara simbolis V =
o.
Vektor n='[A , B , C] disebut vektor normal dari bidang dan bersifat tegak lurus pada
bidang tersebut. Sudut arab dari V sarna dengan sudut arab dari D, sedang cosinus arab
dari V adalab cosinus arab dari n. Jadi bilangan-bilangan arab dari V adalab komponenkomponen dari yaitu A , B , C.
n
CONTOH (1.5). Persarnaan 2x - 3y + z + 1 = 0 , adalab sebuab bidang rata dengan
bilangan-bilangan arab 2, -3 , 1 dan mempunyai normal = [2 , -3 , 1].
n
CONTOH (1.6). Carilab vektor normal bidang datar
x = [1 , 2 , 1] + A[1 , 1 , 3]
+ J.l [2, 0 , 3]
Maka jelas bahwa D tegak lurus vektor-vektor [1 , 1 ,3] dan [2 , 0 , 3],
dengan cross produk, Ii = [1 , 1 , 3] x [2 , 0 , 3] = [3 , 3 , -2].
6
1.7. PERSAMAAN NORMAL B/DANG RATA
z
-n
y
Misalkan p jarak dari 0(0 , 0 , 0) ke bidang V, sedang a , ~ , yadalah sudut-sudut
arah n (yang tegak lurus V)
Kita ambil n = [cos a, cos ~ , cos y]
yang panjangnya =
,~ cos'n + COS2~+ cos2y = 1 , sebagai vektor normal satuan dari bidang V.
at
af = [x , y , z].
ct>
aT.at>
Proyeksi
pada
adalah I
I = I [x , y , z].
[cos a , cos ~ , cos y] I = x cos a + y cos ~ + z cos y = p (hams positip)
Persamaan : x cos a + y cos ~ + z cos Y = p , disebut persamaan normal HESSE
dari bidang.
CATATAN (6). Bila bidang melalui 0(0 , 0 , 0) maka p
= o.
CATATAN (7). Pengubahan persamaan umum Ax + By + Cz + D
normal adalah sebagai berikut :
Hubungan antara bilangan arah A , B , C dan cosinus arah :
cos a
cox ~
cos y
p
=
-= -=
misalkan = A.
ABC
D
=
0 ke bentuk
Jadi cos a = AI.. , cos ~ = BA., cos y = CA.dan p = - DA.
Sedangkan cos' a + cos- ~ + cos' Y = 1..2 (A2 + B2 + C2) = 1 ,
1
Jadi A.=
± '\}N + B2 + C2
A
B
± '\}A2 + B2 + C2
±:'J N + B2 + C2
, cos a = -;=========, cos ~ = -.=;::=~==;:
7
-D
C
Tanda ± dipilih salah satu sehingga p berharga positip.
CONTOH (1.7). Carilah persarnaan normal dari bidang 3x + 2y + z = 3.
Maka untuk rnengubah ke bentuk normal x cos a + y cos p + z cos y
.P
-D
=
3
=
f14
±-.J9+4+1
cos a =
(kita pilih tanda + supaya p positip),
2
3
_(77
,,14
1
, cos
p = -.JI4 '
cos y
3x
{14
2y
z
Jadi diperoleh :
+
-f14
= p.
+
-f14
= -.JI4 .
3
=
fl4'
1.8. SUDUT ANTARA DUA B/DANG RATA
Sudut antara 2 bidang rata adalah sudut antara vektor-vektor normalnya.
Misalnya bidang-bidang VI == At x + B, y + CI z + DI = 0 dan
V2 == Az x + B2 y + C2 z + D2 = 0 , rnaka normal-normalnya
ii, = [A, ' B, ' C,] , ii2 = [A2 ' B2 ' C2] •
Sudut antara 0, dan
cos
a=
n
2 ;
=
CONTOH (1.8). Sudut antara bidang x + y + z + 3
adalah :
cos
a=
1.2 + 1.1 + 1.2
...J 1 + 1 + 1 . -.J 4
+ 1+4
=
5
= 0 dan 2x + y + 2z +
atau
3 "3"
CATATAN (8).
Syarat sejajar: Kalau V, dan V2 sejajar berarti Ii, dan
kelipatan) , jadi V, / / V2 bila :
8
a = arc cos ---
11 = 0
5
3"3"
n2 adalah sarna (atau ber-
AI
BI
-= --
A2
AI
B2
= Az '
CI
= --
.
atau bila :
C2
= C2·
(9). Apabila berlaku AI = A2, BI = B2,
BI
=
B2 ' CI
CATATAN
VI dan V2 berhimpit.
CI
= C2 dan DI = D2 maka bidang
CONTOH (1.9). Carilah bidang V2 yang / / bidang
VI == x + 2y + 2z + 9 = 0 dan melalui titik (2 , 0 , 0) . Maka V2 mempunyai bentuk
x + 2y + 2z + D2 = 0 dan karena melalui (2 , 0, 0) maka harus terpenuhi 2.1 + 2.0
+ 2.0 + D2 = 0 atau D2 = -2 .
Jadi V2== x + 2y + 2z - 2 = o.
CATATAN (10)
Syarat tegak [urns: Kalau VI dan V2 saling tegak lurus maka IiI .L Dz ' berarti juga
iiI . Ii; = 0 atau AIA2 + BIB2 + CIC2 = 0
CONTOH (1.10). Carilah bidang V2 yang .L bidang VI = x + y + z = 1, melalui titik
awal (0 , 0 , 0) dan titik (1 , 1 , 0).
Syaratnya : AIA2 + BIB2 + CIC2 = 0 atau Az + B2 + C2 = 0
(1).
V2 = Az x + B2 y + C2 z + D = 0 melalui (0 , 0 , 0) berarti D = 0 dan melalui
(1 , 1 , 0) berarti A2 + B2 = 0
(2).
Dari (1) dan (2) diperoleh C2 = 0 dan A2 = - B2.
Jadi V2 == A2x + B2y + Oz + Q = 0 atau - B2x + B2y = 0 dan kalau kita bagi dengan
B2 diperoleh V2 : -x + y = o.
1.9. JARAK DUA BIDANG RATA YANG SEJAJAR DAN
JARAK SUATU TITIK KE BIDANG RATA
Pandang sebuah bidang VI == x cos a. + y cos ~+ z cos y = p.
Kita hendak menentukan jarak sebuah titik R(xI ' y I ' ZI) ke bidang VI tersebut, Kita buat
melalui R, bidang V2 / / VI·
z
y
9
Jadi V, dan V2 rnernpunyai normal yang sarna, sedangkan jarak dari 0 ke V2 adalah
I p ± d I (tergantung letak V2 dari 0 dibandingkan VI)'
V 2 = X cos a + y cos ~ + z cos ~ + z cos y = I p ± d I
Karena Rtx. ' y, ' z.) pada V2 berarti terpenuhi x, cos a + Y, cos ~ + z, cos y
Ip
=
±dI
Jadi d = I x, cos a + y, cos ~ + z, cos y - p I adalah jarak sebuah titik R(x, ' y, '
z.) ke bidang V, = x cos a + y cos z cos y = p, atau jarak dua buah bidang V, dan
V 2 yang sejajar.
Kalau bidang rnernpunyai persarnaan berbentuk :
V, = Ax + By + Cz + D = 0 rnaka jarak R (x. ' y, ' z.) ke V, :
Ax, + By, + Cz, + D
d=
CONTOH (1.11). Jarak titik (7 , 3 , 4) ke bidang 6x - 3y + 2z - 13
adalah : d
=
6.7-3.3+2.4-13
'\} 36 + 9 + 4 '
=
=0
4.
Jarak antara bidang V = x + y + z = 2 dan W = x + y + z = 5
dapat kita cari sebagai berikut: Kita pilih sebuah titik pada W, rnisalnya (0 , 0 ,
5), lalu kita cari jarak titik tersebut ke V :
1.0+1.0+1.5-2
d=
"-'1+1+1'
1.10. PERSAMAAN BIDANG RATA DIKETAHUI MELALUI
SATU TITIK
Misalkan V == Ax + By + Cz + D = 0 rnelalui
terpenuhi: Ax, + By, + Cz. + D = 0 atau D = - Ax, ke V diperoleh Ax + By + Cz - A~, - By, - Cz, =
Jadi bentuk urnurn persamaan bidang rnelalui 1 titik
A(a - x.) + B(y - y,) + C(z - z.) = o.
sebuah titik R(x, ' y, ' z.) rnaka
By, - Cz. dan bila disubstitusikan
o.
:
CONTOH (1.12). Carilah persarnaan bidang rnelalui (1 , 1 , 1) dan / / bidang x + y
+ 2z = 3.
10
Persamaan bidang melalui (1 , 1 , 1) berbentuk :
A(x - 1) + B(y - 1) + C(Z - 1) = 0 , dan karena I I bidang
x + y + 2z = 3 , berarti A = 1 , B = 1 , C = 2
Jadi bidang yang diminta :
(x - 1) + (y - 1) + 2(z - 1) = 0 atau: x + y + 2z - 4 = O.
1.11. BERKAS B/DANG RATA
Misalkan ada 2 bidang VI = 0 dan V2 = 0 maka untuk Al dan A2skalar-skalar yang
berubah-ubah, persamaan AIV, + A2V2= 0 menyatakan kumpulan bidang-bidang yang
berpotongan pada garis potong VI = 0 dan V2 = 0 , yang disebut berkas bidang. Kalau
AI' :I- 0 maka berkas menjadi VI + A/AI V2 0 atau VI + AV2 0
=
=
poros berkas
Bila VI = 0 dan V2 = 0 sejajar maka bentuk VI + AV2 = 0 menyatakan kumpulan bidangbidang I / VI = 0 dan V2 = 0, dan kita sebut berkas bidang sejajar.
CONTOH (1.13). Carilah persamaan bidang VI yang melalui titik (0, 0, 1) dan melalui
garis potong bidang-bidang V2 = X + Y = 1 dan V3 = X + 2y - z = O.
=
=
Maka dengan berkas bidang : VI
V2 + A V3 0 atau :
x + y - 1 + A (x + 2y - z) = 0 ~ (1 + A)X + (1 + 2A) y - AZ - 1 = 0
dan karena melalui (0 , 0 , 1) berarti (1 + A)O + (1 + 2A)0 - A-I
= O.
Jadi A = -1
Maka VI == (l - l)x + (1 - 2)y - (-I)z - 1 0 atau y - Z + 1 O.
=
=
11
1.12. JARINGAN
BIOANG RATA
Pandang bidang-bidang VI = 0 , V2 = 0 dan V3
lurus yang sama (bukan dalam satu berkas).
= 0 yang tidak melalui satu garis
Bentuk VI + ')..
V 2 + J.lV 3 = 0 menyatakan kumpulan bidang-bidang yang melalui titik
potong ke 3 bidang VI = 0, V2 = 0 , V3 = 0 itu.
(Dalam gambar melalui titik T) dan kumpulan bidang-bidang tersebut disebut jaringan
bidang.
CONTOH (1.14). Carilab persamaan bidang W yang sejajar bidang
VI == X + Y + z = 1 dan melalui titik potong bidang-bidang
V2 == x = 3 , V3 == Y = 4, V4 == Z = 0
Jawab : Maka W : VI + ')..V2 + J.lV3 = 0 atau : x - 3 + ')..(y - 4) + uz = 0
---7 x + ')..y + J.lz -'(3 + 4')..) = 0
(*).
Karena II dengan x + y + Z = 1 bilangan-bilangan arab dari W adalab 1 , 1 , 1 berarti
')..= 1 dan J.l = 1 (dari pers. (*) ).
Maka (*) menjadi : x + y + Z - 7 = O. adalah persamaan bidang W yang diminta.
1. 13. GARIS LURUS 01 Ffl
Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai perpotongan 2
buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita tulis, misalnya garis Iurus g mempunyai
persamaan :
CONTOH (1.15).
12
Garis lurus g mempunyai persamaan :
x + y + 2z - 3
2x - Y - 2z + 1
=0
=0
}
maka g adalah garis potong dari bidang-bidang
VI: X + Y + 2z - 3 0 dan
V 2 : 2x - y - 2z + 1 = 0 .
:
=
1.14. MENeARI BILANGAN ARAH GARIS LURUS
Pandang persamaan garis g : VI ~ Al
V2 = A2
X
X
+ BI Y + CI Z + DI = 0 }
+ B2 Y + C2 Z + D2 = 0
n; =
=
Maka iii [AI' BI ' CI] ,
[A2 ' B2 ' C2 ]
Maka jelas bahwa vektor arah garis g adalah vektor "I x "2 (atau ii2 X iii)
Jadi p
=
[a , b , c]
=
-+
-+ -+
i
j
k
CI
Al BI
A2 B2 C2
={I
~J'
BI
B2
Atau biasa ditulis sebagai berikut :
Al
-I
Az
a
Al
A2
BI
B2
CII'I
C2
::1}
Al
Az
c
CI
C2
Al
A2
BI
B2
b
CONTOH (1.16)
Carilah bilangan arah garis g:
+ Y + 3z + 2
-x - y + 2z + 7
2x
=0
=0
}
13
Kita tulis :
2
-1
a
-1 3
-1 2
--c
2
1
-1 -1
, maka a=
-7 dan c=
I-i -~I
1
~1
321
5 ,
=
b
3
2
b =
2
-2
=
= -1
1;15. BEBERAPA BENTUK PERSAMAAN GARIS LURUS
Dari bab 1 kita telah mengetahui persamaan parameter garis lurus di R3 yang melalui
A(x1 ' Y1 ' ZI) dan B(x2 ' Y2 ' Z2) :
= XI + A(X2
Y = Yt + A(Y2
Z = Zt + A(Z2
x
-
XI)
-
Yt)
z.)
-
adalah bilangan-bilangan arah yang sebanding dengan cosinus-cosinus arah.
Jadi dapat kita tulis :
x = Xl + r cos a
Y = Yl + r cos ~
Z = Zt + r cos Y , r adalah parameter yang menyatakan jarak
titik (x, ' Yt ' z.) ke titik (X , Y , z) pada garis tersebut.
Kalau parameter-parameter dilenyapkan, diperoleh persamaan linier :
(*)
---=
=---
Yt ' z,) dan (x, ' Y2 '
sarna dengan nol.
(Xl'
X -
(**).
XI
=
a
x -
Xl
cos a
Y - Yl
b
Y - Yl
cos ~
asalkan tidak ada x2 - xt
Z2) ,
Z -
=
Persamaan garis melalui 2 titik
'
Y2 - Yt ataupun
Z2 -
ZI
yang
Zl
atau
c
Z
-
Zl
persamaan garis melalui satu titik
cos Y
dan mempunyai bilangan-bilangan arah a , b , c atau cosinus-cosinus arah cos a , cos
~ , cos y yang "* 0 .
CONTOH (1.17). Carilah persamaan garis melalui (3 , 2 , 1) dan (0 , 1 , 0).
14
Maka persamaan liniemya :
x-3
-3
y-2
=
-1
=
z- 1
-1
Bilangan-bilangan arahnya dapat diambil -3 , -1 dan -1 .
1.16. GARIS DAN BIDANG RATA
Pandang garis lurus dengan vektor arah [a , b , c] dan bidang rata Ax + By + Cz
+ D = 0 ( dengan vektor normal [A , B , C] ).
Maka:
(1). Garis II bidang, berarti vektor arah garis tegak lurus vektor normal bidang, Sehingga
syarat garis I I bidang :
[a , b , c]. [A , B , C] 0 atau Aa + Bb + Cc 0 .
=
=
(2). Garis tegak lurus bidang, berarti vektor arah garis sarna (sejajar/berkelipatan)
dengan vektor normal bidang. Sehingga syarat garis tegak lurus bidang :
[a , b , c] = ')...[A , B , C] atau Ala = Bib = C/c (atau A = a , B = b , C = c ).
Ii
gl
II
g2
.1V
V
g3 pada v
(3). Garis terletak seluruhnya pada bidang, berarti vektor arah garis tegak lurus vektor
normal bidang dan bila ditentukan suatu titik sembarang pada garis maka koordinat
titik tersebut memenuhi persamaan bidang.
[a , b , c] . [A , B , C] = 0 --7 Aa + Bb + Cc = 0
dan AX1+ By1 + CZ1+ D = 0 , untuk setiap (x. ' y1 ' Z1)pada garis.
15
x-3
CONTOH
(1.18).
y+2
=
Buktikan bahwa garis g :
z
=
1
sejajar bidang x + y + z + 7 = 0 . Karena Aa + Bb + Cc = 1.2 + 1.-3 + 1.1 = 0
maka benar garis tersebut sejajar bidang ; namun tak terletak pada bidang, sebab
suatu titik misalnya (3, -2 , 0) pada garis tak memenuhi kalau kita masukkan ke
persamaan bidang x + y + z + 7 = 0 tersebut.
-3
2
1.17. GARIS HUBUNG TERPENDEK DAN JARAK DUA GARIS
BERSILANGAN
Pandang 2 garis lurus g[ :
Bentuk :
( A dan J.1 parameter )
menyatakan garis-garis lurus yang memotong g] dan g2.
Maka dengan memilih A dan 11 tertentu kita dapat menentukan garis hubung terpendek (garis tegak lurus persekutuan) antara g[ dan gr
CONTOH (1.19).
x =
y=o
s. : o}
Carilah garis hubung terpendek antara garis-garis :
dan g2 : x + y = 1 }
x+z=o
Kita kerjakan sebagai berikut : Sebut g3garis hubung terpendek dari g] dan g2 maka
g2 : x + AY = 0
}
x + y - 1 + Il(x + z) = 0
dengan syarat g3 .L g[ dan g2.
Bilangan-bilangan arah g[ :
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
Bilangan-bilangan arah g2
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
Bilangan-bilangan arah g3 :
1
A
1 + 11 1
16
0
J.1
1
1 + J.1
A
1
~ = 1
,b2
= -1 , c2 = -1
g3 ..L gl berarti ala3 + b.b, + CtC3 = 0 ~ 1 - A - AJ.l= 0
g3 ..L g2 berarti ~~ + b2b3 + C2C3= 0 ~ AJ.l+ J.l- 1 + A + AJ.l= 0
Dari (1) dan (2) diperoleh
AI = 1 ,J.lI = 0
dan
1..2= -2 , J.l2= -2
Jadi kita peroleh g3 perpotongan bidang-bidang:
x + y = 0
}
x+y-l=O
dan
x - y = 0
}
-x + y - 2z - 1 = 0
sejajar (berpotongan di
x-y=O
-x + y - 2z - 1
00 )
=0
(**) Karena bidang-bidang pada
(1)
(2)
(*)
(*) adalah
maka sebagai g3 kita peroleh :
}
Jarak 2 garis bersilangan : Kita peroleh dengan membuat sebuah bidang melalui salah
satu garis dan sejajar garis yang kedua.
Kemudian dari garis kedua tersebut kita pilih sebuah titik dan kita tentukan jarak dari
titik tersebut ke bidang yang kita buat tadi.
CONTOH (1.20). Dari contoh (1.19) di atas kita hendak mencari jarak gl dan g2 .
Misalnya kita buat sebuah bidang melalui gl dan I I g2 .
.
. Jarak
£17
Sebut bidang itu V, maka V = x + AY= 0 dan karena II g2 ' normal bidang harus : ~.1
+ b2A + c20 = 0 atau 1.1 + (-1)1.. = 0 ~ A = 1.
Jadi V = x + y =
o.
Pilih sebuah titik pada g2 rnisalnya (0 , 1 , 0) dan kita cari jarak dari (0 , 1 , 0) ke bidang
V = x + y = o.
=
~ A2 + B2 + C2
1
1
AXI + BYI + CZI + D
d
=
IT; jarak
= ~
1+1
yang dirninta.
2
17
1.18. SOAL-SOAL DAN PEMECAHANNYA
(1.21). Bila 1 = [1 , 0 , 0] , j = [0 , 1 , 0] , k = [0 , 0 ,1] adalah vektor satuan yang
saling j_ , tentukan i x j , ] x k , k xi, 1 xl, ] x J , k x k.
Penyelesaian :
_k
J
Dengan sistem tangan kanan
1 x J = {I i I I J I
SIll 90°}
- -j x k » {Ijllkl
sin 90°}
i
kxi=
{Ikllil
sin 90°} j
Juga dengan mudah kita dapat
=1
=j
J x 1 = -k -, Ie -x 3 =- -1 ,Ix Ie -= -}.
sedangkan i x i = j x j = k x k = 0 ,
karena sin 0° = 0 .
CONTOH (1.22).
Bukti:
Buktikan bahwa:
a x (b + c) = (3: x b) + (3: x c).
a
a
c.
_
(1). Hal khusus ~imana j__ b dan
j_
Karena a .L b ---7 (it x b) .L bidang (3:, b)
dengan I it x b I = I ii I I b I sin 90° = I a I I b I
Jadi it x 0 ekivalen dengan mengalikan vektor b dengan I it Ilalu rnerotasi-
kan 90° sesuai dengan gambar.
6
a
Demikian pula halnya untuk x C dan a x (6 + c).
Karena a x (b + c) adalah diagonal jajaran genjang dengan sisi-sisi a x b dan
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
18
a x c maka
a
=
(ii). Hal urnurn:
Uraikan b rnenjadi 2 vektor bl .l dan 1)2 II it , ci!-rnanab bl + b2•
Kalau ~ sudut antara a ~an b rnaka b2 = b sin \jf sehingga 13:x b21 = lal 16 sin \jfl
= lal Ibl sin \jf = lei x bl.
Juga ar~ dati a x_ 62 = arab dari a x b.
Jadi
x b2 = x b.
Hal yang sarna dikerjakan terhadap c , berarti a x c2 = a x c
a
a
c c
c
Karena b - bl + b2 + I + 2 = (bl + I) + (b2 + (2)
rnaka iii + (~ + (2) = ii x (5 + c).
Karena a dan c2 tegak lurus a rnaka (rnenurut bukti (1))
di atas a_ x (b2 + 2) = (3: x 62) + fax (;2)
-7 x (b + c) = (a x 6) + (a x c)
c
a
=
Secara rnudah berlaku pula (6 + c) x ii
(1.23).
a x
Bukti:
a=
Buktikan bahwa bila
b
a = [ai'
6
=
ii x
a2,
j
al
a3
b,
b2
b,
a.]
[bl ' b, ' b3]
b=
a2
'
a,] , b =
[bl
'
b2
'
b3] rnaka
K
al
1
>
[ai'
(b x ii) + (c + a)
= a 1 + aJ + a)(
= bl!+ b J + b k.
l
2
dan
Berdasarkan (1.22) :
3
J
(all + aJ + ~k) x (bl-i + b2 + b;k) = (a;i x bJ) +
(all x bJ) + (a:l x b3k) + (a2} x b~i) + (aJ x bJ)
+ (aJ x b3k) + (a3k x b:b +
(a,k
x bJ) + (a3k x b3k)
Dengan rnelihat _hasil pada soal 1.21 di atas, didapat seterusnya
~blk + a2b3i + a3blj - a3b2i
=
a x '6 = albi
- albJ -
i (a.b, - a.b.) - j (alb) - a.b.) + k (a.b, - a2bl)
19
=
i
al
bl
j
k
~
~
b2
b3
=,
c
(1.24). Carilah vektor
yang panjangnya
[1 , 2 , 1] dan b = [0 , 1 , 2].
bxa=-
Jadi vektor
c yang
a xb =
j_
1 2
1
012
[-3 , 2 , -1].
a dan b
serta panjangnya = 1 adalah :
[3 , -2 , 1]
c
=
1
=
[3 , -2 , 1]
...J 14
--19+4+1
[-3 , 2 ; -1]
dan c
=
1 dan tegak lurus vektor-vektor a
a x I) dan b x a akan menghasilkan vektor yang
= 1 I k = [3, -2 , 1]
Penyelesaian : Cross produk
j_ a dan b.
a xb
dan
=
1
=
=
[-3 , 2 , -1] .
...J 14
--19+4+1
(1.25). Kedudukan istimewa manakah dimiliki bidang-bidang berikut, gambarlah pada
suatu koordinat siku-siku.
(i) x = 2y (ii) x + z = 4 (iii) x + Y - z = O.
Penyelesaian : (i) Bidang x = 2y atau x - 2y = 0 tidak mengandung z dan
konstantanya = 0 , berarti melalui sumbu Z dan garis potongnya dengan bidang
XOY adalah x - 2 y = 0 }
z=O
y
x - 2y
=0
--------------garis x-2y = 0
z=o
20
y
+ z = 4 ; karena tidak mengandung y berarti / / sumbu Y dan garis potongnya
dengan bidang XOZ adalah garis x + z = 4
(ii). x
y=O
z
y
x
(iii) x + Y - z = 0, konstantanya = 0, bidang hams melalui 0(0 , 0 , 0). Garis potong
dengan XOY adalah x + y = 0
x=O
dengan XOZ : x - z = O}
y=O
dan dengan YOZ : 'Y - z = 0 }
x=O
z
z
y
Y-Z=O
Y
x
x+y=o
(1.26). Tentukan jarak dari titik (0 , 0 , 0) ke bidang 3x + 2y titik (1 • 1 • 2) ke bidang tersebut.
Z
= 2 dan juga jarak
Penyelesaian : Jarak dari (0 , 0 ,0) :
3.0 + 2.0 - 1.0 - 2
d=
2
-2
=
=
" 14
" 14
21
Jarak dari (1 , 1 ,2)
:
3.1 + 2.1 - 1.2 - 2
=
d=
1
,j14
(1.27). Carl persamaan bidang melalui P(1 , 0 , -2) dan tegak lurus ke 2 bidang VI =
2x + y = z = 2 dan V2 == x - y - z = 3.
Penyelesaian : Persamaan bidang melalui (1 , 0 , -2) :
V == A(x -1) + By + C (z + 2) = 0
V .L VI jadi 2A + B - C = 0
V .L V2 jadi A - B - C = 0
................................
(1).
............................... (2).
Kita jumlahkan (1) dan (2) diperoleh 3A = 2C atau A = 2/3C dan dari (2)
diperoleh B == - 1/3C.
Jadi persamaan V = 2/3C (x - 1) - 1I3Cy + C (z + 2) = 0 atau 2x - y +3z +
4=0
(1.28). Carl persamaan bidang yang / / 2x - 3y - 6z = 14 dan berjarak 5 dari titik
(0 , 0 , 0).
Penyelesaian : Karena / / dengan 2x - 3y - 6z = 14 , vektor normal bidang
tersebut [A , B , C] = [2 , -3 , -6] , sebut bidang tersebut W , maka W = 2x
- 3y - 6z + D = 0 . Jarak (0 , 0 , 0) ke bidang W :
D
d=
-v 4 + 9 + 36
D
=
= 5 (diketahui)
7
Jadi D2 = 49.25 atau D = ± 35. Jadi W = 2x - 3y - 6z ± 35 = 0
0.29).
Carilah persamaan bidang melalui A(2 , 1 , 2) , 0(0 , 0 , 0) dan tegak lurus
bidang 2x - y + z + 2 = 0 .
Penyelesaian : Bidang melalui (0 , 0 , 0) maka D = 0
Bidang melalui (2 , 1 , 2) maka 2A + B + 2C = 0 , dan tegak lurus 2x - y +
z + 2 = 0 , maka 2A - B + C = O.
Dari ke 2 persamaan di atas kita peroleh A = ., 3/4C , B = - 1/2C.
Maka persamaan bidang tersebut V = - 3f4Cx - I/2Cy + Cz = 0 atau 3x + 2y 4z = O.
22
(1.30).
Carilah
W == x
-
persamaan
bidang
y - z = 3.
melalui
sumbu
Z dan tegak
lurus
bidang
Penyelesaian : Sumbu Z adalab garis potong bidang x = 0 dan y = O.
Kita pergunakan berkas bidang x + I..y= 0 , yaitu kumpulan bidang-bidang yang
melalui sumbu Z . Karena j_ W berarti: A)A2 + BIB2 + C)C2 = 0 atau
1.1 - 1.1.. - 1.0 = 0 ~ I.. = 1.
Maka persamaan bidang tersebut x + y = O.
(1.31). Carilab bidang yang melalui titik potong bidang-bidang
V) = x - y + 2z = 3 , V2 = 2x - 5y - 7z = 12 , V3= 3x + 2y - z = 5.
dan sejajar bidang V4 = 3x - Y = 4.
Penyelesaian : Kita pergunakan jaringan bilangan: V) + I..V2+ JlV3 = 0
~ x - y - 2z - 3 + I..(2x -5y - 7z - 12) + Jl(3x + 2y - z - 5) = 0
~ (1+21..+3Jl)x + (-1 - 51..+ 2Jl) Y + (-2 - 71..- Jl) z + (-3 - 21..- 5Jl) = O.
Karena juga II V4 : ia berbentuk 3x - y + D = O.
Berarti : (1 + 21..+ 3Jl) = 3, (-1 - 51..+ 2Jl) = -1 dan (-3 - 121.. - 5Jl) = 5.
Dari ke 3 persamaan di atas diperoleh bidang yang diminta 3x - Y - 155/19 =
o atau 57x - 19y - 155 = 0 .
(1.32). Tentukan persamaan garis lurus melalui titik P(1 , 2 , 2) dan II garis 9 : 3x y = 2y - Z = 2z - 5.
Penyelesaian : Kita jadikan g sebagai garis potong 2 bidang :
3x - y = 2z - 5}
atau
3x - y - 2z + 5 = 0 }
~-z=~-5
~-~+5=0
Kita mencari bilangan arab dari g
3
o
c=
'-1
2
-2
-3
I~ -~ I
3
0
-1,
2
a = 1-1
2
-21 = 7,
-3
b = 1-2
-3
31 = 9
0
= 6 . Karena garis yang dirninta I I g maka mempunyai
vektor arab [7 , 9 , 6] dan karena melalui (1 , 2 , 2), persamaannya :
x-I
y-2
z-2
--= ---= ---7
9
6
(1.33). Carilab persamaan bidang W yang tegak lurus pada potongan garis AB, dimana
A(-3 , 2 , 1) dan B(9 , 4 , 3) serta melalui tengab-tengab AB.
Penyelesaian : Misalnya tengab-tengab AB kita sebut C, maka
-3 + 9
2
= 3;
Yc
=
2+4
2
=
3;
zc =
1+3
2
= 2. C(3,3,2).
23
vektor arab garis AB adalab [a , b,
a = x2 - XI = 9 + 3 = 12
c] dimana:
b = x2 - YI = 4 - 2 = 2
c = Z2- Zl = 3 - 1 = 2.
Jadi persarnaan bidang W yang rnelalui (3 , 3 , 2) dan ..L garis dengan vektor
arab [12 , 2 , 2] (berarti vektor tersebut adalab normal dari W), ialab W = 12(x
- 3) + 2(y - 3) + 2(z - 2) = 0
atau 6x + y + Z - 23 = O.
(1.34). Tentukan titik ternbus garis g:
X+ Y- 1 = 0 }
2x - 3y + Z = 5
pada bidang 2x + y + 5z + 7 = O.
Penyelesaian : Di sini kita rnencari harga-harga X , Y , z yang rnernenuhi ke 3
persarnaan :
x+ y-l=O
2x - 3y + z = 5
2x + y + 5z + 7 = 0
1
5
-7
X=
1
-3
1
-24
det (a) =
0
1
2
2
1
5
= 2,
y=
1
2
2
1
-3
1
1
5
0
-7
-24
1
5
0
1
5
= -16 - 8 = -24
(dengan aturan
CRAMER) :
1
2
2
= -1, z=
1
5
1
-3
1
-7
= -2
-24
Jadi titik ternbus (2 , -1 , -2).
(1.35). Carilah persarnaan bidang V yang rnernuat garis-garis :
x-I
---=
4
y+l
2
=
z-2
3
x-I
dan g, :---=
5
y+1
4
=
z-2
3
Penyelesaian : Jelas gl dan g2 sarna-sarna rnelalui titik (1 , -1 , 2) , demikian
pula halnya V ,jadi V == A(x - 1) + B(y + 1) + C(z - 2) , demikian pula halnya
V, jadi V == A(x - 1) + B(y + 1) + C(Z - 2) = 0
gl pada V berarti : 4A + 2B + 3C = 0
g2pada V berarti : 5A + 4B + 3C = 0 dan dari ke 2 persamaan ini kita peroleh
A = -2B , C = 2B.
Jadi V = -2B(x - 1) + B(y + 1) + 2B(z - 2) = 0 atau
-2x + y + 2z - I = O.
(1.36). Bagairnanakah kedudukan garis gl:
24
2x + y + 3z = -2 }
x + y - 2z =-1
dan g2 : [x , y , z]
=
[-4 , 8 , 4], + A. [-5 , 7 1]. Kemudian hitung jarak gt
dan g2 .
1
-5
Penyelesaian : Vektor arab gt:
2
1
3
1
1 -2
2
1
1
1
, yaitu [-5 , 7 , 1]
7
Temyata g, II g2' Untuk mencari jarak antara 2 garis sejajar dapat kita lakukan
sebagai berikut :
Membuat bidang W tegak lurus g, (sekaligus tegak lurus ~) melalui suatu
titik P sebarang pada gt'
Kita tentukan titik tembus g2pada W, sebut titik Q , maka panjang potong
garis PQ adalab jarak gt dan g2'
Disini kita tentukan lebih dahulu titik P sebarang pada gt ' ambil z = 0 ~ x =
-1 , y = 0 , P (-1 , 0 , 0).
Bidang W melalui P dan tegak lurus gl' W == -5 x + 7y + = 5
Titik tembus g2 pada W adalab Q (1 , 1 , 3).
Maka Jarak gt dan g2 adalah I PQ I = (\].-:(-1-+-1:-:-:)2=-+------:-(1-:-----=0--:)2:-+--:-:(
= ffi.
(1.37). Tentukan persamaan garis g yang melalui P (1, -1, -3) dan sejajar. bidang V
== 2x + Y - z = 0 serta bersilangan tegak Iurus dengan
m : x - 4z = 1 }
Y + 3z = 2
Penyelesaian : Vektor arab dari m:
1
o
o
1
-4
3
10
o
1
[a, b,
c]
=
[4 , -3 , 1]
g melalui P (1 , -1 , -3) berarti berbentuk :
x-I
a
=
y+l
b
=
z+3
c
dan karena II V berarti tegak lurus pada
normal V : 2a + b - c = 0
Karena g 1 m maka berlaku : 4a - 3b + c = 0
Bila persamaan (1) dan (2) diselesaikan kita dapat b
Jadi g:
x-I
a
=
Y +1
3a
=
z+3
5a
atau
x-I
1
=
(1)
(2)
3a, c = 5a.
+1
= y'----= ---
z+3
3
5
25
1.19. SOAL-SOAL
UNTUK LATIHAN
(1.38). Carilah jarak dari pusat 0 ke titik P bila :
(i) P (2 , 3 , 4);
(ii) P (-1 , -2 , -30 ; (iii) P (0 , 0 , 7) ;
(iv) P ( 1t , 21t , 3);
(v) P (1 , 1 ,1) ; (vi) P (-1 , 2 , 1) ;
(vii) P (0 , 2 , -7) ;
(viii) P (a , 2a ., 3a)
Jawab : (1) --J29;
(ii) --J14;
(iii) 7;
(vi) --.153;
(ii) --.16 ;
(viii) a--J14.
A.j
(iv)
51t2 + 9 p
(v) --J3 ;
(1.39). Periksa apakah ke 3 vektor a = [2 , 1 ,4] , b = [2 , 0 , -1] , C = [4 , 1 , 3]
membentuk sebuah segi tiga siku-siku. Carilah sudut-sudut dan luasnya.
(Jawab : Ya , If2 --J105).
(1.40). Carilah cosinus arah dari vektor v apabila :
(i)
= [2 , 1 , -2] , (ii) = [-2 , -1 2], (iii) P(2 , 1 , 2) , Q (1 , 0 , -3) ;
(iv) P (1 , 1 , 1) , Q (2 , 3 , 4);
(v) P (-1 , 0 , -2), Q (0 , -3 , -4).
(Jawab : (i) 6--J;
(ii) --J3;
(iii) 3--J3
(iv) --J14 ;
(v) --J14).
v
v
(1.41). Carilah jarak antara P dan Q bila
(i) P (5 , 7 , 9) , Q (11 , 13 , 9);
(ii) P(2, 3 , 4),
Q (3 , 4 , 5) ;
(iii) P (2 , 1 ,2) , Q (1 , 0 , -3);
(iv) P (1 , 1 , 1), Q (2 , 3 ,4) ;
(v) P (-1 , 0 , -2) , Q (0 , -3 , -4).
(Jawab: (i) 6--J2;
(ii) --J3;
(iii) 3--J3 ;
(iv) --J14;
(v) --J14 ).
(1.42). Tentukan tengah-tengah PQ pada soal 1.41 (Jawab: (8 , 10 , 9) , (21/2 ,31/2
41/2) , (11/2' 1/2 ' -19,
(11/2, 2 , 21/2 ),
(_1/2'
'
-11/2, -3) .
(1.43). Diketahui titik-titik P (1 , 1 , 1) dan Q (2 , 3 , 4). Titik R (3 , y , z)-terletak
pada garis lurus PQ. Tentukan y dan z.
(Jawab : 5 , 7 ).
(1.44). Dengan produk vektor, buktikan rumus sinus -~ SlD
a
---?
=
b
sin ~
=
c
sin y
---?
(1.45). Carilah luas segi tiga ABC yang dibatasi oleh AC = [2 , 0 , 3] dan BC =
[3 , 2 , 1] . (Petunjuk : Ingat luas segi tiga ABC = 1/2 AB sin y).
Jawab : 1/2 --JI01).
(1.46). Hitunglah a x b bila : (i) a = [2 , -1 , -4], b = [-1 , -2 , 1]
(ii) a = [3 , 3 , 3] . b = [2 , 0 , 2] . (Jawab : [-9 , 2 , -5], [6, 0 , -6] ).
26
a
(1.47). Untuk dan b pada soal 1.46, carilah C ~g .L a dan b dan panjangnya
1. (Jawab ± 11"110 [-9 , 2 , -5] , ± 1/-..J72 [6 , 0 , -6).
(l.48).
Buktikan bila
(i)
a.
a = [ a,
(6 x C)
=
' ilz, a3] , b
a,
ilz
~
b.
bz
Cz
b,
c3
C,
= [bl ' bz '
b3l , C = [c, ' Cz ' c3l
(ii). a . (6 x c), harga mutlaknya menunjukkan volume paralel-epipedum yang
dibatasi oleh a , 6 , c.
(iii) Carl volume paralel-epipedum yang melalui (0 , 0 , 0), (3 , -1 , 0) , (0 ,
1 , 2) , (1 , 5 , 4).
(Jawab. 20).
(1.49). Dari bidang-bidang berikut, carilah vektor normal, bilangan arah dan cosinus
arahnya: (i) 2x + 3y - z = _Q, (ii2_1y- z = 3,
(iii) 2x + z = 1.
(Jawab. (i) [2 , 3 , -1) , 2/"14 , 3/"14 , -1F4,
(ii) [0, 2 , -1] ,0 , 2/..J5,
(iii) [2, 0 , 1], 2/"5
(1.50). Ubahlah bidang-bidang pada soal 1.49 ke dalam normal dari Hesse.
Lalu tentukan jarak titik 0 ke bidang-bidang tersebut.
2x
(Jawab.
2x
T4
3y
+ T4
z
-114
= 0 , 0 ;
2y
T5 -
z
3
rs
= rs ;
z
~+T5
(1.51). Cari persamaan linier bidang x == [-1 , 2 , 1] + A. [2 , 1 , 1] + Il [1 , 3 , 1] .
(Jawab. 2x + y - 5z - 5 = 0).
(1.52). Carilah sudut antara bidang V
(Jawab. arc cos 2/3)
= 4x = 2 dengan bidang W == x -
2y + 2z
= O.
(1.53). Tentukan persamaan bidang yang memotong sumbu-sumbu dengan OA = 1 ,
OB = 4, OC = 2, bila A , B , C berturut-turut titik pada sumbu X, Y , Z
positip. (Jawab. x/l + y/4 + zl2 = 1).
(1.54). Carilah pe:8amaan bidang : (1) melalui (1 , -2 , 3) dan sejajar bidang x - 3y
+ 2z = 0 (ii) melalui (1 , 1 , 1) dan tegak lurns pada bidang-bidang x - v>
z = 0 dan 2x + 3y + z = 2 (iii) melalui (0 , 0 , 1) dan (2 , 3 , 1) serta tegak
lurns pada bidang XOY. (Jawab. (i) x - 3y + 2z - 13 = 0 (ii) 2x - 3y + 5z 4 = 0 (iii) 3x - 2y = 0).
27
(1.55). Hitung jarak antara titik (3 , 2 , 0) dengan bidang 3x - 2y + 5z =7 , juga jarak
antara bidang 3x - 2y + 5z = 9 dan bidang 3x - 2y + 5z = 7. (Jawab. 2/"38;
2/...J38).
(1.56). Cari persarnaan bidang melalui : (I) sumbu X dan tegak lurus bidang 2x - 3y
- z = 5 (ii) garis potong bidang-bidang 3x - y = 2 + Z dan 2x + 3y - 3z - 5
= 0 serta melalui titik 0(0 , 0 , 0).
(Jawab. (i) y - 3z = 0; (ii) llx - lly + z = 0).
(1.57). Tentukan bilangan arah garis-garis berikut : (i) x + y + z = 2 dan
x - y - z = 3 (ii) 2x - Y = 3 dan x - y + 2z = I (iii) x = 2 dan 2x r: y +
Z = I (iv) x - y = y + Z = Z - 2.
(Jawab. 0 , 2 , -2 ; 2 , 4 , 1 ; 0, 1 , I;
1, 0 , 1 ).
(1.58). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui P dan tegak lurus bidang V :
(i) P(2, 3 , 4) dan V = 3x - y + z = 2 (ii) P(2 , 0 , 0) dan V = 5x - 2y +
3z = 3.
x-2
y-3
z-4
x-2
Y
z
-=-=-).
(Jawab. -= -=
I
5
-2
3
3
-1
(1.59). Tentukan persarnaan garis lurus melalui P dan 1/ garis g (i) P(O , 0 , 0);
g : x + y + z = 2 dan 2x - y - z = 4.
(ii) P(1 , 3 , 0) ;
g : x = 2x + 3 dan y = 3z - 2. (Jawab. x = 0 , y + z = 0 ;
x-I
2
=
y-3
3
= z ).
(1.60). Tunjukkan bahwa ke 2 garis :
g : 2x - y + Z = 0, 2x - 3y + 6 = 0 dan m: 2Y + Z + 3
2x + 8 = 0 adalah sejajar. Kemudian hitung jarak mereka.
(Jawab. ...J22).
= 0,
4x - 2y +
(1.61). Carilah titik tembus I dengan V bila (i) 1 : x + 2y - z = 6 dan 2x - y + 3z =
-13 dengan V = 3x - 2y + 3z + 16 = 0 ;
(ii) I: x = y = z - 1 dengan V = x - y + z = 3; (iii) 1; x - Y - z = 0 dan
-2x + 2y + 5z = 3 dengan V = 3x + 4y + 5z = 15
(Jawab. (i) (-1 , 2 ,-3) (ii) (2, 2 ,3)
(iii) (2, 1 , 1).
(1.62). Carilah persamaan linier bidang yang memuat garis-garis
x-3
y+2
z
x-3
y+ 2
z
g: -1= 2 = 3 dan m: -2 = 1 = 3
(Jawab. 3x - 9y + 5z - 27
28
= 0 ).
(1.63).
Carilah garis yang mela1ui P(3 ,-1 ,4) dan tegak lurus ke 2 garis yang bilangan
arahnya 2 , -I , 3 dan 2 , -3 , 2.
x-3
(Jawab.
y+1
-7-
= -2-
=
z-4
-=4)'
(1.64). Carilah persamaan garis mela1ui titik P(1 , 3 , 1) dan memotong tegak lurus
garis g : x - z + 1 = 0
y + 2z =3
x-I
y-3
z-I
Carilah juga jarak P ke garis g. (Jawab. -3= -2= -1-'
1/2"14.
(1.65). Ditentukan titik A(O, -1 , 4) , B(O , 6 , 4) dan C(2 , 0 , 0).
Diminta untuk menentukan sebuah titik D pada sumbu X sehingga AC tegak
lurus ganda-BD. Tentukan jarak AC dan BD.
(Jawab. D(-5, 0 , 0) , 28/--../33).
(1.66). Carilah persamaan garis lurus yang terletak pada bilangan
V = x + 3y - z + 4 = 0 dan memotong tegak lurus garis 1 : x - 2z = 3 dan y
- 2z = 0
x-5
y-2
z-1
(Jawab.
=-=-)
3
1
-5
(1.67). Tentukan persamaan garis yang memotong garis-garis II : x + y = 4
z=4
dan 12 : x - z = 0
y= 4
dan /I 13 : x = y = 4 - z.
(Jawab. x + y + 2z = 12 , x - 2y - z = -8 ).
(1.68). Tentukan persamaan garis hubung terpendek antara garis-garis :
II ; x + y = 4
dan 12 : x = y = z
z=0
(Jawab. x + y + z = 4 , x - y = 0 ).
(1.69). Tentukan jarak antara garis-garis gl : x - y = 0
x+y+z=4
dengan g2 ;
(Jawab.
8
3
X
+ Y+ 4 = 0
z=O
--../3 )
29